2020-2021学年福建省莆田市高一（下）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年福建省莆田市高一（下）期末数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.若复数z=l-2户，贝|z的虚部是（）

A.-2B.-2zC.2D.2z

2.某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示.

射击次数501002004001000

射中8环以上的次数4478158320800

根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（）

A.0.78B.0.79C.0.80D.0.82

3.若复数z满足-3+43贝（）

A.3-4zB.4-3iC.3+4/D.3+4/4+3z

4.已知向量二E不共线，且向量Z+入E与（入+1）彳+2三共线，则实数人的值为（）

A.-2或-1B.-2或1C.-1或2D.1或2

5.一个不透明的袋子中装有8个红球，2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，

采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是（）

A.3个都是白球B.3个都是红球

C.至少1个红球D.至多2个白球

6.设机，〃是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若式〃0,mca,wu0,贝！］相〃”

B.若我口0=机，nep,m±n,贝!|〃J_a

C.若式_1_0,mca,则加J_w

D.若机J_a,m//n,n//^,则a_L0

7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,c=J石，C芸匕，则丝吟=

3sinB

（）

A.—B.—C.—D.3

433

8.古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱内

切球的体积是圆柱体积的苫，且球的表面积也是圆柱表面积的?.已知表面积为18TT的

33

圆柱的轴截面为正方形，则该圆柱内切球表面积与圆柱的体积之比为（

A.2：373B.2：V3C.710：3D.472：3

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某校举行“永远跟党走、唱响青春梦”歌唱比赛.在歌唱比赛中，由9名专业人士和9

名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分.根据两个评委小组(记为小组A,

小组8)对同一名选手打分的分值绘制成折线图，如图，则()

A.小组A打分的分值的众数为47

B.小组B打分的分值第80百分位数为69

C.小组A更像是由专业人士组成

D.小组B打分的分值的均值小于小组A打分的分值的均值

10.设A,8为两个随机事件，且尸(A)>0,P(B)>0,则下列命题正确的是()

A.若尸(AB)=P(A)P⑻，则A,B相互独立

B.若A和2相互独立，则A和B一定不互斥

C.若A和8互斥，则A和B一定相互独立

D.P(AB)<P(AB+AB)

11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-AIiCiP中，尸是上的动点，则()

A,直线。尸与8cl是异面直线

B."〃平面43。

C.4P+P8的最小值是2

D.当尸与Bi重合时，三棱锥尸-42。的外接球半径为返

2

12.点。，H分别为aABC的外心，垂心，点。，M在平面ABC内，则下列命题正确的是

()

A.若2说而+而且辰1=2|标I，则向量诬在向量前上的投影向量为春丽

乙

一一・一•・

B.若赤入(苫+言),且通=|1瓦+(1-|1)而则而=正

lABIIACI

C.若位+2而+3筱=柞则△ABC的面积与的面积之比为2：1

D.若证+2诬+3证=1,则COS/AHBJ^

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家.为掌握各类超市的营业

情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市家.

14.已知4件产品中恰有2件一等品，从中任取2件，恰有1件一等品的概率

为.

15.△ABC中，AB=1,AC=2,ZBAC=60°,点M,N分别在AC,BC上，且AM=CM,

BN=2NC,AN,相交于点P,则cos/MPN=.

16.如图，一块斜边长为40c7w的直角三角尺，其中一个内角为60°,把该角立在桌面上，

使得斜边所在的直线与桌面所在的平面所成的角为45°,再绕其斜边旋转，则直角顶点

到桌面距离的最大值为cm.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知向量;，石满足口=1，后|=0，(2；4)＜；+23)=1

(1)求Z与E的夹角e；

(2)求la-2b|的值•

9

18.如图，平面ACEF_L平面ABC,AFLAC,AF//CE,AF/CE，BD=2DE.

3

(1)求证：。尸〃平面ABC；

(2)求证：DFLCE.

