2024年全国八省八校高三第二次学业质量评价（T8联考）数学试卷含详解

2024届高三第二次学业质量评价（T8联考）

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数学试卷

命题：石家庄

考试时间：2024年3月20日下午15：00—17：00

试卷满分：150分考试用时：120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知集合〔x—3J,则A'B=（

A.(-2,2)B.[-2,2)C.(-2,2]D.[-2,2]

2.复数z=a+历(awO,a,AeR)满足为纯虚数，贝|()

A.a+b=OB.a—b—OC.a+2b=0D.a-2b-0

3.样本数据5,7,4,6,12,10,11,9的第70百分位数次为()

A.7B.9C.9.5D.10

4.若x=a+ln/?,y=〃+gln/?,z=a+21nb(bwl)成等比数列，则公比为()

11

A.-2B.-3C.—D.2

15

5.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有

一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（)

56C.28

A.B.—D.-

1825259

(B-A)=1,2a2+c2=2Z?2,

6.在中，sin贝UsinC=()

2

A.c1D.1

32

7.已知正方体ABC。-4月。2°1的棱长为2,尸为线段GA上的动点，则三棱锥尸—5CD外接球半径的取值范

围为（）

8.已知抛物线C的方程为y=；入2,歹为其焦点，点N坐标为（O,T）,过点歹作直线交抛物线C于A、B

两点，O是x轴上一点，且满足|£刈=|。4=|ON|,则直线A3的斜率为（）

A.土叵B.土血C.±72D.±73

22

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知函数力（x）=l±=（〃eN*）,则下列判断正确的是（）

A若〃=1,且工（。）+工㈤=0,贝=1B.若〃=2,且力⑷+力。）=0,则必=1

C.力（司是偶函数D.力（x）在区间（1,+8）上单调递增

10.已知O为坐标原点，点A（cos（z,sina）,B（cos/7,sin/?）,若点C满足=OCLAB,则下列

判断错误的是（）

A.C（^cosa+^,sinB.面积的最大值为g

1.1..。+/?

C.—sincif+—sinp<sin---D.CACB>0

11.已知正方体ABC。—的棱长为1,M是AA'中点，尸是AB的中点，点N满足

DW=2D,C,（2e[0,l]）,平面MW截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体积分别为％区,则下列

判断正确的是（）

A.2=工时，截面面积为亚B.2=工时，匕=匕

222

C.随着X的增大先减小后增大D.忆-的最大值为看

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.丫=履+方是丁=坐在（1,0）处的切线方程，则3=.

X

13.1675年，卡西尼在矿究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离

之积为常数的点的轨迹.已知点耳（—2,0）,F2（2,0）,动点P满足归耳卜归闾=6,则△期月面积的最大值

为.

14.己知“x2实数，满足d+8%；-4改々=8，当取得最大值时，,+引=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.设数列｛%｝为等差数列，前九项和为S”，%+。7=22,S10=120.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

,1

(2)设~/=的前几项和为北，求北.

,\lan+J“"+l

16.兵乓球(tabletennis),被称为中国“国球”，是一种世界流行的球类体育项目.已知某次乒乓球比赛单局赛制

为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得11分者获胜.

(1)若单局比赛中，甲发球时获胜概率为：，甲接球时获胜的概率为3，甲先发球，求单局比赛中甲H：2获

胜的概率；

2

(2)若比赛采用三局两胜制(当一队崩得两场胜利时，该队获胜，比赛结束)，每局比赛甲获胜的概率为耳，每

局比赛结果相互独立，记X为比赛结束时的总局数，求X的期望.(参考数据66=46656)

17.己知三棱锥尸—A3C中，侧面PAC是边长为2的正三角形，AC=2,BC=4,AB=245,

PE=-PC,PF=FB,平面AEF与底面ABC的交线为直线/.

2

(1)若BC上PC,证明：PC±AF；

(2)若三棱锥P—ABC的体积为孚，Q为交线/上的动点，若直线尸。与平面AEF的夹角为a,求sina的

取值范围.

