2021-2022学年河南省郑州市巩义、中牟、登封等六县高二（下）期末数学试卷（理科）（附答案详解）

2021-2022学年河南省郑州市巩义、中牟、登封等六县高

二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共20小题，共100.0分）

1,直线1的方程为：x=-3,则直线，的倾斜角是（）

n

A.2B.4C.D.0

2.设平面a的法向量为（.1,一2）,平面£的法向量为3=（1,%尤—3），若cc“B，

贝卜的值为（）

A.-5B.-3C.1D.7

3.如果直线x+2ay—1=0与直线%：（3a—1）久—ay-1=0平行，则a=（）

A.0B.jC.0或1

4.已知矩形ABC。，P为平面4BCD外一点，且P2_L平面

ABCD,M,N分别为PC,PD上的点，且两=%同+

yAD+zAP，PM=2~MC，PNND,则尤+y+z的值

为（）

C.1

5

D.

6

5.已知｛五,b,3｝是空间的一个基底，｛为+b4-b,2｝是空间的另一个基底，一向量力在

基底｛乙瓦？）下的坐标为（4,2,3）,则向量力在基底｛方+3,行-3，以下的坐标是（）

A.（4,0,3）B.（3,1,3）C.（1,2,3）D.（2,1,3）

6.如图所示，在四面体/BCD中，△ABC为等边三角形,ZB=1,

CD=I，ZXCD=60°,AB1CD,则BD=()

A3

A.2

B-T

CT

D?

7.已知在直角坐标系xOy中，点Q(4,0),。为坐标原点，直线心mx+y+2V3=0±

存在点P满足丽.所>0，则实数m的取值范围是()

A.m<——B.m>V3C.m>—D.m<—收

33

8.已知正方体4BCD-的外接球表面积为27兀，点E为棱BBi的中点，且OE1

平面a,点G6平面a,则平面a截正方体4BCD-所得的截面图形的面积

为()

A81mB81-

.4.8C.Y4

9.己知复数Z=-p贝丘=()

A.0B.2iC.-2iD.-1+i

10.已知随机变量X的分布列如兄乏所示，则E(X)=()

X012

11

PA

36

、25

A.1(D.

一36

11.(x-I)】。的展开式中所有奇数项的二项式系数和为()

A.128B.256(1512D.1024

12.已知函数/(久)=——2f(l)久，则广(-1)=()

A.-5B.5(二.—1D.1

13.由曲线y=cos%,%=p%=y,y=0所围成图形的面积为()

A.27rB.7T(二2D.1

14.下列说法中正确的是()

A.对于独立性检验，随机变量K2的观测值越小，判定“两个分类变量有关系”犯

错误的概率越小

B.若事件4与B相互独立，且0<PQ4)<1,0<P(B)<1,则P(4|8)=P(4)

C.若随机变量X服从正态分布N(0,l)且P(X<«.69,则P(-；<X<0)«0.095

D.在回归分析中，对一组给定的样本数据(久2,丫2)，…，(xn<Yu)>样本数

据的线性相关程度越强，则r越接近1

15.用数学归纳法证明令|>热对任意71>以耳k6忖的自然数都成立，则k的最小值

为()

A.1B.2C.3D.4

第2页，共34页

16.2022年4月，某地区加强了对“一盔一带”安全守护行动的执法管理，交警对某路

口不戴头盔的骑行者进行了统计，得到如下数据(其中y表示第x天不戴头盔的人数):

X1248

y11549325

若y关于x的回归方程为y=a+学，则a=()

A.—4B.4C.6D.—6

17.“霍姆斯马车理论”是指各种资源都得到最合理配置和使用的一种理论.一个富有

效率的团队不需要每一个人都是最有能力的，而在于每个人的能力都能得到最合理

的使用和发挥.某科研团队共有10名研究人员，编号分别为1,2,9,10,要

均分成甲、乙两个科研小组，其中1,2号研究员组合在一起，3,4号研究员组合

在一起，其余研究员随意搭配就能达到最佳效果，那么达到最佳效果的不同的分组

方式共有()

A.26种B.46种C.52种D.126种

18.2022年北京冬奥会开幕式中，当雨建一朵雪花》这个节目开始后，一朵巨大的

“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一朵雪花的周长可以无限长，围成

雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科克曲线”，是瑞典数学家科克在1904年

研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始,

把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉

底边，重复进行这一过程.