19.在①m=(cosA,cosB),n=(b-2c,a)，且m_Lrr

②acosA+acos(B-C)=2/3bcosAsinC,

③(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解

答.

问题：AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且_________.

(1)求A的值；

(2)若a=2,求△ABC周长的最大值.

20.甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为g,乙获胜的概率为《，且

33

各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制(先胜2局者

获胜，比赛结束)；方案二：五局三胜制(先胜3局者获胜，比赛结束).

(1)若选择方案一，求甲获胜的概率；

(2)用掷硬币的方式决定比赛方案，掷3枚硬币，若恰有2枚正面朝上，则选择方案一,

否则选择方案二.判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由.

21.如图1,Rt^ABC中，ZB=90°,AB=2«,BC=2,D,E分别是AB,AC的中点.把

△AOE沿。E折至△POE的位置，PC平面8CED,连接尸8,PC,尸为线段尸8的中点,

如图2.

（1）求证：_L平面尸BC；

（2）当三棱锥尸-8DE的体积为芭时，求直线8。与PC所成角的正切值.

22.为进一步推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件的发生，某市开展

防骗知识大宣传活动.该市年龄100岁及以下的居民人口约为300万人，从0岁到100

岁的居民年龄频率分布直方图如图所示，其分组区间为：[0,20）,[20,40）,[40,60）,

[60,80）,[80,100],为了解防骗知识宣传的效果，随机调查了100名该市年龄100岁

及以下居民对防骗知识的知晓情况，调查的知晓率（被调查的人群中，知晓的人数和总

人数的比率）如表所示.

年龄段[0,20）[20,40）[40,60）[60,80）[80,100]

知晓率（％）3445546574

（1）根据频率分布直方图，估计该市年龄100岁及以下居民的平均年龄（同一组中的数

据用该组区间的中点值作代表）；

（2）利用样本估计总体的思想，估计该市年龄100岁及以下居民对防骗知识的知晓率；

（3）根据《中国电信网络诈骗分析报告》显示，老年人（年龄60岁及以上）为易受骗

人群，但调查中发现年龄在[60,100]的人群比年龄在[0,60）的人群对防骗知识的知晓

率高.请从统计学的角度分析调查结果与实际情况产生差异的原因（至少写出两点）.

参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.若复数z=1-2落则z的虚部是（）

A.-2B.-2iC.2D.2i

【分析】利用虚数单位i的运算性质化简z,则答案可求.

解：Vz=l-2z5=l-2z4«z=1-2z,

；.z的虚部是-2.

故选：A.

2.某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示.

射击次数501002004001000

射中8环以上的次数4478158320800

根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（）

A.0.78B.0.79C.0.80D.0.82

【分析】计算出5组数据中，射中8环以上的频率，用频率估计概率.

解:射中8环以上的频率依次为0.88,0.78,0.79,0.8,0.8,

所以估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为0.8.

故选：C.

3.若复数z满足/=-3+43贝!|z=（）

A.3-4iB.4-3iC.3+4/D.3+4/4+3z

【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共朝复数的概念得

答案.

——~3+4i（-3+4i）（-i）

解：由z，=-3+4K得z=;=2=4+31,

1-i

则z—4-3i.

故选：B.

4.已知向量7，三不共线，且向量；+入％与（入+1）彳+2三共线，则实数人的值为（）

A.-2或-1B.-2或1C.-1或2D.1或2

【分析】根据题意知Z+入％wl，然后根据共面向量基本定理可得出

X+1=|1

（入+1）a+2b=!"!■a+同人b，进而得出然后解出入的值即可.

口入=2

解：E不共线,

••a+入b#0，

又a+入b与（入+1）a+2b共线，

,存在H，使（入+1）a+2b=Ua+W入b，

1"，解得入=-2或1.

1H人=2

故选：B.

5.一个不透明的袋子中装有8个红球，2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同,

采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是（）

A.3个都是白球B.3个都是红球

C.至少1个红球D.至多2个白球

【分析】根据已知条件，结合必然事件，不可能事件，随件事件的概念，即可求解.