2

18.已知双曲线P的方程为\—V=i,3(_a,o),c(a,o)，其中a>2,0(%,%)(%>a,%>0)是双曲线上一

点，直线与双曲线尸的另一个交点为E,直线。C与双曲线尸的另一个交点为产，双曲线P在点E,歹处的两

条切线记为4,，4与6交于点尸，线段0P的中点为G,设直线。5。。的斜率分别为勺/2・

/114a

(1)证明:4<一+——<-----.

k、k?J/—4

⑵求高\G的B\值・

19.记A={/(x)，(x)=Ax+%左,7〃eR),若/o(x)eA,满足：对任意/(x)eA,均有

胃氏"⑺一"切"胃筋"⑴一氯切，则称4⑺为函数/(%)在尤e[。，句上“最接近”直线•已知函数

g(x)=21nx-x2+3;xe[r,5].

(1)若g(r)=g(s)=O,证明：对任意/(x)wAmax|g(x)-/(x)|>l；

(2)若厂=1,5=2,证明：g(x)在xe[l,2]上的“最接近”直线为：

2+2

Z0(x)=(21n2-3)fx-^+,其中天«1,2)且为二次方程2%+(21n2-3)X-2=0的根.

2024届高三第二次学业质量评价(T8联考)

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数学试卷

考试时间：2024年3月20日下午15：00—17：00

试卷满分：150分考试用时：120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知集合〔x—3J1则A8=()

A.(-2,2)B.[-2,2)C.(-2,2]D,[-2,2]

【答案】B

分析】根据题意求集合A3,再结合交集运算求解.

【详解】由题意可得：A={x|-2<x<3},B={x|x<2}.

所以AcB=[—2,2).

故选：B.

2.复数z=a+历(awO,a,〃eR)满足为纯虚数，贝U()

A.a+b=OB.a-b=OC.a+2b=0D.a—2b=0

【答案】A

【分析】根据条件，利用复数运算法则及复数的分类，即可求出结果.

【详解】因为(l)(a+历)=a+/+a)i,又(l-i)z为纯虚数，

所以。+6=0且a1b,

故选：A.

3.样本数据5,7,4,6,12,10,H,9的第70百分位数次为()

A.7B.9C.9.5D.10

【答案】D

【分析】利用第。百分位数的定义即可求解.

【详解】8x70%=5.6,

,数据4,5,6,7,9,10,11,12的第70百分位数为10.

故选：D.

4.若x=a+lnb,y=a+glnb,2=4+21!16伍片1）成等比数列|,则公比为（）

11

A.-2B.-3C.—D.2

15

【答案】B

【分析】利用等比中项得到变量之间的关系，再求公比即可.

【详解】x,y,z成等比数列.；.xz=y2,

即（0+111/?）（4+2111。）=（0+'11。），

a2+3alnb+2（ln/?）2=a2+alnZ?+—（In/?）2,b彳1.

4

——a=Inb.•公比为2勺，

7f-----------=-3

a+]nb

故选：B.

5.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有

一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（）

5698

A.—B.—C.—D.一

1825259

【答案】c

【分析】应用分组分配法、分步计数求活动安排的方法数，最后运用古典概率模型概率公式即得.

【详解】先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3,1,1,第二类分法是2,2,1,再分配到三项活动中，总方法

因甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同，故只需先把甲，乙，丙三人在三项活动上安排好，再让丁，戊两人分别在

三项活动中选择，

54Q

其方法数为A；C；C；=54.故甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为。=瓦=石.

故选:C.

6.在_ABC中，sin（B-A）=^-,2a2+c2=2b~,贝!JsinC=（）

A.-B.立C.；D,1

322

【答案】C

【分析】利用余弦定理的边角变换得到2acos5—2反osA=—c,再利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式

即可得解.