①②③④

若第1个图形中的三角形的周长为1,则第10个图形的周长为()

A.(»B.@9c()。D.(尹

19.已知点P在函数f(x)=lnx-x+2的图象上，点Q在直线/：久+2y-2仇2-6=0上,

记M=|PQ『，则()

A.M的最小值为£B.当M最小时，点Q的横坐标为当

C.M的最小值为:D.当M最小时，点Q的横坐标为蓑

11C।]

20.已知a--="2a,b--=ln3b,c—e=In-,其中abc丰e,则a,b,c

的大小关系为()

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

21.对于空间向量区b，万给出下列命题，其中为真命题的是（）

A.若|初=0,贝展为零向量

B.若无不〉0,则优3的夹角是锐角

C.若五=（1,2,3）,石=（一2,-2,2），则方1石

D.若胃=（1,0,0）,3=（0,2,0），c=（0,0,3）,则落b，H可以作为空间中的一组基

底

22.在三棱锥P—ABC中，三条侧棱P4PB,PC两两垂直，且PA=PB=PC=3,G是

△P4B的重心，E,F分别为BC,PB上的点，且BE：EC=PF：FB=1：2,则下

列说法正确的是（）

A.EG1PGB.EG1BCC.FG//BCD.FG1EF

23.下列说法错误的是（）

A.直线式sina+y+2=。的倾斜角8的取值范围是［0币U4，兀）

B."a=—1"是"直线-y+1=0与直线x—ay—2-0互相垂直”的充要

条件

C.过（叼,为），（犯，力）两点的所有直线的方程为念=言

D.经过点（1,1）且在%轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0

24.如图，棱长为2的正方体4BCD-41sle中，E、F分».___________c,

别为棱力道1、44i的中点，G为面对角线/C上一个动点，//'；、--口/

灿）

A.三棱锥&-EFG的体积为定值尹.......卜吵。

B.线段&C上存在点G,使平面EFG〃平面BDQ----------------/

C.当德=：南时，直线EG与BC1所成角的余弦值为?

D.三棱锥&-EFG的外接球半径的最大值为苧

三、填空题（本大题共8小题，共40.0分）

25.在x轴上找一点M,使这点到点4（1,2）和点8（5,-2）的距离相等，则M的坐标为

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26.已知|可=2,\b\=14与3的夹角为60。，则使五+与4五一2石的夹角为钝角的实

数2的取值范围是.

27.在等腰直角三角形ABC中，点P是边4B异于4、B的一点.光

线从点P出发，经过BC、以反射后又回到点P(如图).若光

线QR经过△4BC的重心，且AB=4C=4,贝!J4P=.

28.如图，平行六面体2BCD-4/1的小，其中，以顶点力为端点的三条棱长均为2,且

它们彼此的夹角都是60。，则2C与BQ所成角的余弦值______.

29.已知复数2=x+yi(x,yeR)满足|z-1]31,则复平面内由点(x,y)形成的区域的

面积为.

30.某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣拓展活动，现

有甲、乙、丙、丁四人，乒乓球、篮球、羽毛球、网球四项活动，由于受个人精力

和时间限制，每人只能从中选择一项活动，则四人中恰有两人选择同一活动的情况

有种.

31.在(3乂3—4/+1)5的展开式中，除久5项之外其余所有项的系数之和为.

32.已知函数/(X)=aex~r-Inx+Ina,若不等式/'(x)>1恒成立，则实数a的取值范

围为•

四、解答题(本大题共13小题，共154.0分)

33.已知三角形的三个顶点是4(4,0),C(0,3).

(1)求BC边上的高所在直线的方程.

(2)求BC边上中线所在直线的方程.

34.如图，在四面体04BC中，M是棱04上靠近4的三等分点，N是棱BC的中点，P是线

段MN的中点.设01=五，OB=OC=c.

(I)用4，b，3表示向量前;

(口)若|初=|引=©=1，且满足(从下列三个条件中任选一个,

填上序号:

—>—>—>—>—、TV

①〈云,b>=<b，c>=<c,a>=-；

—>_.—>TC->—>TC

②〈优b>=<c>a>=<b>c>=--

③<b>^<c，«>=p<b，c>=y,则可求出|律|的值；并求出|行|的

大小.