解：由于袋子中白球的个数为2个，摸出的3个球都是白球是不可能事情，故A选项正

确，

摸出的3个球都是红球是随机事件，故B选项错误，

摸出的球至少一个红球是必然事件，故C选项错误，

摸出的球至多2个白球是必然事件，故。选项错误.

故选：A.

6.设相，”是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若观〃0,mea,wu0,贝！］相〃〃

B.若7?cp,m_Ln,则

C.若aJ_0，机ua,”u0,则机J_w

D.若〃z_La,m//n,n//^>,则a_L0

【分析】由两平行平面中两直线的位置关系判定A;由面面垂直的性质判断&由两垂直

平面中两直线的位置关系判断C；由线面垂直的性质及面面垂直的判定判断D

解：若。〃0,机ua,则机〃见或机与〃异面，故A错误；

若aC0=相，/U0,优_1_",则“J_a错误，只有添加条件a_L0时才有"J_a,故B错误;

若观_1_廿，〃2ua,〃u0,则机与〃的关系为平行、相交或异面，故C错误；

若〃z_La,相〃〃，则”J_a,又"〃0,则a_L0,故£）正确.

故选：D.

7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若。=3,cf/石，C=^＞则当哈=

3sinB

()

24.1

A.—B.—C.—D.3

433

【分析】由正弦定理可求得sinA,进而可得cosA,即可求得sinB,进而可得答案

解：由正弦定理可得代入可得sinA=©&=差笺=色画，

sinAsinCc.正26

因为C=^L，所以Ae(0,=),故cosA=±厘，

3326

所以sin3=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=2业2X(--)

_26226226

3西

则粤=其2=3,

sinB

IT

故选：D.

8.古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱内

切球的体积是圆柱体积的苫，且球的表面积也是圆柱表面积的3.已知表面积为18TT的

圆柱的轴截面为正方形，则该圆柱内切球表面积与圆柱的体积之比为()

A.2：3-y3B.2：C.Jio:3D.4\/2:3

【分析】设圆柱的底面半径为,，则高为2r,由圆柱的表面积求得r,再求出圆柱内切球

的表面积及圆柱的体积，作比得答案.

解：设圆柱的底面半径为r,则高为2r,

圆柱的表面积为2冗户+211厂2厂=611产=1811：,解得

圆柱内切球的表面积为S=4TTX(炳)2=12兀，

圆柱的体积为V=HX(73)2x2晶=6\他兀.

该圆柱内切球表面积与圆柱的体积之比为12m6时兀=2：

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某校举行“永远跟党走、唱响青春梦”歌唱比赛.在歌唱比赛中，由9名专业人士和9

名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分.根据两个评委小组(记为小组A,

小组2)对同一名选手打分的分值绘制成折线图，如图，则()

A.小组A打分的分值的众数为47

B.小组B打分的分值第80百分位数为69

C.小组A更像是由专业人士组成

D.小组B打分的分值的均值小于小组A打分的分值的均值

【分析】由折线图中的数据，结合众数、百分位数、平均数的定义对四个选项逐一分析

判断即可.

解：由折线图可知，小组A打分的分值为：42,47,45,46,50,47,50,47,

则小组A打分的分值的众数为47,故选项A正确；

小组B打分的分值为:55,36,70,66,75,68,68,62,58,

按照从小到大排列为:36,55,58,62,66,68,68,70,75,

第80百分位数为9X80%=7.2,故应该排序8,所以第80百分位数为70,故选项B错

误；

小组A的打分成绩比较均匀，波动更小，故小组A更像专业人士组成，故选项C正确；

小组A的打分分值的均值小于55,而小组B的打分分值的均值大于55分，

所以小组B打分的分值的均值大于小组A打分的分值的均值，故选项D错误.

故选：AC.

