乘法公式-102倒数法师

乘法公式2：立方和、立方差、三元完全平方、倒数法

知识点拨

'推导、观察与探索

*什八千,_、三元完全平方公式的运用

乘法公式(一)4

立方和(差)、和(差)的立方公式的运用

、巧用倒数法

例题精讲

一、推倒'观察、与探索

【例1】推导3+b)2+S+C)2+(C+“)2的展开式，并总结公式.

【1(a+b)2+(Z?+c)2+(c+Q)?=2(/+Z?2+c2+ab+be+cd)或

—[(a+b)2+(b+c)2+(0+]—储+Z?2+c2+ab+be+cci.

帮助学生认清每一项是由哪一部分产生的！

【变式】根据例题结论请直接写出下面式子的答案.

(1)(。+b)2+(Z?—。了+(c+a)2=2(/+〃+c2+ctb—be+cci)

(2)(a+b)2+(Z7—c)2+(c—a)2=2(/+〃+c2+ab—be—cci)

【例2】推导(〃+b+c)2、(a+b+c+d)2的公式，比较(〃+/?)?、(tz+Z?+c)2>(a+b+c+d)?的公式，并

探索规律.

【解析】(〃+。)2=a2+b2+2ab

(a+b+c)2=a1+b2+c2+lab+2bc+2ca

(Q+。+c+d)2=(a+b)2+2(a+b)(c+d)+(c+d)2

=a?+b?+，++2ab+lac+2ad+2bc+2bd+led

观察上述三个公式，可发现如下规律：

一、项数：设字母(或者说元)的个数为〃，则公式的展开式的项数为1+2+..+”=里"D;

2

二、次数：每个公式的展开式中的每一项的次数均为2;

三、系数：每个公式中每个字母的二次项的系数为1,其余均为2.

根据上述规律，可写出任意个字母的完全平方公式.

【变式】利用例题得出的规律推导(。+b+c-d)?、｛a+b—c—d)2>(a+O+c+d+e)?的展开式.

【解析]令(a+0+c+d¥=a?十〃++[2+2ab+2ac+lad+2bc+2bd+2cd中d=—d,也就是以一d替

才奂dd寻，(a+。+c—d)?=a?+b?+c?+d?+2ab+2ac—2ad+2bc—2bd-2cd

同次口，(a+b-c—d)?=a?++c?+d?+2ab—2ac—2ad-2bc—2bd+2cd

根据例题中归纳出来的规律，(a+0+c+d+e)2的展开式共有15项，所有字母的二次项的系数

均为1,其他项的系数均为2,每一项的次数均为2,由上述特点可知

(a+b+c+d+=〃+〃++/+/+2ab+2ac+lad+2ae+2bc+2bd+2be+2cd+Ice+Ide

【例3】推导(〃+8y的公式，比较3+4、(a+b)3,并探索规律.

223

【解析】(〃+b)3=〃3+3aZ?+3ab+b；

(a+Z?)4=[(a+Z?)2]2=(a2+lab+b2)2=a4+4a2b2+b4+4a%+4ab3+202b?

=a4+4a3b+602b?+4ab3+b4；

(a+b)~—cr+2ab+b~

观察上述几个公式，可以发现如下规律：

一、项数：公式展开后的项数等于公式左端的指数加1;1

二、次数：展开式中字母的次数均等于公式的指数，比如完全平方公式的指

数为2,则展开式中字母的次数也都是2,展开式按“的降赛排列

的同时，按6的升幕排列.

三、系数：首末两项的系数都是1,且这三个公式的展开式中各项系数满足右

图.右图中的系数表叫做杨辉三角14641

（杨辉是我国宋朝数学家，写有《详解九章算术》一书.）

【变式】利用例题得出的结论和相关规律推导（。-6）4、（“+6）5的展开式.

【解析】(a+b/=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,以-匕替换上述公式中的6可得

(A—b)"=/+4a3(-Z?)+6a2(—b)2+4a(—Z>)3+(-6)4—a4—4a3b+6a2b2—4ab3+b4

由例题中归纳出的结论可知，（a+6）5有6项，每一项的次数均为5,各项系数根据杨辉三角可知,

分别为1,5,10,10,5,1,故（。+6）5=。5+5。/+10。3加+10。%3+5。64+".

随练1.填空：(1)a2+b2+c2—ab—bc—ca=；

(2)+h~+c~+ab+be-ca=；

(3)a~+b~+c~-ab+be-ca=；

(4)(a+b-c+d-e)2=.