35.如图，已知AB1平面力CD,DE，平面4CD,△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB.

求证：平面BCE1平面CDE.

36.已知空间三点4(0,2,3),B(-2,1,6),C(l,-1,5).

⑴若|初=,，且五分别与南，而垂直，求向量三的坐标；

(2)若衣〃瓦，且|而|=2旧，求点P的坐标.

37.已知直线1：kx—y+1—2k=0(keR).

(1)求证：无论k取何值，直线I始终经过第一象限；

(2)若直线l与x轴正半轴交于4点，与y轴正半轴交于B点，。为坐标原点.设AAOB

的面积为S,求S的最小值及此时直线I的方程.

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38.已知正方形的边长为4,E,F分别为2D,BC的中点，以EF为棱将正方形4BCD折

成如图所示的60。的二面角，点M在线段48上.

(1)若M为的中点，且直线MF与由4D,E三点所确定平面的交点为。，试确定

点。的位置，并证明直线0。〃平面EMC；

(2)是否存在点M,使得直线DE与平面EMC所成的角为60。；若存在，求此时二面

角“一EC-F的余弦值，若不存在，说明理由.

39.在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.

条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；

条件②：只有第5项的二项式系数最大；

条件③：所有项的二项式系数的和为256.

在(2+收)n的展开式中，.

(1)求n的值；

(2)展开式中系数最大的项是第几项？

40.⑴已知a,b>0,a+b=2,求证：*+a*+*

-1-1-1

(2)已知a,b,c>0,a+b+c=1,求证：-+-+->9.

41.小明大学毕业后准备自主创业，他计划在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场

行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积式单位：M2)和日均客

流量y(单位：百人)的数据(久i，%)(i=1,2,…,20),初步判断X与y线性相关，并计算

得£以々=2400,温％=210,蹬］(XL1)2=42000,濯式々。)(%—亍)=

6300.

(1)求y关于x的回归直线方程；

⑵已知服装店每天的经济效益勿=4y+2x,该商场现有60〜150病的商铺出租,

根据(1)的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小明应该租多大面积的

商铺？

参考公式：回归直线方程;久+；中，6=连箸立空，a_-_b~.

y-ox±aU8—%)2a-y〃久

42.冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结

合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受

广大民众的喜爱，一时成为火爆的商品.某调查机构随机抽取100人，对是否有意

向购买冰墩墩进行调查，结果如表：

年龄/岁[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]

抽取人数102025151875

有意向购买

10182291042

的人数

(1)若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的2x2列联表，并判断是否

有99.9%的把握认为是否有意向购买冰墩墩与人的年龄有关；

年龄不低于40岁的人

年龄低于40岁的人数总计

数

有意向购买冰墩墩的人

数

无意向购买冰墩墩的人

数

总计

(2)若从年龄在［60,70)的被调查人群中随机选出3人进行调查，设这3人中有意向购

买集个冰墩墩的人数为X,求X的分布列和数学期望.

(3)某校为了使更多学生了解冰雪运动，特在全校进行了冰雪运动知识竞赛，并抽

取了100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：

竞赛得分[50,60)[60,70)[70,80][80,90][90,100]

频率0.10.10.30.30.2

如果规定竞赛得分在［90,100］为优秀，现用频率估计概率，从该校学生中随机抽取

3人，记竞赛成绩优秀的人数为丫，求随机变量丫的分布列和数学期望.

n(ad-bc)2

附：K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'7i=a+b+c+d.

P(K2>fc0)0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

第8页，共34页

43.已知函数f(%)=xex-^x2-ax-

(1)当Q=1时，求函数f(%)的极值；

(2)若不等式f(%)+|x2>恒成立，求实数a的值.

44.在平面直角坐标系xOy中，直线1的参数方程为C二击力-1«为参数)，以。为极点，

x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p2一4pcos9+3=0.

(1)求直线/的普通方程和圆C的直角坐标方程；

(2)若点P的坐标为(0,-1),直线E与圆C相交于力，B两点，求|P4|+|PB|的值.

45.已知函数/(X)=|2%一9|一|%—5|.