10.设A,8为两个随机事件，且尸(A)>0,P(B)>0,则下列命题正确的是()

A.若P(AB)=P(A)P(B),则A,B相互独立

B.若A和B相互独立，则A和8一定不互斥

C.若A和2互斥，则A和2一定相互独立

D.P(AB)<P(AB+AB)

【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案.

解：A,8为两个随机事件，且尸(A)>0,P(B)>0,

对于A,若P(AB)=P(A)P(B),则A,B相互独立，A正确；

对于8,若A和B相互独立，则A8可能同时发生，故A和8一定不互斥，8正确；

对于C,互斥事件是事件A与8不可能同时发生，若A和2互斥，则A和8一定不会相

互独立，C错误；

对于。，当事件A、B互斥但不对立时，有A、B互斥，且A、B互斥，P(AB)=0,P

(AE+NB)=0-。错误；

故选：AB.

11.如图，在棱长为1的正方体A8CO-AI1C1Q1中，P是Bid上的动点，则()

A.直线。尸与是异面直线

B.CP〃平面48。

C.4P+P8的最小值是2

D.当P与Bi重合时，三棱锥尸-48。的外接球半径为返

2

【分析】由异面直线的定义判断A；证明面面平行，可得线面平行判断仅由余弦定理求

得AiP+PB的最小值判断C；利用分割补形法求三棱锥P-AxBD的外接球半径判断D.

解：当P在BiDi上运动时，OPu平面BBiDiD,在平面BBxDxD,B电DP,GC平面BBiDiD,

由异面直线的定义可得直线。尸与是异面直线，故A正确；

由且可得四边形8历。1。为平行四边形，得到

同理可得AiD〃BiC,又4£>ABZ)=£),可知平面4出。〃平面CBiDi,得到CP〃平面

AiBD,故8正确;

把平面翻折至正方体上底面(4与B在两侧)，有/4由/=135°,

则4P+P8的最小值是J]2+]2_2xixIX=A/24V2,故C错误；

当P与81重合时，三棱锥P-AiBD的外接球即正方体的外接球，半径为返，故。正确.

2

故选：ABD.

12•点。，H分别为△ABC的外心，垂心，点。，M在平面ABC内，则下列命题正确的是

()

A.若2而=屈+菽，且I近1=2|至I，则向量钺在向量前上的投影向量为，砺

B.若赤入(里+苫),且而=乩靛+(r|1)菽，则面=正

lABIIACI

C.若疝+2而+3筱=柞则△ABC的面积与的面积之比为2：1

D.若证+2诬+3m=1,则cos/AHB=W^

【分析】A.根据题意得出O为BC的中点，ZBAC=90°,从而可得I筋|=|神|=|*|

=1而1，再计算向量或在向量筋上的投影向量，即可判断选项A;

B.由题意可得AD是角A的角平分线，当|屈|W|菽|时，而声灰，从而判断选项&

C.设AC中点为E,BC中点为尸，由向量的线性运算可得血=2而，从而可得M,E,

F三点共线，即可求得AABC的面积与的面积的比值，从而判断选项C；

D.设诬=之,诬=石，HC=c;由题意可得Z工=一熹，百=自家，再利用夹角

公式即可求得cosZAHB,从而判断选项D.