【详解】因为2〃+。2=2尸，所以2a2—2廿=一。2,

因为a?+/—/—2accosB,b?+c2—tz2—2bccosA,

两式相减,得2a2-2b2=2accosB-2bccosA=-c2,/.2acosB-2/?cosA=-c，

由正弦定理，得2sinAcosB—2sinBcosA=—sinC,即一2sin（5—A）=—sinC,

因为sin（B-A）=；,所以sinC=g.

故选：C.

7.已知正方体ABC。-4四。2A的棱长为2,P为线段G2上的动点，则三棱锥P—BCD外接球半径的取值范

【分析】根据外接球性质找到外接球球心位置，通过几何直观找到外接球半径与_PCD的外接圆半径的关系式

斤=1+/；设P£=x,在PCD中根据面积关系和正弦定理，得到产是关于尤的函数

/=（x=4x+8）卜一+4）；利用导数求出产范围，进而得到长范围.

16

【详解】如图，连接AC,交BD于点、E,易得E为△3CD的外心.

连接4G，耳交于点E，易知ER工平面则三棱锥尸—BCD的外接球球心。在所上.

设JCD的外接圆圆心为O：,OO'，平面PCD，

由正方体中棱BC1平面CC.D.D,得OO'HBC,又易得E,F分别是BD,BR中点,

设，PCD外接圆半径为，三棱锥P-BCD的外接球半径为R.贝蛛2=1+',

设PC]=苍xe[0,2]，:.spcD=2=gpCPDsinZCPD,

1.PCPD_FLJ(2-X)2+4又1二CD1

sinZCPD44'2sinZCPDsinZCPD

2(公-4x+8)(f+4)

丫—,

16

设/(x)=(x2-4x+8)(x2+4),贝Uf\x)=4(x3-3x2+6x—4),

设g(x)=/'(x),贝1Jg'(x)=12(尤2_2x+2)>0,

在无e[0,2]单调递增,又广⑴=0,

所以在尤«0,1］单调递减，在％目1,2］单调递增，又/⑴=25,〃。）=/⑵=32,

所以〃x)e[25,32],

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题第一个突破口是找出外接球半径与.PCD的外接圆半径的关系，第二步是根据面积关

系和正弦定理，得到非是关于x的函数.

8.已知抛物线C的方程为y=；入2,歹为其焦点，点N坐标为（O,T）,过点b作直线交抛物线C于A、B

两点，O是x轴上一点，且满足|八4|=|。@=|£叫，则直线A3的斜率为（）

A.土巫B.土画C.±72D.±73

22

【答案】B

【分析】设4（国,弘），3（々,%），。（上0），直线方程为丁=区+1,联立直线与抛物线方程，消元，得到

石々=一4,再由=|£）邳=pN|=+4?,可得4（尤1，%），85,%）是方程d+/一2以-16=0的

解，将丁=依+1代入方程，由%9=-4求出左.

【详解】设4（石,%），5（%2，^2）,D（tz,0）,直线AB方程为y=自+1,

y=kx+1

联立直线与抛物线方程《可得入2—4日一4=0，

y=­1x2

4

显然△>(),所以再%2=-4.

X|Z)A|=|£)B|=|£)A^|=Jo?+42,即J%—々J+3-Ji4-a)?+y；=y/a2+42，

即％；+y；—2Q%]—16=0,%2+£—2ax?-16-0,

故W9,%）是方程X?+V-2ax-16=0的解,

将,=区+1代入方程/+/一2奴-16=0,

整理得（1+左2）9+（2左—2a）尤—15=0,显然A>0,

15）

••z--x-iX^——4,

1+/%2

.­.k2=-,即k=±近.