(1)求不等式/'(x)>2x-1的解集；

(2)函数y=/(x)+3|x-5|的最小值为m,正实数a,b满足1求a+3b的

最小值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：•••直线/的方程为力=一3,

・・•直线与％轴垂直，

・••直线/的倾斜角是某

故选：A.

由题意可得直线与x轴垂直，从而得到/的倾斜角.

本题考查了直线的倾斜角问题，是基础题.

2.【答案】C

【解析】解：设平面a的法向量为1=（居1,一2）,平面0的法向量为3=（1,居久—3），

若打"，则方〃另，

,x_1_-2

1xx-3

解得X=1.

故选：C.

若。〃£，贝后〃B，利用向量平行的性质能求出x.

本题考查实数值的求法，考查线线平行、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验.

先检验当a=0时，是否满足两直线平行，当aHO时，两直线的斜率都存在，则士=

3a-l

巴力三，解得a的值即可.

-a-1

【解答】

解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是尤=1,x=-1,显然两直

线是平行的.

当a力。时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，

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由白；=四。解得：a=

3a-l-a-16

综上，a=0或

故选D

4.【答案】B

【解析】解：由题可知正=布+前一而=屈+而一而，DP^AP-AD,

所以而=~NP+TM^DP+^PC=|(AP-AD)+1(AB+ID-AP)=-^AP+

-AB+-AD,

36

所以久=|,y=gz=-g所以x+y+z=|,

DOOJ

故选：B.

由空间向量的线性运算直接计算即可.

本题考查了空间向量及其线性运算，属于中档题.

5.【答案】B

【解析】解：设向量万在基底，+瓦方-1,3｝下的坐标为(x,y,z),

则方=4a+2b+3c=x(a+b)+y(a—b')+zc>

整理得：4a+2/?+3c=(x+y)a+(x—y)b+zc>

'x+y=4

：.x—y—2,解得x=3,y=1,z=3,

z=3

二向量力在基底(3+b,a—瓦可下的坐标是(3,1,3).

故选：B.

设向量力在基底，自+瓦N—瓦不下的坐标为(x,y,z),^]p=4a+2b+3c=x(a+

b)+y(a-b)+zc^由此能求出向量力在基底仅+3方-反现下的坐标.

本题考查向量在基底下的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量坐

标运算法则的合理运用.

6.【答案】D

【解析】解：依题意，BD==J(BA+AC+CD)2

=JBA2+AC2+CD2+2BA-AC+2AC-CD+2BA-CD

11

=」l+l+-4+2xlxlxcosl20°+2x1x2-xcosl200+2x1x1xcos90°

_V3

——,

2

故选：D.

把丽=瓦5+前+前两边平方，即可求得前的模，即可求出DB.

本题考查了空间向量的线性运算、模的运算，属于中档题.

7.【答案】A

【解析】解：设直线2：m久+y+2b=0上上点P的坐标为：(久,-mx—2百)，

则标=(%,—mx—2V3)，函=(4—x,mx+2v5)，

•••OP-PQ>0=>4x—x2—(mx+2V3)2>0=>(m2+l)x2+(4V3m-4)x+12<0>

故需：Z1=(4V3m—4)2—4X12x(m2+1)>0,解得：m<—f，

故选：A.

设出P的坐标，根据数量积得到4x-%2-(mx+2V3)2>0,进一步转化求解即可.

本题考查实数的取值范围的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能

力，是中档题.

8.【答案】D

【解析】解：设该正方体外接球的半径为R,依题意有4兀/?2=27兀，解得R2=?,故

4

R=也,

2

V3XB=2R,故A3=3,分别取棱力8,的中点F,G,连接GF,A±F,C1G,4G，

根据正方体的性质可知，四边形&GGF为等腰梯形，

建立如图所示的空间直角坐标系，贝汗(|,0,3),Q(3,3,0),E(3,0,|),D(0,3,3),C(3,3,3)

则赤=(3,—3,一|),币=(|,0,3),不=(3,3,3)，

DE-A^F=1~1=0,DE-A^C=9-9=0)

所以。E_LAiF,rDE1ArCr,由于久产D4的=右，

所以DE1平面为C1GF,即截面为等腰梯形/1GGF,

由题可知，FG=ArF=CrG=―,

22112

所以等腰梯形&GGF的高为这，

4

第12页，共34页

故截面图形的面积为工X(逋+3/)x2=叫.