解：对于A,由2诟=屈+菽，可得。为BC的中点，

又。为△ABC的外心，所以/3AC=90°,所以瓦|=由前，

又I前|=2|屈I，所以1部1=1标1=1前尸1而I，

设I丽1=1，向量而在向量温上的投影向量为I市Icos60°•丽•花，故A正确；

对于8,设藤方向上的单位向量为式，菽上的单位向量为弓，

ABAC

则入

AD=IABI+|ACI）=入（e1+e2）

因为Ieil=|e21=l,则。过角A的平分线，

由丽=U•屈+（卜四）菽，可得8,C,。三点共线，故A£＞是角A的角平分线，

当屈却说时，而声而故2错误；

对于C，MA+2MB+3MC=0＞则诬+证=-2（而+元），

设AC中点为E,3c中点为F，故诬=2百，

所以M,E,F三点共线，S^MB=^S^ABC,即SAABC：S“MB=2：1,故C正确；

对于。，设诬=彳，1K=C-

由7/为△ABC的垂心，可得市•前=0，即诬•（记-诬）=。，

故彳•（3-E）=°，所以

同理可得

所以

由证+2而+3证=柞可得W+2%+3^=d

则a?+2a，b+3a,c=°，a，b+2b?+3c，b=°，

解得a，b=-白£,Ib『=春a『，

ND

故cos/AH8=cos＜；,：＞=-义委，故D正确.

a。10

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家.为掌握各类超市的营业

情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为10。的样本，应抽取中型超市20家.

【分析】根据所给的三种超市的数目，相加得到共有的超市数目，根据要抽取的超市数

目，得到每个个体被抽到的概率，用中等超市的数目乘以被抽到的概率，得到结果.

解：：大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，

.•.共有超市200+400+1400=2000,

:按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，

.•.每个个体被抽到的概率是职_金，

200020

，中型超市要抽取400XA=20家，

20

故答案为：20.

14.已知4件产品中恰有2件一等品，从中任取2件，恰有1件一等品的概率为4.

一3一

【分析】可记4件产品中恰有的2件一等品为服b；另外另外两件为。、E,进一步一

一列举出从中任取2件的基本事件，再确定其中恰有1件一等品所包含的基本事件个数

后即可利用古典概型概率计算公式进行求解所求概率.

解：记4件产品中恰有的2件一等品为a、b；另外另外两件为。、E,

则从中任取2件的基本事件为(a,b),(a,D),(a,E),(b,E),(b,D),

(。，E)共6个基本事件，

其中恰有1件一等品的为(a,D),(a,E),(b,E),(b,D)包含了4个基本事

件，所以所求概率为P=g=y.

63

故答案为：最.

15.△ABC中，AB=1,AC=2,ZBAC=60°，点M,N分别在AC,8c上，且AM=CM,

BN=2NC,AN,相交于点尸，贝Ucos/MPN=返].

—14―

【分析】可先由余弦定理解出三角形ABC,根据平行线的性质可得馨里黑=[,

BNPNBP4

求出边BP,AP的数值后，再根据余弦定理即可求解.

解：如图，过M做MF//8C并交AN于E,

由余弦定理可得80=422+4（？-2AB・AC・cos60°,解得BC=«.

.♦.△ABC为直角三角形，NABC=90°,\'AM=CM,ZiABM为正三角形,

为AC中点，尸为△ABC的中位线，为AN中点,

,:BN=2NC,:CN=^,又,；48=1'

AC=2,

,在Rt/XABN中，AN=VAB2+BN2=^|^,

O

.ME_PE_PM_1;.PN率，BP.，，研理，

"BN"PN'PB-!

lbbb

.,.cosZMPN=cosZAPB=.好2+近21房:=返1

2AP-BP14

故答案为：返1

14

16.如图，一块斜边长为40c%的直角三角尺，其中一个内角为60°,把该角立在桌面上,

使得斜边所在的直线与桌面所在的平面所成的角为45°,再绕其斜边旋转，则直角顶点

到桌面距离的最大值为_5^历+5a_。九

【分析】由题意，当AC与BC的投影在同一条直线上时，直角顶点A到桌面的距离〃

最大，设顶点48在桌面上的投影分别为M,N,利用角之间的关系求出AC与AM的

夹角a,然后利用边角关系求解〃即可.

解：由题意可得，当AC与BC的投影在同一条直线上时，直角顶点A到桌面的距离

最大，

如图所示，设顶点A,B在桌面上的投影分别为〃，N,

则M,N,C三点共线，

设AC与AM的夹角为a,

则a+90°=45°+60°,

解得a=15°,

所以cosa=cosl5°=cos(45°-30°)="一气",

4

在RtZXABC中，ZA=90°,BC=40,所以AC=20,

则/z=AM=AC*cosa=20X返撰=5&+5巡，

4

所以直角顶点到桌面距离的最大值为凡历+5遍(cm).

