福建省2023-2024学年九年级下学期月考数学试题（解析版）

福建省厦门第一中学2023-2024学年度第二学期

初三数学阶段检测练习

（满分150分，考试时间120分钟）

考生注意：所有答案都必须写在答题卷指定的框内位置，答在框外一律不得分.

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.深中通道是世界级”桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个

数用科学记数法表示为（）

A.0.32xl06B.3.2xlO5C.3.2xl09D.32x10'

【答案】B

【解析】

【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可.

【详解】320000=3.2xlO5.

故选：B.

【点睛】本题主要考查科学记数法.科学记数法的表示形式为a*10"的形式，其中14时＜10,〃为整

数.解题关键是正确确定a的值以及〃的值.

2.如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（）

【解析】

【分析】根据左视图的意义和画法可以得出答案.

【详解】解：：该几何体为放倒的三棱柱，

根据左视图的画法，从左往右看，看到的是一个直角在左边的直角三角形，

故选：A.

【点睛】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解答本题的关键.从正面、上面

和左面三个不同的方向看一个物体，并描绘出所看到的三个图形，即几何体的三视图.

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3.下列运算正确的是（

A.a',a~=a'B.4cib-cib=4C.（a+l）=a~+lD.（-Y）=tz6

【答案】D

【解析】

【分析】根据同底数累的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和募的乘方的运算法则进行计算即可.

【详解】解：；a3.a2=a5,故A不符合题意；

4ab-ab=3ab,故B不符合题意；

=/+2。+1,故C不符合题意；

；（—成了=q6,故D符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查同底数幕的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和幕的乘方的运算法则，熟练掌

握相关法则是解题的关键.

4.如果x<y,那么下列不等式正确的是（）

A.B.x+l>y+1C.-2x<-2yD,2x<2y

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两

边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方

向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

【详解】A>：.x-l<y-l,原选项错误，不符合题意；

B、，x+i<y+i,原选项错误，不符合题意；

C、2x〉—2〉，原选项错误，不符合题意；

D、2x<2y,原选项正确，符合题意；

故选：D.

5.在RtZXABC中，NC为直角，AC=4,BC=3,那么以下结论错误的是（）

3434

A.tanA=—B.cosA=—C.sinA=—D.tanB=—

5553

【答案】A

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【解析】

【分析】根据锐角三角函数的定义即可求得答案.本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，此为基础且重

要知识点，必须熟练掌握.

【详解】解：•.•在中，NC为直角，AC=4,BC=3,

AB=力?+4?=5

如图：

A

C3B

33

那么tanA=—w—,则A符合题意；

45

4

cosA=1则B不符合题意；

3

sinA=-,则C不符合题意；

4

tanB=—,则D不符合题意；

3

故选：A

6.点P在数轴上的位置如图所示，若点尸表示实数〃，则下列数中，所对应的点在数轴上位于-1与。之间

的是（）

」11111.

-24012

A.—aB.a—1C.1—aD.a+1

【答案】D

【解析】

【分析】根据a在数轴上的位置即可判断.

【详解】由数轴可知：

A项1<一4<2,不符合题意；

2项-3<a—1<-2,不符合题意；

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C项2<1-a<3,不符合题意;

。项-l<a+l<0,符合题意.

故选：D

【点睛】本题考查数轴上的点与实数的对应关系，根据。的位置判断其范围是求解本体的关键.

7.随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km/h,动车提速后行驶480km与提速前行驶360km

所用的时间相同.设动车提速后的平均速度为xkm/h,则下列方程正确的是（)

,360480360480360480360_480

A.----=--------B.=——C.-------------D.

xx+60x-60xxx-60x+60x

【答案】B

【解析】

【分析】根据提速前后所用时间相等列式即可.

【详解】解：根据题意，得受2_=竺^

x-60x

故选：B.

【点睛】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键.

8.如图是一个长为2a,宽为2。（。>。）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对称轴剪开,把它分成四个全等的

小矩形，然后按图6拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是（）

A.abB.labC.D.a2-b2

【答案】C

【解析】

【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可

得出答案.

【详解】解：由题意可得，正方形的边长为（。+。），

故正方形的面积为（4+6）2,

又：原矩形的面积为4碗，

中间空的部分的面积=（a+b）~-4ab=（a-b）~.

