应用数理统计-施雨-课后答案

习题1

解：由题意p〈x-u<"=0.95可得:

而一——人〜N（0,l）

这可通过查N(0,l)分布表，p\王卫<—L0.95+-(1-0.95)=0.975

acr2

1.2解：（1）至800小时，没有一个元件失效，那么说明所有元件的寿命>800小时。

那么有6个元件，那么所求的概率p=（g-1'2）6=e-7-2

⑵至300小时，所有元件失效，那么说明所有元件的寿命<3000小时

那么有6个元件，那么所求的概率0=（1—"45）6

解:⑴，={（为,%,%3）1々=0」,2,，左=1,2,3}

因为X,.〜P（九），所以P{X1<xl,X2<x2,X3<x3}

其中=0,1,2,…次=1,2,3

（2）%={（西,尤2，尢3）1々20;左=1,2,3}

因为其概率密度为/（x）='"一

0,x<0

所以，/（西,々,花）=炉/冷肺多），其中与20次=1,2,3

（3）x={{xi,x2,xi）\a<xk<b;k=1,2,3}

一1

因为X,〜。3,。）,其概率密度为/（X）=--

0,x<a\x>b

所以,/（%I，%2，%3）=一其中。〈/<b;k=l,2,3

(Jb-a)

(4)%={(再,k2，/)1一°°</<+8；左=1,2,3}

1(%i)2

因为Xj〜N(N，1)，其概率密度为/(%)=-=e2,(-oo<x<+oo)

<2兀

1-

所以,/（%,%2，％3）=----------修，其中一8<々<+8；左=1,2,3

一（2万）一

(inXj-w)2

2b2,0<玉<8

1.4解：由题意可得：/（玉）=

0,其它

1n、

------f

22ai=i

那么Xn)=fl/(Xi)---；--------,0<玉<oo,z=1,...

(2")2

Z=1b岳

1=1

0,其它

1.5

证：令F(a)=t(X,—a)2

Z=1

那么F(a)=_£2氏-a),F(a)=2〃>0

i=l

令F(a)=一汽2(X,「a)=0,那么可解得a=-^X,=X

i=\〃z=l

由于这是唯一解,又因为尸'(a)=2〃〉0,

1n_

因此，当〃二一£x,.二》时,F（tz）取得最小值

〃z=l

1.6

证:⑴等式左边之（X,-胡工（Xz.-X+X-日）2

«=ii=i

左边=右边，所以得证.

⑵等式左边£（X,—又）2=£X;-2又£X,.+nX2

z=li=lz=l

左边=右边，所以得证.

1.7证：（1）%〃二一〉2为

n曰

-1-

那么Z+—7（招+1一%）

n+1

七白+而飞

iei1n_

=-7、匕+—7王n+\

n+l^Zi〃+1布3f

/.原命题得证

1n_2

(2)f=一=；_%〃

几/=1

"…)2

那么——f+

〃+1

1«nInn

n22

^7Tx;+(^Ti7%n+1西产x”+/“+而7

1n

—£制孔212122n

G7I7册+「两产当+户，，

1〃

1〃一2

K"+l+k")

1,n-

由⑴可得:k”+i+"〃X.+1

12

那么上式=储TS,"

〃+1i=l

/.原命题得证

1.10

解：因为又=!£乂”52=工£（乂,._又）2=工七乂,2_又2

,i

n=n,=1n,=1

所以⑴二项分布3（〃2，P）

⑵泊松分布尸(九)

—_7ri—1

E(X)=入,D(X)=-,E(S2)=--X

nn

(3)均匀分布。(Q,Z?)

E(X)=^^,D(又)=$-。丫,E(S2)=IIZ1S—

212〃12n

（4）指数分布Exp（九）

_1_1rn_1

E(X)=『D(X)=F，ES)=K

AnknN

(5)正态分布N(R,CT2)

E(又)=日，D(X)=-o-2,E(S2)=^O-2

nn

1.11解：⑴是统计量

(2)不是统计量，因为u未知

(3)统计量

(4)统计量

(5)统计量，顺序统计量

(6)统计量

(7)统计量

(8)不是统计量，因为u未知

1.14.

_1〃

解：因为X,独立同分布，并且X,〜入)，又=—£Xj

n,=i

所以，X,~「(必九);

1=1

n_1

令y=£x,,那么x=—y,由求解随机变量函数的概率密度公式可得

n

1.15解：的概率密度为：

又F(x)=x2且f(x)=2x,0<x<l

"I

那么有九)(x)=----------------------x2(m-1)(l-x2)n-'n2x,0<x<l

(m)(〃―1)!—(〃一〃z)!