故答案为：5V2+5V6.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知向量；，％满足|=i，后|=亚，(2；-E)，(；+2E)=l.

(1)求Z与E的夹角0；

⑵求la-2bI的值•

【分析】(1)直接展开结合模长即可求解结论；

(2)把所求平方再开方即可.

解：(1)...向量a，b满足la1=1|bl=J^，(2a-b),(a+2b)=l,

/.2^2+32^2=l^>2+3XlX-72cose-2X(加)』lncos9=浮，

V0e[O,TT],

7224+42=1

⑵Ia-2b|=a-a*bb-4X1XV2cosO+4X(五)』5,

Ia-2bl=V5-

9

18.如图，平面ACEF_L平面A8C,AFLAC,AF//CE,AF=^CE，BD=2DE.

3

(1)求证：。尸〃平面ABC；

(2)求证：DF1CE.

【分析】(1)在上取点P,使BP=2PC,连接。尸，AP,推导出。尸〃AP,即可证

得。尸〃平面ABC；

(2)由面面垂直的性质定理可得AF_L平面ABC,从而得到AF±AP,再由DF//AP,

CE//AF,即可证得。尸_LCE.

【解答】证明：(1)在上取点P,使8尸=2PC,连接。尸，AP.

9

因为所以。尸〃CE,DP=—CE.

3

9

又因为AE〃CE,AF^—CE,

3

所以AF〃。尸，AF=DP.

所以四边形4即尸为平行四边形，

所以DF//AP.

又APu平面ABC,ZW平面ABC,

所以〃平面ABC.

(2)因为平面ACEP_L平面ABC,AFLAC,平面ACEFC平面ABC=AC,

所以AF_L平面ABC.

又APu平面ABC,所以

由(1)知。尸〃AP,CE//AF,

所以DFVCE.

19.在①m=(cosA,cosB)>n=(b_2c,a)>且m_Lrr

@acosA+acos(B-C)=2/3bcosAsinC,

③(sinB-sinC)-sirtBsinC这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解

答.

问题：ZXABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且_________.

(1)求A的值；

(2)若a=2,求△ABC周长的最大值.

【分析】若选①：

(1)先根据向量垂直和向量的坐标建立等式,利用正弦定理，两角和的正弦公式可求cosA

=3，结合范围Ae(0,n),可得A的值；

(2)由余弦定理，基本不等式可求b+c的最大值，即可求解三角形的周长的最大值.

若选②：

(1)利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得tanA=V3＞结合范围

AE(0,Tt),可得A的值；

(2)由余弦定理，基本不等式可求b+c的最大值，即可求解三角形的周长的最大值.

若选③：

(1)由已知利用正弦定理可得5+C2-由余弦定理可得COSA=£,结合范围Ae

(0,TT),可得A的值；

(2)由余弦定理，基本不等式可求b+c的最大值，即可求解三角形的周长的最大值.

解：若选①：

(1)因为‘m=(cosA,cosB)，n=(b-2c,a)，且m_Lrr

所以(/?-2c)cosA+«cosB=0,由正弦定理可得：sinBcosA-2sinCcosA+sinAcosB=0,

所以sin(A+B)=2sinCcosA,在△ABC中可得sinC=2sinCcosA,

因为sinCWO,

所以cosA=-^-,

因为Ae(0,n),

解得A=等；

(2)a=2,A=-^~,由余弦定理可得：a2=Z?2+c2-2bccosA=(6+c)2-2bc-bc=(6+c)