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故选：c.

【点睛】此题考查了完全平方公式的几何证明，求出正方形的边长是解答本题的关键，难度一般.

9.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆

（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在

表上时，日影便会投影在圭面上.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭

BC.已知该市冬至正午太阳高度角（即NABC）为a,夏至正午太阳高度角（即NADC）为Q，若

表AC的长为冽，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即。3的长）为（）

夏至

m

cosJB

【答案】B

【解析】

【分析】分别解和RtA4CD,求出和CD的长度，然后利用线段的和差关系求解即可.

【详解】解：在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=m,ZABC=tz,

:.BC=A。=工,

tanNABCtana

在Rt^ACD中，ZC=90°,AC=m,NADC=0,

...DC=—AC=-^-

tanZADCtan夕

mm

BD=BC-CD=

tanatan'

故选：B.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键.

10.如图1,在中，动点P从A点运动到2点再到C点后停止，速度为2单位/s,其中3P长与

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运动时间f（单位：S）的关系如图2,则AC的长为（

A.B.V427C.17D.5百

2

【答案】C

【解析】

【分析】根据图象可知f=0时，点尸与点A重合，得到AB=15,进而求出点尸从点A运动到点B所需的

时间，进而得到点P从点B运动到点。的时间，求出的长，再利用勾股定理求出4C即可.

【详解】解：由图象可知：f=0时，点尸与点A重合，

AB=15,

点P从点A运动到点3所需的时间为15+2=7.5s；

点P从点B运动到点C的时间为11.5—7.5=4s,

BC=2x4=8；

在RtZkABC中：AC^^AB2+BC2=17；

故选C.

【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理.从函数图象中有效的获取信息，求出48,的长，是解

题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

11.已知反比例函数丫=幺的图象经过点（1,2）,则k的值是.

x

【答案】2

【解析】

k

【分析】把（1,2）代入函数丫=—,可求出k的值.

【详解】•点（1,2）在函数y=月上，则有2=人,

X1

即k=2.

故答案为2.

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12.因式分解：2/—2=.

【答案】2（x+l）（x-l）

【解析】

【分析】先提取公因数，再运用平方差公式分解因式即可；

【详解】解：2X2-2=2（X2-1）=2（X+1）（X-1）,

故答案为：2（x+l）（x-l）；

【点睛】本题考查了因式分解，掌握平方差公式/-4=（0+6）（。一为是解题关键.

13.已知实数a,b,满足。+0=6,ab=l,则/6+。片的值为.

【答案】42

【解析】

【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可.

【详解】a2b+ab2

=ab（a+b）

=7x6

=42.

故答案为：42.

【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识

点.

14.以水平数轴的原点。为圆心过正半轴3上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆时针依次旋转30。、

60。、90。、…、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A、B的坐标分别表示为

（5,0。）、（4,300。），则点C的坐标表示为.

【答案】（3,240。）

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【解析】

【分析】根据同心圆的个数以及每条射线所形成的角度，以及A,B点坐标特征找到规律，即可求得C点

坐标.

【详解】解：图中为5个同心圆，且每条射线与x轴所形成的角度已知，A、B的坐标分别表示为

（5,0。）、（4,300°）,根据点的特征，所以点C的坐标表示为（3,240。）；

故答案为：（3,240。）.

【点睛】本题考查坐标与旋转的规律性问题，熟练掌握旋转性质，并找到规律是解题的关键.

15.如果"是一元二次方程f-X=2的两个实数根，那么多项式“2-〃2〃+m的值为.

【答案】5

【解析】

bc

【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系：石+%=-一，再・％2=—，先

aa

把元二〃代入元=2，得〃2=2+〃，结合一元二次方程的根与系数的关系，得mn=-2,代入

n2-mn+m,即可作答.

【详解】解：・・,根、〃是一元二次方程/―元=2的两个实数根，

才巴元二〃代入X2—x=2得〃2=2+〃，

则根+〃=1,mn=-2

n2-mn+m=2+H-mn+根=2+（〃+加）一mn=2+1一（一2）二5,

故答案为：5.