(2)X(D与x(n)的联合概率密度为：

=n(n—l)(y2~x2)"~2-2x-2y

=4H(H-l)xy(y2-x2)"-20<x<y<l

对于其他x,y,有/(i)(“)(x,V)=0

Hrj

1.19证：现在要求Y=—X/(l+—X)的概率密度。

mm

令g(x)=—x/(l+—x)可得当O〈y<l有g'(x)=-------------->0

mm(1+4)2

m

求g(x)的反函数h(y)

,口m’,1、「m1

传h(y)=—(-1+-----)又h'(y)=--一

n1-xn(1-.

这样可得丫的概率密度：

h

fY(y)=fx((y)^h'(y)\(yeg(R))

~丁m

n(1-x)

(0<y<D

对于其他的丫有fY(y)=O

原命题得证

证明：令乂=淇中y〜N(O,1),Z~X2(H)，那么X〜t(n)

Z/n

Y2

22

因为X?=而旷2〜Z(1),Z~Z(n)

Z/n

Y2

所以X2=一〜/Q")

Z/n

1.21解：⑴由题意可得：〃=8,/=4再=25

对于7.8〈兄<8.2

0-0.5(向a〃)<0.5

又爪(x-〃)~N(O,I)

通过查N(0,l)分布表,可得：P{7.8<x<8.2}=0.6915-(1-0.6915)=0.383

(2)和(1)一样即求-1.25〈近32<0的概率

通过查表可得：P(7.5<%<8]=0.5-(1-0.8944)=0.3944

(3)此时n=100

即求的概率

CT

通过查表可得：P{7.8<x<8.2)=0.8413-(1-0.8413)=0.6826

(4)单个样品大于11分钟即x>ll

可得该概率pl=l-0.9332=0.0668

25个样品的均值大于9分钟，即x>9

可得该概率为p2=l-0.9938=0.0062

100个样品的均值大于8.6分钟即x〉8.6

可得该概率P3=l-0.9987=0.0013

综上所述，第一种情况更有可能发生。

1.22解：〃=2.5cr2=36n=5

cc2s2n2555、

(l)30<52<44«—z——,一)

o-269

2S2

而三［〜即Z2(4)

cr'36

通过查表可得P=0.1929

(2)样本方差落在30-40的概率为0.1929

样品均值X落在L3〜3.5的概率

即：P{1.3<x<3.5}

OP{-0.4472<&(X-")<0.3727}

CT

又反Z£LN(O,I)

a

查标准正态分布表可得：P{1.3<x<3.5}=0.3179

这样两者同时成立的概率为P=01929x0.3179=0.0613

〃n+m

1.23解：⑴。(2£)2+6(3七)2

z=li=n+\

___22

22

=a(nxn)+b(mxm)-=anxn+bm-xm

2

=(4an)2+(4bmxm)

由定理只要，mx”和服从N(0.,l)分布

那么上式为力2(2)分布

22

E(4anxn)=0D(4anxn)=an——=ana

n

_0.2

22

E(4bnmxm)=0V){4bmxm)=brn——=bma

m

要使^4bnmxm服从N(0,l)分布，那么即cP=i且加:/日

这样可得：a=J—b=J—

n(jma

♦_

(2)YjXi=nXn

i=l

由定理X〜N(0,l)Y~J2(2)

=>T=—JI⑺

__2b2

E(nx)=0D(nx)=n-------ncr

nnn

1n

那么^Zx，^服从N(0』)分布。

Yn(jt

2

E(nxn)=0D(x.)=o-

那么玉服从N(0,l)分布

(J

n+m丫

£(」)2服从/(加)分布

i=n+lO

m

这样可得c=J%

Vn

（3）由定理，X〜%2（4）,y〜%2（%）

=>F=--------砥4,%)

Y/n2

Xj〜Ng,/)那么王〜N(OJ)

a

n丫n+m丫

这样有£(」)2〜/(")£(―)2~Z2(m)

z=lbi=n+l0

_n丫n+m丫

可得t(二)2/(£(—)2/m)~F(n,m)

1=1bi=n+l0

〃n+m

令其=一以2/岁,2

z=li=n+l

那么d='

n

1.25证：Xj〜N(〃I，CF])2X〜N(〃2，%)2

那么Xil〜N(0,l)

nlY_//2

=>,(i4)〜力2(%)

i=l力

=>5(Xj%)/%)/(f('%)/%)〜F(〃I，〃2)

z=lb1i=l。2

nl

=>------------------------------F(ni，n2)

〃5-〃2)2

i=l

习题2

2.1解：(1)%~石尔之)

1A-1

那么〃=—,令//=%,那么——x

X1

2=1

这样可以得到:

X

[2)x~u(a,b)

a+b

那么％=u-------

2

A-a+b

u-x-------

令：2

A2AAA2—

a2=S?——(b+ci/7+ci)—%?