【解析】⑴;[3—0)2+S—c)2+(c—a)2]；

(2)；[(a+Z?)2+(b+c)2+(c—a)2];

(3)；[(a—6)2+(b+c)2+(c—〃)2].

(4)a2+b2+c2+d2+e2+2ab—lac+lad—2ae—2bc+2bd—2be—2cd+Ice—2de.

拓展：=.填空：⑴(a+6)6=;

⑵(a-bp=.

[解析]⑴。6+6a5》+15a4析+2(W+15a2/+6abs+y>.

(2)a6-6a5b+15a4b2-20a3b3+15a2/?4-6ab5+b6.

二'三元完全平方公式的运用

(a+b+c)2—a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

a2+及+c2+ab+he+cci=—[(a+6)?+(b+c),+(c+a)?

【例4】计算:（D（3x-j+5z）2；⑵(x-5y-9>；

填空：(3)—+—Z?2+—C2+—ab+—bc+—ca-(++)2；

9164643

(4)4m2+n2+16p2-4mn-8np+16pm=(-+4p)2

【解析1(1)(3x-y+5z)2=9x2+y2+25z2—6xy—10yz+30zx；

(2)(x-5y-9)2=x2+25/+81-10xy+90y-18x.

&)-a,—b,—c；(4)2m,

342

【例5】(河南省中考题)已知q=+20,b=-x+\9,c=—x+2\,

202020

求代数式〃2+b2+c2-ab-bc-ca的值.

【1由a=—x+20fb=—x+19,c=—x+21,,a—匕=1,b—c=—2,c—a=1

202020

故a2+〃+—ab—be—cci——[(a-Z?)2+(Z?-c)2+(c-a)2]=Qx6=3

【例6】(06浙江宁波中考题)已知〃—人=〃—c=三，/+/?2+。2=],求心+历+*的值.

5

【解析】由〃一6=人一0=]可决口，<7-C=j,

故ab+be+ca=(a2+〃+c2)-^(^-Z?)2+(b-c)2+(c-a)2]=1--1x++~•

b1+2ac-14

【例7】(第20届希望杯培训试题)已知三个数〃，b,c满足方程卜+2仍=29，求a+》+c.

a2+2bc=21

【解析】三式才目加，得a?+〃+H+2ab+2)c+2ca=64,所以(a+b+cf=64,a+6+c=±8.

拓展：x>yfz为有理数且(y-z)?+(z-%)?+(%-=(y+z-2x)2+(x+z-2y)2+(X+y-2z)2,

求(与+1)(芍+1)(?+1)的值.

(x2+l)(/+l)(z2+l)

【解析】先将已知等式(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(x+z-2y)2+(x+y-2z)2

的等号两边分别展开，得：

左边=2x2+2y2+2z2-2xy-2yz—2xz;

右边=6x2+6y2+6z2—6xy—6yz—6xz

对等号两边合并同类项，

得2x2+2y2+2z2—2xy—2yz—2xz=0

即(％-»+(x-z>+(y-z>=0.

因为x,y,z均为实数

所以x_v_z故(yz+l)(=+l)(盯+1)_(+1)。2+l)(z?+l)

随练3.（广西竞赛题）已知（尤+y）2-2x-2y+l=0,则（彳+丫产=.

【解析】解法一：由已知条件可知，x2+y2+1+2xy-2y-2x=(x+y-I)2=0,故％+y=l,(x+y)999=1.

解法二：由已知条件可知，(x+y)2-2(x+y)+l=(x+y-l)2=0,故x+y=l,(x+y)999=1.

随练4.(第3届希望杯2试)若〃=1990,Z?=1991,c=1992,贝！|片+从十。2一々人一人。一________

[解析]cc+b2+c2-ab-bc-ac=^a-by+(a-c)2+(Z?-c)2][(-l)2+(-2)2+(-l)2]=3

随练5.如果a,b,c是△ABC三边的长，且片+廿-必入5+方-。)，那么△/15。是()

A.等边三角形.B.直角三角形.C.钝角三角形.D.形状不确定.

【解析】已知关系式可化为a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,即1(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)=0,

所以J(a—bp+(8—c)2+(a—c)2]=0,故a=6,b=c,c=a.^\>a—b=c.选A.

三、立方和(差)、和(差)立方公式的运用

立方和公式：(a+b)(a2—ab+b2^^+b3；立方差公式：(a-6)(6+a6+62)=/—/；

和的完全立方公式:(«+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；差的完全立方公式：(。一6)3=/-3/6+3。/-d.