5k5

16.如图所示，已知双曲线产一（x<0）和产一（x>0）,直线04与双曲线产一交于点A,将直线04

xxx

5kBP1

向下平移与双曲线产一交于点3,与y轴交于点P,与双曲线产一交于点C,S^ABC=6,--=一,则

xxCP2

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【解析】

BP1

【分析】连接OB,OC,作BELOP于E,CFLOP于F,先证得SAOBC=S—BC=6,由方=5，得出

SAOPB=2,SAOPC=4,根据反比例函数系数k的几何意义得出SMBE=9,进一步得出SgBE=：,通过证得

ABEP^ACFP,得出SACFP=2,然后根据SAOCF=SAOBC-SAOPB-SACFP求得aOCF的面积为2,从而求得k的

值.

【详解】解：如图，连接OB,OC,作BELO尸于E,CFLOP于H

故答案为-4.

【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，涉及了平行线的性质，三角形相似的判定和性质及不规则图

形面积的求解，解答本题的关键是数形结合思想，有一定难度.

三、解答题

17.(1)计算：(l+^)°+2-1-|-3|+2sin45o

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(2)解不等式组：<

【答案】(1)--+V2(2)x<2,图见详解

2

【解析】

【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算、解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)先化简零次塞、负整数指数幕、正弦值，再运算加减法，即可作答.

(2)运用解不等式的方法先把每个不等式解出来，再取它们的公共部分，并画出数轴表示，即可作答.

【详解】解：⑴(l+^)°+2^-|-3|+2sin45°

=l+--3+V2

2x<6-x①

x+1>2（x-l）②

由①解得xV2,

由②解得x<3,

该不等式组的解集为xV2

数轴如下:

*④

23

18.如图，四边形A2C。是平行四边形，点E在的延长线上，BC=CE,连接AE,交DC于点凡求

证：点/是CD的中点.

________D

B

【答案】详见解析

【解析】

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【分析】根据平行线的性质得到NDAF二NE,由AAS证明4ADF之AECF,根据全等三角形的性质即可得到结

论.

【详解】证明：・・•四边形ABC。是平行四边形，

：.AD=BC,AD//BC,

：./DAF=/E,

■:BC=CE,

：.AD=CE,

在△AO尸与△EC尸中，

NDAF=NE

<ZAFD=/EFC,

AD=CE

：.AADF^AECF(AAS),

：.DF=CF,

・・・点尸是。。的中点.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质,

证明三角形全等是解题的关键.

19.先化简，再求值：ftz-—^4-----2"'I,其中〃=啦+1.

<a)a

【目案】-，1+^2

a—1

【解析】

【分析】根据分式、乘法公式的性质化简，再根据二次根式、代数式、分式的性质计算，即可得到答案.

/—1a

------.-------

Q（。-1）?

+1）a

a（（2-1）2

a+1

u—1

当。=a+1时，

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盾-V2+1+1V2+21C-

原式=-；=-----=—；^=1+V2.

V2+1-1V2

【点睛】本题考查了二次根式、分式、代数式、乘法公式的性质；解题的关键是熟练掌握分式、乘法公式

的性质，从而完成求解.

20.某商场在世博会上购置A,3两种玩具，其中2玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个2玩

具与1个A玩具共花费200元.

（1）求A,2玩具的单价；

（2）若该商场要求购置8玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商

场最多可以购置多少个A玩具？

【答案】（1）A、B玩具的单价分别为50元、75元；

（2）最多购置100个A玩具.

【解析】

【分析】（1）设A玩具的单价为x元每个，则3玩具的单价为（x+25）元每个；根据“购置2个8玩具与

1个A玩具共花费200元”列出方程即可求解；

（2）设A玩具购置y个，则8玩具购置2y个，根据“购置玩具的总额不高于20000元”列出不等式即可

得出答案.

【小问1详解】

解：设A玩具的单价为x元，则8玩具的单价为（x+25）元；

由题意得：2（x+25）+x=200；

解得：x=50,

则B玩具单价为x+25=75（元）；

答：A、8玩具的单价分别为50元、75元；

【小问2详解】

设A玩具购置y个，则B玩具购置2y个，

由题意可得：50y+75x2y<20000,

解得：y<100,

，最多购置100个A玩具.

【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，属于中考常规考题，解题的关键在于读懂题

目，找准题目中的等量关系或不等关系.