2'2744

故选：D.

先求得正方体的边长，画出截面a,利用向量法证得DEI平面a,根据梯形面积公式计

算出截面的面积.

本题考查空间中点线面的位置关系，属基础题.

9【答案】C

【解析】解：：复数z=i-工=-3=2i,

II2

••・z=—23

故选：C.

利用复数的定义、运算法则直接求解.

本题考查复数的运算，考查复数的定义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是

基础题.

10.【答案】D

【解析】解：随机变量X的分布列如表所示,

X012

11

PA

36

由分布列的性质得4==

3oZ

•••E(X)^0x-+lx-+2x-^~.

k73266

故选：D.

由离散型随机变量的分布列的性质求出力=5由此能求出E(X).

本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是基础

题.

11.【答案】C

【解析】解：由题意，利用二项式系数的性质，可得

(%-1)1°的展开式中所有奇数项的二项式系数和为学=512,

故选：C.

由题意，利用二项式系数的性质，得出结论.

本题主要考查二项式系数的性质，属于基础题.

12.【答案】D

【解析】解：•."(%)=x3-2f(l)x,

:.f'(x)=3——2/⑴，

=3—2/(1),即/(1)=1,

•1.f'(x)=3x2—2,

则-(-1)=1,

故选：D.

根据导数的公式即可得到结论.

本题主要考查导数的基本运算，比较基础.

13.【答案】C

【解析】解：根据题意，由曲线y=cosx,x=p%=y,y=0所围成图形，如下图:

故选：C.

画出图象，根据定积分求出即可.

本题考查定积分的应用，考查了定积分和面积的关系，属于基础题.

14.【答案】B

【解析】解：对于力，对于独立性检验，随机变量K2的观测值越小，判定“两个分类变

量有关系”犯错误的概率越大，故A错；

对于B：由独立事件的定义可知，若事件4与B相互独立，且0<PQ4)<1,0<P(B)<1,

则PQ4|B)=PQ4),故B正确；

__11

对于C：若随机变量X服从正态分布N(O,1)且P(X~0.69,则P(_5<X<0)~

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0.69-0.5=0.19,故C错；

对于D：样本相关系数r的绝对值越接近1,样本数据的线性相关程度越强，故。错，

故选：B.

由独立性检验的性质可判断力，由独立事件的定义可判断8,由正态分布曲线的对称性

可判断C,由相关系数的性质可判断D.

本题主要考查了独立性检验的性质，考查了正态分布曲线的对称性，以及独立事件的定

义，属于基础题.

15.【答案】B

【解析】解：当71=1时.左边=奈=号右边=%此时左边〉右边，不等式成

立；

当71=2时，左边=马二=三，右边=2=|,此时左边〉右边，不等式成立；

22+152+13

当71=3时，左边=手=乙右边=2=：,此时左边〉右边，不等式成立；

23+193+14

用数学归纳法证明结论时，对任意n>k(n,keN)的自然数都成立，

则k的最小值为2,

故选：B.

利用数学归纳法计算即可.

本题考查数学归纳法，属于中档题.

16.【答案】D

【解析】解：令t=L,由表格数据得£=呜生=竺，-5+4：+32+5=竿,

X43244

代入回归方程；=a+120t，得华=a+12。x*解得a=—6，

故选：D.

令£=1，得丫=。+120(；，由已知数据求得亍,2,代入回归方程即可求得;值.

本题考查回归方程及其应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题.

17.【答案】C

【解析】解：当1,2,3,4号研究员在同一组时，那么该小组还差1人，再选1人即可，

共有2盘=12种情况数；

当1,2号研究员在一组，3,4号研究员在另一组时，有房俏=40种情况数，

所以共计52种情况数.

故选：C.

分1,2,3,4号研究员在一组和1,2号研究员在一组，3,4号研究员在另一组，两种

情况分别求得分组方法，再由分类加法原理可得选项.

本题考查了排列组合的混合问题，分类讨论是最基本的指导思想，属于基础题.

18.【答案】B

【解析】解：设第n个图形的周长为时,

由图可知a1=l,a2—a3=■■■>

由等比数列的对于可知数列｛即｝是以1为首项，5为公比的等比数列，

所以的0=（n9,

故选：B.