3

2-3bc,

2

所以可得儿=生/二支w(白)2,当且仅当6=c时取等号，

22

解得Z?+cW4,

所以三角形的周长最大值为：a+Z?+c=6；

若选②：

(1)因为acosA+acos(B-C)=2\/^bccisAsinC,可得-QCOS(B+C)+〃COS(B-C)=

2^3Z?cosAsinC,

可得-“(cos3cosc-sinBsinC)+ti(cosBcosC+sinBsinC)=2\f^bcosAsinC,可得2asinBsinC

=2J^bcosAsinC,

由正弦定理可得sinAsinBsinC=yf^inBcosAsinC,

由于sinBWO,sinCWO,

所以sinA=J^cosA,即tanA=

因为AE(0,n),

解得4=9；

o

(2)a=2,A=-^-,由余弦定理可得：d2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-bc=(b+c)

3

2-3bc,

2

所以可得6C=Q+C)吆w(摩)2,当且仅当6=c时取等号，

22

解得A+cW4,

所以三角形的周长最大值为：〃+b+c=6；

若选③：

(1)因为(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC,整理可得sidB+sidC-sin2A=sin3sinC,

所以由正弦定理可得b2+c2-a2=bc,

12,22I

由余弦定理可得cosA=旦上J二。=《1=4，

2bc2bc2

因为Ae(0,it),

解得A=等；

o

(2)〃=2,A=2-,由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=(Z?+c)2-2bc-bc=(b+c)

3

2-3bc,

2

所以可得6c=Q±J)Zlw(毕)2,当且仅当6=c时取等号，

22

解得b+cW4,

所以三角形的周长最大值为：〃+。+。=6.

20.甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为g，乙获胜的概率为《，且

33

各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者

获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.

（1）若选择方案一，求甲获胜的概率；

（2）用掷硬币的方式决定比赛方案，掷3枚硬币，若恰有2枚正面朝上，则选择方案一,

否则选择方案二.判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由.

【分析】（1）根据题意，分“甲连胜两局”和“甲前2局中一胜一败，第三局获胜”两

种情况讨论，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案，

（2）根据题意，求出采用方案一的概率，由此可得采用方案二的概率，比较可得答案.

解：（1）根据题意，若选择方案一，三局两胜制，

若甲连胜两局，其概率尸1=3乂3=卷，

339

若甲前2局中一胜一败，第三局获胜，其概率尸2=c3xgxg><M=W，

233327

故甲获胜的概率尸=3+2="；

92727

（2）根据题意，采用方案一的概率尸3=c|x（4）2义4=目，

228

则采用方案二的概率A=1-P3=-|>

故采用方案二的可能性更大.

21.如图1,□△ABC中，ZB=90°,AB=2«，BC=2,D,E分别是AB,AC的中点.把

△ADE沿DE折至aPDE的位置,PC平面8cED,连接PSPC,尸为线段尸8的中点，

如图2.

（1）求证：_L平面P8C；

（2）当三棱锥尸-8。£的体积为£时，求直线与尸C所成角的正切值.

【分析】（1）折叠不改变与AD,的垂直关系，所以先证明平面推

出8CL平面尸。8,得到再由尸三线合一，推出。满足线面

垂直的判定定理，可证；

（2）根据体积，可判断出尸。为三棱锥尸-BOE的高，方法一：根据异面直线成角的定

义，平移异面直线到同一个平面，找角，构形，解三角形即可，

方法二，建系求解即可.

解：(1)•:DELPD,DE1BD,PDCBD=D,PDB,

,：D,E分别是AB,AC的中点，J.DE//BC,

，8C_L平面尸80,

:。尸u平面P8D,：.BC±DF,

为线段PB的中点，PD=DB,：.DF1PB,

:PBCBC=B,

.*.DF_L平面PBC,

(2)设点P到面BDE的距离为h,

由题可知Vp_BDE4・SBDE・h，即J义得X1Xh=£,解得人=遮，

：PD=\^，；•尸。，平面平面BOE,BDE,：.PD±DE,PD1BD,

方法一：如图，延长。E至点