3

_一_或者<?=x+yiH〔因为a<b,故舍去〕

这样可以得：|?=x一半七匚

b=%+」3s2b=x-d3s2

[3)cc.—Li={3xexxdx=———

1J。0+1

令〃=x

0A

即有^—二九又。＞。,。＜元＜1

8+1

X

解得：e=

l-x

[4)%=〃=

")!

令0x=t

上式=得［8,

=1rVe'=口+D=总=幺

，(左一1)!」0万/一1)!’(左一1)!(3

令比=%，那么/?=刍

x

[5)令x-a=t

t服从参数为;l的指数分布

那么E(x)=E(x-a)+a=—+a

4

-1A

x——Cl

2

A21A2A21

S—Cl=——+M-U———

A2A2

[6)%=〃=mpX〜B(m,p)

令u=x=mp,p=一

m

2.2

1花优x>0

解:⑴由于X~£xp(X),所以/(x)=<

0,其它

-江哲

因此L(；l)=12"eI,X,.>0,In£(2)=nln2-2^x,.,

0,其它2

n

AinT(nAiAi

u⑺=——£x=0,该似然方程有唯一解2=上，所以2的极大似然估计量为彳=上

9'XX

⑵由于X〜X(a㈤，所以/(%)=2—a~

0,其它

所以，样本(XPX2,...,XJ的联合概率密度为

，故(a,。)的似然函数为

0,其它

,a<min(%]

L(a,b)=<

0其它

当a=minC%1，.,xn),b=max(X],…,x“)时,L(a,b)取得最大值，故(a,b)的极大似然估计量为

a=min(X],),b=max(须，…，/)

n

夕'「Tx"T0<X<1n

(3)因为L(6»)=七V''，所以lnL(/l)=〃ln，+(，—l)£lnXj,

0,其它月

Bln[（0、A

N

令H__巴=_+ylnx0,该似然方程有唯一解e=-,所以0的极大似然估计量为

Z=1

Z=1

产『I尸J吟X>0

⑷因为L(0=[(左—1)「斗苍,，毛>u,所以

0,其它

InL(。)=nkIn，一〃In(左一1)!+(^-l)^lnxz.-f3^\nxi,

i=li=l

.SlnL(6)nk-Ank

=0,该似然方程有唯一解力，所以A的极大似然估计量为

令---d--o---=--/-3--〉ax,.n

Z=1

A乙

a

（5）样本（X1,X2，・，X“）的联合概率密度为

-/£(%♦一°)

n,=1

Y[f(a,A)=<xi,---,xn>a,L(tz,2)=pe,min。,…，x〃)>a,易见

其它|o,其它

Z=10,

A

当o=min（王，-，匕）时,

£（a,X）取得最大值,因此〃的极大似然估计量为a=min（%,.，天）;

而令dln，a,㈤=4—之（）=0该似然方程有唯一解[=所以力的极大似然估计

4台X-a

A1

量为;1==^

X-a

(6)因X的概率函数为P{X=x}=C^px(l-py-\x=0,1,2,

tn

故p的似然函数为L(p)=1[C："(1-0个=0,1,2,

i=l

m

对数似然函数为InL(p)=£[lnCj+xJnp+(〃2-xJln(l—p)],

i=l

n.

OlnL")E%X(吁引)Ax

令c=3———...................=0,该似然方程有唯一解p=故p的极大似然估计量为

dppI-pm

△X

P=~-

m

2.3解：似然函数LlP;x)=jjp(%；P)

i=l

=立「(1-p)“

i=l

人61nL(2)11V1c

令：.....—■=”一+“----/〉x；------=0

2PP1-Pi=i1-P

A11n

P=~~=%又因二〃P)|.<0

储dpP=X

Z=1

n

二.p的极大似然估计量为p=x

2.4解：该产品编号服从均匀分布，即x〜u(l,N)

1+N

矩估计方法：%=〃=一--

A

A1+TVA-

令：R=X那么有：x=------N=2x—1=2*710—1=1419

2

nii

极大似然估计方法：L(N〕=门——=(——),!