归纳推理可得图形的周长以1为首项，1为公比的等比数列，再结合等比数列的通项公式

即可求解.

本题主要考查了归纳推理，考查了等比数列的通项公式，属于基础题.

19.【答案】B

【解析】解：由题意，把直线2平移与曲线"》）相切时，直线/与切线的距离即为M的最

小值，

・・・直线/的斜率为—义,令/⑺=5一1=一会得x=2,.•.当M最小时，点P的坐标为（2,仇2）,

此时点P到直线I：x+2y-2ln2-6=0的距离为d=~=,

所以M的最小值为蓝，.•.选项4。都不正确.

过点P且垂直于/的直线方程为乙2x-y+ln2-4=0,联立两直线的方程，得点Q的

横坐标为和=节，选项B正确，。错误，

y5

故答案为：B.

由两曲线的图像，可知M的最小值，直接解之.

本题考查导数的运用，数形结合确定最佳位置，是基础题.

20.【答案】A

第16页，共34页

【解析】解：由题意得，a-bia=|—ln^,b—Inb=--ln|,c—Inc-e—Ine,

设函数/(x)=x—lnx(x>0),f'(x)-1

当久e(0,1)时，则((久)<0,f(x)单调递减，

当％e(i,+8)时，则(。)〉o,y(x)单调递增，

则函数的大致图象如图所示，

尸

/(«)=/(2)>f(b)=fQ,f(c)=/(e),且。力王bc^e,

.,.由图可知c<a<b.

故选：A.

先变形，再构造函数/(久)=x-"x(久>0),判断单调性并画出图像，求解即可.

本题考查三个数大小的求法，画出构造函数的图像是关键，属于中档题.

21.【答案】ACD

【解析】解：对于4选项，根据零向量的概念可知，4选项正确；

对于B选项，由五不>0可得落石的夹角为锐角或零角，故3项错误；

对于C选项，因为N=(1,2,3),b=(-2,-2,2).所以一2—4+6=0，故311，

故C项正确；

对于D选项，因为8=(1,0,0),3=(0,2,0)，c=(0,0,3),a,b，［三个向量不共面，故

。项正确.

故选：ACD.

根据空间向量的知识，依次分析即可得答案.

本题考查了向量的数量积及零向量的概念，属于基础题.

22.【答案】ABD

【解析】解：如图，以三棱锥的顶点P为坐标原点，分别以PA,PB,PC所在的直线为X、

y、z轴建立空间直角坐标系，

贝！JP(O,O,O),4(3。0),8(030)，C(0,0,3),

E(0,2,l),F(0,l,0),G(l,l,0),

*1•EF—(0,—1,—1)，EG=(1,—1,—1)，PG=(1,1,0)，

BC=(0,-3,3)，FG=(1,0,0).

EG-PG=1-1=0,■■EG1PG,故A正确；

vEG-BC=3-3=0，--EG1BC,故8正确；

•••不存在非0实数九使前=2前，・•.FG〃BC错误，即C错误；

•­•FG-EF=0>FG1EF,故。正确.

故选：ABD.

以三棱锥的顶点P为坐标原点，分别以P4PB,PC所在的直线为x、y、z轴建立空间直

角坐标系，求出所用向量的坐标，由数量积是否为0及共线向量定理判断.

本题考查空间向量的应用，利用空间向量证明平行与垂直，属于基础题.

23.【答案】BCD

【解析】解：对于4：直线xsina+y+2=0的倾斜角为8,则tcm。=-sin。e[-1,1]，

因为owe<?r,所以ee[o,gu[?,兀)，故选项A说法正确；

对于B：当a=—1时，x—y+1=0与直线x+y-2=0斜率乘积等于-1,

两直线互相垂直，所以充分性成立，

若“直线—y+1=0与直线x—ay—2=0互相垂直”，则a?+a=0,可得a=。或

a=-1,

所以得不出。=-1,故必要性不成立，

“a=—1”是“直线a2x—y+i=。与直线％—ay—2=0互相垂直”的充分不必要条

件，

故选项B说法不正确;

第18页，共34页

对于c：当％i=上或yi=时，直线的方程为1=%1或丫=

此时直线的方程第=：差不成立，故选项C说法不正确；

72~71%2Tl

对于。：当过(1,1)且横纵截距都为。时，所求直线方程为X-y=0,

当过(1,1)且横纵截距相等不为0时，

设所求直线方程为土+2=1,即工+工=1,可得。=2,

aaaa

所以直线的方程为x+y-2=0,故选项。说法不正确；

故选：BCD.