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21.某学校、电影院、市体育馆依次在一条东西向的路上.某日，甲同学到距离学校200m的电影院看电

影，在电影院内停留60min后，以70m/min的速度步行lOmin到达市体育馆.甲同学与学校的距离s

（单位：m）与时间f（单位：min）的关系如图所示.

（1）求甲同学与学校的距离s关于时间/的函数解析式；

（2）乙同学在甲到达电影院53min后从学校出发，以50m/min的速度步行去市体育馆，他们会在路上相

遇吗？请说明理由.

1200（04/<60）

【答案】⑴‘=[7。/4。。。（6。=7。）；⑵他们会在路上相遇，见解析

【解析】

【分析】（1）结合函数图像，设出甲同学与学校的距离S关于时间,的函数解析式为5=左/+4（左力0）,

利用待定系数法即可解答；

（2）结合图像先求出乙同学的s与/的函数关系式，再结合（1）的结论列方程组求解即可.

【详解】解：⑴由题可设如的解析式为5=句+4（尢#0）.

依题意，体育馆与学校的距离为70x20+200=900,所以8（200,900）.

把4(60,200),8(200,900)分别代入s=尢7+6,得

60片+伪=200

200尢+伪=900’

4=4000

解得《

k?=70

所以L的解析式为s=707—4000(60</<70).

所以甲同学与学校的距离s关于时间f的函数解析式为

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_200,0</<60

8-[70/-4000,60<?<70

（2）他们会在路上相遇，理由如下：

由题可知，对于乙同学，，与f的关系为：5=50（/-53）（53</<71）.

即s=50t—2650(53</<71).

当53<t<60时，甲在电影院内，乙在路上行走，两人不会相遇.

s=70?-4000

当60<区70时，解方程组｛“可得”67.5.

5=50?-2650

因为60<67.5<70,即在甲从电影院到体育馆的路上，两人会相遇.

所以他们会在路上相遇.

【点睛】本题考查了一次函数的运用，熟练掌握待定系数法求出相应函数解析式是解答本题的关键.

22.根据以下思考，探索完成任务.

曼哈顿距离的思考

很多城市街道交织成格，行人和车辆沿网格线行走，城市街道的抽象涵义是直角坐标系内平行于

问

题两条数轴的条条直线.定义城市内街道上两点P（%，x）,。（々，乂）之间的距离为

背=|々-%|+22-％|，称为曼哈顿距离（简称为曼距），曼哈顿距离也叫出租车几何，是在19

景

世纪由赫尔曼・闵可夫斯基提出来的.

如图，在平面直角坐标系中，点8（-3,-2）与

点C（2,2）之间的曼距

素

材JBC=|-3-2|+|-2-2|=5+4=9,可得矩形

1

3KC。上及内部的任意格点（坐标为整数的

点）为G,都有（G+dcG=9.

在城市里有一个社区，其中的相邻道路恰可以

素

近似地用过直角坐标系内格点的平行线表示

材

（如图）.该社区内有数个火警高危点，为了

2

消防安全，拟在某个格点位置设立消防站

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其中格点位置四通八达.

若火警高危点消防站。的坐标为

任4（3,0）,

务探求消防站位置且与点A的曼距d°A=5,请求出消防

1

站。的位置；

若火警高危点3（-3,-2）,C（2,2）,按设计要

求Id%-最小，则下列5个点中最适合设为

任

消防站。的是___________；（写出所有正确的序

务选择最适合位置

号）

2

A.（-1,0）B.（1,-2）C.（3,1）

D.（-2,-1）E.（2,-2）

如图，一条笔直的公路起点为石（0,46）,点

任

R（、后,26）为公路上一点.若消防站。在原点

务拟定最短曼距方案

处，请探究消防站。到公路EF（即射线所）

3

上一点H的曼距d诚的最小值.

【答案】任务1：（T-1）或（-1/）；任务2：ABE；任务3：2亚

【解析】

【分析】（1）根据曼哈顿距离的定义进行求解即可；

（2）分别算出五个点作为。点时ROB-d比|的值即可得到答案；

（3）先求出直线石尸的解析式为y=—2x+46,设H（m,—2机+46）,则

dDH=\m\+\~2m+4^|,再分当0＜加42后时，当机〉26时，两种情况求出的最值情况即可

得到答案.