七十N-1N-1

显然：当N=min(xl,x2,--xn时,L(N)取得最大值，只有一个值

AA

/.N=710,即N的极大似然估计量为N=710

2.5

A△

解：由于总体X〜N也。2)，所以出/的极大似然估计量分别为日=£4=§2，而由题意

\+C°-^=e-^l2a2dx=0.025可知P{X>0]=[+<^-e-^dx=0.025,所以

hy/27vaJ。s/27va

i-帆仁E)=0.025,即e=1.96。+N,因止匕e的极大似然估计量为e=i.96JF+x.

a

2.6解：(1)R=%5)—%⑴=2.14—2.09=0.05

(2)将题中数据等分为三组

第一组:2.14,210,2.15,2.13,2.12,2.13,

2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13

2.11,2.14,2.10,2.11,2.15,2.10

一1

平均极差：R=-(0.05+0.05+0.05)=0.05

2.7.

_28+1-

解:⑴证:因为E(X)=E(X)=--------w氏所以X是。的一个有偏估计量；

2

A_DO+11

因止匕,£(。)_8=£(又)_夕=-------e=—

22

-1-1-1-1

(2)由于E(X——)=E(X)——=6,所以当X——作为。的估计量时,X—-是。的无偏估计量

2222

(3)MSE(X,0)=E(X-0)2=E(X2)-20E(X)+O1

A12

2.8.证明：对于——Xj+—%2

A32

对于〃2--X1+~X2

1Al1

对于〃3=5玉+2%2

AAAAA

由上面可以见：氏外)=颐〃2)=石(。3)=U/.,出，〃3都是U的无偏估计量，又

AA

。(外)<D卬2)<0(。3)•.•估计量最有效

2.9

.一!〃一1

解：由于E(cZ(Xm—X,)2)=c£(EX'+EX；-2EXi+iEX)=C2(»-1)(T2,

i=li=l

i.一!

所以，当c=-----------时,cY(x/+1-x,)2为〃的无偏估计量.

2(〃-1),=1

2.10证明：对于ax+(l-tz)S*2,cre[0,1]

有E(a九+(1-«)S*2)=E(ax)+E((l-£Z)S*2)

=«E(x)+(l-«)E(S*2)

=aA+(l-tz)cr2

=c(A+(1—cc)A.=X

ctx+(l-a)S*2都是2的无偏估计量

2.12证明：假设存在估计量。cf是p2的无偏估计量

.「0*

那么有ax[的分布为

U-PPJ

那么E(axf)=碑＞，要使印=,那么a=p，但p是未知参数，

可见：ap手p，

p2不存在无偏估计量

2.13

解:首先,对于两点分布B(l,p)，有P{X=x}=px(l-p)即

p(x;p)=px(l-p尸,x=0」,而p(x;p)=xlnp+(l-x)ln(l—p),于是

I[P)=E[-l-In〃(X;p)r=E(j-P¥,,EX=p,DX=p(l-p)，故

MP)=2，x=Y~^,因此2的H—C下界为1=四二包.

P(1一。)P(l-P)nl(p)n

其次，由于T=X]X2，

所以。(T)=-)=E(X；X；)-[E(X/2)]2=p2—p4=p2(l—p2)

最后，由于e〃(T)=叱因此

nl(p)/

QX

2.14解：x服从泊松分布p[％),/?(%.,2)=—eA,x=0,l,2,----

_D(x)_1

-4.一互

11443

下的R-C下界为——-=-423=—

nl(2)nn

2.i6证明：由可得E(e)=e

假设。是。的均方相合估计，那么有

又：p\o-e>^>Q

所以：limpi\o-0>A=O

n->co|

2.18解：(l)T=(x(i),x(,))

那么有：frnw(X，y)=小T)尸(y)—%x)产/(x)/(y)

T(x(i),…,%))=(%),x(“))T

:.6={a,bY的充分估计量为(均),%))T

(2)T(x(i),Xi，...,x“)

对于样本的联合概率密度：

_^^n+1^InaA,^-nxA,x

TmmAnZx

，=(a,%)r,T=(%),x),K(T,d)=e^e~e-

，=(a,4)r的充分估计量为(x(i),x)r

2.21证明：(1)X~瓯(/1),马,苍,..,与为取自*的样本，那么其联合概率密度为:

=X'e^x;>0

对照定理的形式：

这样可得：T(x”...,X,)=%是工的无偏估计量

由定理，这样，可得X是可估函数上一致最小方差无偏估计

4

-1

[2)首先1是一的无偏估计

4

那么有。(，)=〃分/0

_1_1

又因为E(x)=一x是一的有效估计量

X4

2.22

-1

解:(1)由于元件的寿命服从指数分布期(X),而X是一的无偏估计，且有

2nAX~X~(2n)，令/=2〃2又，那么力？即为符合要求的枢轴量.对给定的置信度l-a,查

/(2〃)分布表，得显也(2"),42(2〃)，使得

尸{/L/2(2")<Z2<*/2(2〃)}=1—。,即「{”猥)<几<=1一。，

故2的置信度为1-a的置信区间为("?”),.一竺),

2nX2nX

N的置信度为1-a的置信区间为(2，lX,rX)),

Zfl/2(2n)Zi-fl/2(2n)

因此，参数4的置信度为90%的置信区间为(0.00056,0.00147)

元件的平均寿命日的置信度为90%的置信区间为(681.6,1792.3);

(2)由(1)的分析可知,的置信度为1-a的单侧置信下限为,+8),

力其2〃)

H的置信度为1-a的单侧置信上限为(-8,产),

力一(2〃)

因此,元件平均寿命pi的置信度为90%的单侧置信下限为(747.7,+8)

元件平均寿命pi的置信度为90%的单侧置信上限为(-8,1585.0).

2.23解：由题意得总体x~B(l,p)

当n总分大时：

士f/4n{x-p)।1

有p{—<—===<Ua}=\-a

7JP(1-P)5

_60

由题意得：1-a=0.95,a=0.05,x=-----,n=105查表得=1.96

105%

这样，我们可以解得：p的置信度约为0.95的置信区间为：［0.4768,0.6661)

2.24解：由中心极限定理可得，当n充分大时，对于P(2)分布有：

Exk-mi

上、------N(0,l),在这里，n充分大，u=2,b=JI

那么有p{—"a<'I——-----<}=1—。

Vn

通过解不等式

X的置信度近似为1一£的置信区间为ix+^~(Ua

2n-

2.26解：对于正态分布N[”.cP),当er2时:

〃的置信度为1-a的置信区间为：

1X—〒wa，x+—j=ua)

7Tl5A/〃万

那么置信区间的长度1=20%

Y〃~2

2(yua

假设/〈心可解得〃2(—If=一卢

LL

2.28解：首先求前家公司飞机平均晚点时间的95%的置信区间:

x=35,n=30,s=VS2=15,1-a=95%

在这里方差a?未知，有6(匚〃)〜«“_])

S

故有：p{l"（:1）}=95%

-s*q*

/.〃的置信度为95%置信区间为:工—尸乙（〃—1），X+7%（〃一1））

V27ny

又：S*」一S,查表可得：,0025（29）=2.0452

n-1

这样可得置信区间为：[29.303,40.697)

*

一V

〃的单侧置信上限为x+^t^n-1)

2

对于前家公司，可求得单侧置信上限为35+3405(29)=35+7=1.6991=39.733

V29V29

对于后家公司，可求得单侧置信上限为30+(29)=36.310

可见第二家公司u的单侧置信上限较小，所以后选择第二家公司o

（〃T）S*y2/

2.30解：u未知，那么有2〜/1n-1)

（J

那么，P卜％仇j；*2、

<z|/(^1'=1—a

|（n-iy2

即山”）一

a的置信度为1—a的置信区间为：

2

在这里n=10x=576.4,（〃一1）S

=676.4a=1—0.95=0.05

ZO.O25（9）=19.O23/975（9）=2.700

可得a的置信度为0.95的置信区间渭〔5.9630,15.8278）

，的单侧置信下限为氏M

查表得：Zo.o5（9）=16.919可得:a的置信度为0.95的单侧置信下限为6.3229

卜一力（叫一））

-t(n+n-2)

2.32解：由于两分布方差相同：T="12

Sn+

"vin2

I（-T）S：+（-T）S；

其中0T（%+「2）

那么4-的置信度为1—a的置信区间为：

(4+5-2)=2.3646

在此题中x=0.14125,y=0.1392,a=0.05,t0025

S0=0.00255147J-+-=0.67082039

V45

可计算得M-〃2的置信度为。95的置信区间为:(-0.00200,0.00610)

2.34解：此题中a；和a；均未知，

令Zj=Xj—Yj,i=l,2,..…,9

那么Zj~N(〃]—a：+)

那么从-〃2的置信度为1—a的置信区间为:

Z=X-YY=-2.778,Vn=3,t%(n-l)=t0025(8)=2.3060

这样可计算得〃i-4