根据斜率为k=tanB=-sinde[-1,1],求得。的范围可判断4根据两直线垂直的等价

条件和充分条件必要条件的定义可判断B；当/=久2或丫1=为时可判断C;当横纵截距

都为0时，所求直线方程为x-y=0可判断D.

本题考查了直线的倾斜角和两直线垂直的性质，考查充分必要条件以及转化思想，是中

档题.

24.【答案】4。

【解析】解：对于4,VAI-EFG=VG-A1EF=所以A正确;

对于B,若存在GC线段BiC,使平面EFG〃平面6线段/C,因为平面4道也。交

平面£TG与平面BDQ分别为NG与DM,

于是NG“DM,G应在CBi的延长线上，所以8错；

对于C,因为〃。送〃EF,所以NFEG为直线EG与BQ所成角，于是当NG，在CB1时，

即8母=当时，NFEG最小，所以C错；

对于。，当G在C点时，三棱锥&-EFG外接球半径的最大，

过N作NH1EF,交BiC于H,取AGEF外心P,作。P_L平面GEF,交NH于0,贝I。为三

棱锥儿-EFG外接球球心，

如平面展开图，设半径OC=04i=R,因为&%=注尸=争ArD=2V2,所以CH=

DN=—,

2

所以。N=JOA：_A1N2=JR2—$2'OH=

70c2—CH2=JO2_（¥）2,

由。N+OH=2,可得辰—（马2+

D

JR2_(哈2=2,解得R=呼,所以。正确，

故选：AD.

2求三棱锥体积判断；B用反证法判断；C用平移直线法求异面直线成角，用运动思想判

断；D求外接球心，用方程求解判断.

本题考查了直线与平面的位置关系，考查了异面直线成角问题，考查了三棱锥外接球问

题，属于中档题.

25.【答案】(3,0)

【解析】解:设

由题意可知，|M*=|MB|,4(1,2),B(5,-2),

故—1尸+(0-2尸=一5尸+[0—(-2)]2,解得，t=3,

故M的坐标为(3,0).

故答案为：(3,0).

根据题意设出点M坐标，然后利用两点间距离公式求解即可.

本题主要考查了两点间距离公式的应用，属于基础题.

26.【答案】(-1-遮,-1+遮)

【解析】解:根据题意，|砧=2,|||=与石的夹角为60。,则方不=2x1Xcos60°=1，

若2万与4五一2崩勺夹角为钝角，则@+2区)•(2五一2号)<。且方+49与41—2石不

共线，

则有万+22-2<0,解得—1—百<4<—1+遮，

即2的取值范围为(一1-V3,-l+V3).

故答案为：(―1—百,—1+百).

根据题意，由向量数量积的运算性质可得@+4母•(Aa-2b)<0且W+4另与4五一23

不共线，变形可得万+24-2<0,再求出实数4的取值范围.

本题考查向量数量积的性质及其运算，考查了转化思想，属于基础题.

27.【答案】]

【解析】解：以4为原点，A8为x轴，2C为

y轴建立直角坐标系如图所示.贝必(0,0),

B(4,0),C(0,4).

第20页,

设△力8c的重心为D,则。点坐标为G，》，设P点坐标为（爪,0）,贝UP点关于y轴对称点P1

为（一科0）,

因为直线8C方程为尤+y—4=0,

所以P点关于8C的对称点P2为（4,4一小），

根据光线反射原理，P「P2均在QR所在直线上，；•加以=岫/，

解得，zn=1或m=0.当m=0时，P点与2点重合，故舍去.二m二土

即2P=1.

故答案为：

建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点Pi的坐标，和尸关于y轴的对称

点P2的坐标，由Pi，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过A4BC的重心，代入可

得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得4P的值.

本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档

题.