【详解】解：任务1：-：dDA=5,

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|—1—3|+|n—0|=5,

4+|n|=5,

n=+l,

.••消防站。的位置为或(—1,1)；

任务2：当选(-1,0)作为。点时，

V5(-3,-2),C(2,2),

d1

DB=|-3-(-)1+1-2-0|=2+2=4,4/DC=|2-(-1)|+|2-0|=3+2=5,

|^£>B-^DC|=|4-5|=1;

同理当(1,-2)作为。点时，|4厂4c|=1；

当(3,1)作为。点时，|d»B—d»c|=7;

当(一2,-1)作为D点时，|4B—d次|=5;

当(2,-2)作为。点时，|doB—d℃|=l；

当选则(TO)或(,-2)或(2,-2)时c|最小，

故答案为：ABE；

任务3：设直线E尸的解析式为丁=丘+。(左70),

\/5k+b=2s/5

[b=4也，

>=-2

•••4=46

直线EF的解析式为y=—2x+4近，

设H^m,—2m+4,

/.dDH=|m-0|+|-2m+46卜帆+|-2m+4A/S|,

当0WmW2#)时，dDH-m-2m+4石=-m+4亚，

此时当m=26时，dDH有最小值26；

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当机〉2A/5时，dDH-m+2m-475=3m-4^5，

，此时do”〉2#),

综上所述，4M得到最小值2石.

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，正确理解题意是解题的关键.

23.如图，AB为口。的直径，D4和口。相交于点R4c平分ND45,点C在口。上，且CDLD4,

AC交BF于点P.

(1)求证：8是口。的切线；

(2)求证：ACPC=BC2;

/\p

(3)已知BO?=3Ep.£)c,求——的值.

AB

【答案】(1)见解析(2)见解析

(3)-

3

【解析】

【分析】(1)连接。C,由等腰三角形的性质得NQ4C=NOC4,再证ND4C=NOC4,则

DA//OC,然后证。CLCD,即可得出结论；

(2)由圆周角定理得NAC3=90°,ZDAC=ZPBC,MffiABAC=ZPBC,然后证

UACB^GBCP,得生=生，即可得出结论；

BCPC

(3)过尸作PELA3于点E,证AC-PC=3EP-£)C,再证□AC。冲8尸。，得

ACPC=BPDC,则8尸・。。=3仪・。。，进而得8尸=3万，然后由角平分线的性质和三角形面积

即可得出结论.

【小问1详解】

证明：如图1,连接OC,

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'：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

,/AC平分

Z.ADAC=ZOAC,

ADAC=ZOC4,

DA//OC,

'：CDLDA,

；•OCLCD,

/.CD是□。的切线；

【小问2详解】

证明：为□。的直径，

ZACB=90°,

,/AC平分

ZDAC=ABAC,

'：ADAC=NPBC,

：.ABAC=NPBC,

又；NACB=NBCP,

:•口ACBS[]BCP,

.ACBC

,,5C-PC'

•••ACPC=BC2;

【小问3详解】

如图2,过P作PEIAB于点E,

由（2）可知，AC«PC=BC2）

,/BC2=3FPDC，

ACPC=3FPDC,

•：CDLDA,

：.ZADC=90°,

:AB为口。的直径，

ZBCP=90°,

第18页/共25页

ZADC=ZBCP,

：ZDAC=ZCBP,

：.aACD^OBPC,

.ACDC

"~BP~~PC'

：.ACPC=BPDC,

：.BPDC=3FPDC,

：.BP=3FP,

：AB为口。的直径，

ZAFB=90°,

PFYAD,

平分NZMBPELAB,

・・・PF=PE,

-AFFP-AFFP

_2________2_______

SQAPB-ABPE-BPAF

22

FPFP1

"AB~BP—3FP~3-

【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的判

定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角

定理和切线的判定，证明三角形相似是解题的关键.

24.已知抛物线的对称轴为直线x=2,且经过点A(0,3)和点8(3,0).

(D求抛物线的解析式；

35

(2)点C坐标为(2,过点£>(0,作尤轴的平行线/,设抛物线上的任意一点尸到直线/的

44

距离为d,求证：PC=d；

(3)点E在y轴上(点E位于点4下方)，点M,N在抛物线上(点M,N均不同于点A,点M在点N左

侧)，直线EM,EN与抛物线均有唯一公共点，直线交y轴于点孔求证：点A为线段所的中点.