【例8】计算：⑴(2加+/)(4〃/—2加+“4)；⑵(3尤2-2y)(9尤4+6Yy+4y2)；

(3)(xm+/)(/，_x""+x2")；⑷(龙+2y产•(x2-2xy+4y2)2；

【解析】⑴(2m+n2)(4m2—Imrr+n4)=8m3+n6；

4

⑵(3f-2y)(9x+6fy+4y2)=(3f)3_(2y)3=27x6_8y3.

m2mm2nm3

(3)(x+尤")(x-x"+x)=(x/+(无"了=x"'+丁".

⑷(x+2y)2,(尤2-2xy+4y2)2=[(尤+2y)(f-2xy+4y2)~^=(x3+8y3)2=x6+16x3y3+64y6；

【例10】利用立方和、立方差公式填空：

(1)(/?-)(4/+2ab+b2)=b3-Sa3；

(2)(x+3y)(x2-+9y2)=d+27y3；

(3)(m+2〃)(____—2nm+)=m3+8/.

【解析】(l)2a；(2)3xy；(3)m2,4n2.

【例1。(第八届“祖冲之杯"初中数学竞赛)已知x+y=l,Y+y2=2,求f+V的值.

【解析】由孙=；[(x+y)2-(x2+y2)]=-g,

随练6.计算：⑴(a-g)(a+g)(a2-++!)(/+g°+g)

⑵3+30(9/一3"+/)

(3)(2a+6)2[4a2-(2a-b)bj

⑷(Q+2b\a—20)(/—Sa2b2+16Z?4)

22336

［解析1⑴(a--)(«+-)(a--a+-)(a+-a+l)=(a-—)(a+—)=a—--；

3339392727729

(2)(b+3a)(9/-3ab+b2)=(b+3a)(b2-3ab+9a2)=b3+(3a)3=b3+Zia)；

(3)(2a+Z?)2［4/—(2a—b)b］=(2«+Z?)2(4<72—2ab+Z?2)2=(8d+Z?3)2=64/+16<73Z?3+b6；

2242236

⑷伍+2Z?)(a-2b)(/-Sab+16Z?)=(a-4Z?)=«-⑵0+48〃/_64^

随练7.若a+〃=5,求d+〃3+15〃人的值.

【解析】解法一：由a+Z?=5,故々3+63=(々+勿(〃2一而+62)=3+力［3+力2一3而］=125一15而

从而可知，［3+"+154b=125

解法二：由a+b=5,故(a+Z?)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)=a3+b3+15ab=125

3

随练8.(山西长治初中数学竞赛)已知x+y=10,x+/=100,求入2+9的值.

【解析】由/+y3=(%+y)3—3孙(％+y),得1000-3个xl0=100,即孙=30.

所以％2+y2=(X+y)2_2孙=40.

四、巧用倒数法

【例12］⑴已知：〃+4=7,求a+1的值.

aa

⑵已知：〃+3=3,求。一工的值.

aa

【解析】(1)；/+±=7,/+二+2=9,即(a+^)2=9,a+-=±3

acraa

(2)Vtz2+^r-=3,a1+—2=1,即(a—工)2=1,a——=±1

aaaa

拓展：设％-’=行，求x+工的值.

xx

【解析】•：x-Lf,・・.％2—2+4=5,.・.(%+L)2=%2+2+4=9,所以x+』=±3

XXXXX

【例13】已知：X2-7X+1=0,求(Dx+工；(2)/十二；(3)/+'的值.

XXX

2

r_7Y4-11

【解析】(1)VX2-7X+1=0,；.XHO,A---------=0,即元+上=7

XX

2I2

(2)Vx+-=l,/.X+-T+2=49,?.X+^=47

XXX

244

(3)V%+-L=47,x+-4+2=2209,Ax+=2207

XXX

【例⑷若胃节=7,则二

34

【解析】

49

X

x2_11_1_49

八八1一1+4+1第"百二1?

X4949

■/+19/+1

【例15］若％2+4%+1=0,贝!!

2x3+19x2+2x

?119

/+19/+1=x+7+19=(无+7+17=33

【解析1x2+4x+l=O^>x+—=—4,

x2/+19厂+2*2(%+-)+192(%+-)+1911

XX

随练…一二x>—>0,求炉+二、X+—>炉一士_的值.

XXXX

【解析】由-=|可知，*+《=（尤7+2=（|）2+24

1117_255

(%H)9=%7+—+2=——+2二又XH-->0故X+—=

Xx24~4XX2

1,I、，15315

x?2一一-=(x+-)(x——)——.—

x2XX224

另外，求出无+卜|之后，结合无一4m可知，-2,卜，故“2一:4一：15

~4