28.【答案】渔

6

【解析】解：平行六面体ABC。-4/GDi，其中，以顶点力为端点的三条棱长均为2,

且它们彼此的夹角都是60。，

因为前=AB+AD,~BDi^AD[-AB=AA^+AD-AB，

所以公■西=(AB+AD)-(AAl+AD-AB)=(AB+AD)■(AA^+AD-AB)

=AB-AA^-AB2+AD-村+AD2

=2x2xcos60°—22+2x2xcos600+22=4,

--->2>--->c>2--->>—.>2-c

AC={AB+AD}2=AB+2AB-AD+AD=22+2x2x2xcos60°+22=12>

所以|而|=25西之=(AA1+AD-ABY=AA^2+AD2+AB2+2AA^-AD-

2AAi-AB-2AD-AB

=22+22+22+2X2X2XCOS60°—2x2x2Xcos60°—2x2X2xcos60°=8,

所以|西|=2vL

以前，前，再为一组基底，设4C与BA所成的角为氏

所以cose=|cos〈前，西)|=搭急=一方=彳'

则4C与BD1所成角的余弦值

故答案为：渔.

6

以屈，而，再为一组基底，设2C与BO1所成的角为氏由cosJ=|cos(Z，西)|=

I就,西I求解

西卜1亚1本解，

本题考查了异面直线所成角的计算，属于中档题.

29.【答案】n

【解析】解：：复数z=x+yi(x,yeR)满足|z-1|<1,

|z-1|=|x-1+yi|={(x-1尸+*<1,(x-I)2+y2<1,

•••复平面内由点Qy)形成的区域是以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，

•••复平面内由点(x,y)形成的区域的面积为S=兀xI?=兀.

故答案为：n.

推导出|z—1|=|x—l+yi|=—l)2+y2wi,整理得(x-1尸+/3匕得到复

平面内由点(x,y)形成的区域是以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，再求出面积即可.

本题考查复数的几何意义、复数的模、圆的面积公式等基础知识，考查运算求解能力，

是基础题.

30.【答案】144

【解析】解：根据题意，四人中恰有两人选择同一活动，剩下2人所选的活动不能相同，

在4人中选出2人，选择相同的活动，剩下2人各选一种剩下的活动，则有底盘房=144

种选择方法，

故答案为：144.

根据题意，在4人中选出2人，选择相同的活动，剩下2人各选一种剩下的活动，由分步

计数原理计算可得答案.

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

31.【答案】240

【解析】解：令x=L得(3*一4/+1)5的展开式中所有项的系数之和为o.

而(3/—4x2+l)s的表示5个因式(3/—4x2+1)的乘积，

只有当一个因式取3久3,另一个因式取-4久2,其余的因式都取1,相乘时才会出现含刀5的

第22页，共34页

项，

故含炉项的系数为盘x3x盘x(-4)=-240,

所以，除%5项之外其余所有项的系数之和为240,

故答案为：240.

先求得所有项的系数之和，再求出含％5项的系数，可得除久5项之外其余所有项的系数之

和.

本题主要考查二项式定理，累的几何意义，排列组合的应用，属于中档题.

32.【答案】［1,+8)

【解析】解：由/(%)=aex~r—Inx+Ina>1,移项得ae%T+Ina>Inx+1,即

eina+x-i+171a>Inx+1,

两边同时加(％—1)得ema+%T+久+Ina—1>Inx+x,即/九。+%-1+(%+Ina—1)>

Inx+elnx,

设9(%)=%+则g'(%)=1+ex>0,所以g(%)单调递增，所以)a+%—1>Inx,

即X—Inx+Ina-1>0.

设九(%)=%—仇％+伍a-1,则=所以h(%)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)

上单调递增，

所以，/i(x)min=/i(l)=Ina>0,所以。>1.

故实数a的取值范围为［1,+8).

根据不等式/(%)>1,移项整理得到e2n+(%+Ina-1)>Inx+elnx,构造g(%)=

%+ex,/i(x)=x-Inx+Ina-1,通过求导判断单调性，进而求导a的取值范围.

本题考查了导数的综合应用及恒成立问题,属于中档题，构造g(%)=x+ex,/i(x)=%-

Inx+Ina-1是关键.

33.【答案】解：(1)•••8(6,7)、C(0,3),的斜率是O-UD

・•.BC边上的高的斜率为-1

BC边上的