【答案】(1)丁二好―标+3；(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)设出抛物线的顶点式y=a(x—2)2+/b将A(0,3)和点8(3,0)代入解析式，利用待定

系数法即可求出解析式；

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⑵设点P坐标为P(x,(X-2)2-1),则d=(x-2『一1一(一1)=(x—2)2+；.PC2=(X-2)2+

(x—2『—1—=(x—2『+；,即可得到尸C=d；

(3)设点E坐标为E(0,力(r<3),过点E的直线为丁=如+力可得：4x+3=mx+/.因为当过点

E的直线与抛物线只有一个公共点时，则：(7n+4)2—4(3—。=0,即可得：%=—

x2=J3T，那么M(73-t，6—r+4y/3-t),N(J3T，6—z—4^/3-Z)代入直线MN的解析式

可得y=-4%+6—%,从而可求出=3—t,AE=3―t,即可得到答案.

【详解】(1)解：因为抛物线的对称轴为直线冗=2,可设其解析式为y=〃(x-2『+/2,

4〃+h—3

把A(0,3)和点8(3,0)代入上式得，\,-

a+h=0

a=1

解得〈,,.

h=-1

所求的抛物线表达式为y=(x-2)2-l,整理得y=x2-4x+3.

(2)证明：如图，设点尸坐标为P(x,(X-2)2-1),则"=(x—2『—1—(一：)=(%—2『+；.

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=(x—2『+g(x—2)-+'

zio

「112

=(X-2)2+4-

PC—-2)+—.

PC=d

(3)证明：如图，设点E坐标为E(0,/)(/V3),过点E的直线为丁=如十%，

7/

li

"III

\\/

4业\\//

>4\i/

•/・・・

[y=mx+1

2

联立<A^则：x-4x+3=mx+A

、y=x2-4x+3,

整理得，d—(4+加)%+3一，=o.

当过点E的直线与抛物线只有一个公共点时，得

(m+4)2_4(3-/)=0,

则用+4=±2yj3—t，

%?±(2J3-t)x+3-1=0,

即(%_J3_)=0或1+13-/)=0,

Xy=—^3—t,%2=个3-1.

・・,点M在点N左侧，

XM=—y/3—t,xN=y/3—t.

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当X”=73-1时,坨='：3­))+3=6-什4J3T,

所以点M坐标为M(—厅7,6—什4万工)

同样可知N的坐标为N(行二，6—f—4百二；)

设直线AW的解析式为丫=丘+6,贝。

直线MN的解析式为y=—4x+6—t.

易知点尸坐标为(0,6—/),

'.FA=6—t—3=3—t,AE=3—t,

：.FA=EA,即A为所的中点.

【点睛】此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会利用勾股定理求两点间的距离，会

根据题意作图，根据二次函数与一次函数交点问题求坐标是解题的关键.

25.如图，平行四边形ABC。中,ND=30°，过A作在上取一点E,将E20绕点E逆时针

旋转得线段EN.

(1)如图1,若点E是中点，CD=3,9旋转后点N恰好落在边AB上，求MN的长度.

(2)如图2,将绕点E逆时针旋转2ZB得线段EN,当AB=AC时，在CM上取一点歹，使

EF=EB，连AN,AF,NF,猜想AN与AF的大小关系并证明.

(3)如图3,若点E为中点，点P为MN中点，AB=4,当A尸最小时，直接写出

【答案】(1)迪；

4

(2)AN=-AF,证明见解析;

2

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(3)巫.

19

【解析】

【分析】(1)根据平行四边形性质得到，AB=CD=3,NB=ND=30°,根据4mBe得到3知=迪，

2

根据中点性质和旋转性质推出ZBNM=90°,得到MN二地;

4

(2)延长FN到点G,使GN=FN,连AG,BG,根据三角形中位线性质得到BG=2EN,EN//BG,

得到ZGBC=ZNEF,根据ZNEF=2ZABC,推出ZGBA=ZABC=30°,根据等腰三角形性质得到

BM=CM,ZABC=ZACB=30°,得至UZABG=ZACF,结合ER=3E推出CT=2EM,由

EN=EM推