42

故选：B.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（%，%）、（不，%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算△；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为七+%、X14的形式；

（5）代入韦达定理求解.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知函数力（％）==；（〃eN*）,则下列判断正确的是（）

1-X

A.若〃=1,且工（a）+/j®=0,贝=lB.若〃=2,且力（。）+力0）=0,则"=1

C.力（光）是偶函数D.力（龙）在区间（1,+8）上单调递增

【答案】AD

【分析】分别将〃=1和〃=2代入计算可得A正确，B错误；显然当"=2左—l，kwN*）时，力⑺不偶函数,

即C错误；求导利用导函数可得力'（％）=；：：“『〉°在。,+"）上恒成立,即D正确.

1_|_jr

【详解】对于A,“=1时，<（力=——

1-X

f、c（I、1+a1+b2-lab

所以工㈤+力（止匚r♦r（—）（一）町所以"=LA正确;

1_|_工2

对于B,〃=2时，力(%)=-----,

1x

2-2(乏

可得力（。）+力。）=^1^+普

解得。匕=±1且"/#±1,即B错误;

(1-«2)(1-^2)

l-Xn

对于C,当〃=2左—l,(AwN*),力=]〃W力(%)，故c错误;

1-(―x)L।Ji

2Mt

对于D,易知力（％）=\^

1-

，/、2nxn~

当X£(l,+8)时，fn(%)=7口>°，

1-x

所以力（九）在区间（1,+。）上单调递增，即D正确;

故选：AD

10.已知O为坐标原点，点A（cos（z,sina）,B（cos^,sin^）,若点C满足=OC±AB,则下列

判断错误的是()

„(a+B.a+B\

A.Ccos------,sm------B.AO5面积的最大值为g

I22J

1.1..ct+/3

C.—sm(z+—sin/o?<sin-------D.CACB>0

222

【答案】ACD

JTJT

【分析】由已知可知点C在劣弧上或优弧上，即可判断A；由三角形的面积公式可判断B；取。=—,/3=-一时,

66

可判断C；点C在劣弧上时，NACB为钝角，点C在优弧上时，ZACB为锐角，即可判断D.

【详解】若OCYAB,则点。在劣弧上，或者在优弧上，

所以c[cosg（a+〃）,sin；（a+〃）]或者c]-cosg（a+〃）,-sin；（a+〃），故A错误；

因为SAnn=—xlxlxsinZAOB=—sinZAOB<—,故B正确；

222

E71c兀r-1.11•1.n.a+B…、n

取。=—，p——，则一sin。H—siiijS=sin--------,故C车曰沃；

66222

点C在劣弧上时，NACB为钝角，CACB<0f

点。在优弧上时，ZACB为锐角，CACB>0,故D错误.

故选：ACD.

11.已知正方体A5CD—A'5'CD'的棱长为1,M是AA中点，P是A5的中点，点N满足

£>W=2D,C,（2e[0,l]）,平面MW截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体积分别为％匕，则下列

判断正确的是（）

A.2=工时，截面面积为且B.2'时，K=K

222-

c.忆-q随着彳的增大先减小后增大D.M—的最大值为卷

【答案】BCD

【分析】对于A,易于判断截面形状，计算即得其面积；对于B,可由A项图形进行对称性判断得到；对于C,要

结合A项中点N从点DC运动到点C的过程中，截面形状的变化，以及B项中的结论合并进行判断；对于D,要

在选项C的基础上判断取最大值时，对应于2=0或4=1时的情形，故只需要求出这两种情形下的乂-％|

的值即得.

如图1,当2=:时，点N是D'C'的中点，易得截面为正六边形.其棱长为J（；）2+（；）2=*,故截面面积为

6x—x，故A项错误;

4

由对称性可知.当2=工时.平面分两部分是全等的，故体积相等，故B项正确;

2

图2

如图2.当4从0变化到1时.截面从四边形"D'CP变化至五边形MP/C'Q(其中J为靠近3点的三等分

点).

结合B项可知，被截面所分两部分体积之差的绝对值先减小至0,再逐渐增大，故C项正确；

M—q取最大值时对应为几=0,或彳=i时情形.

当2=0时，不妨记匕为截面AiD'CP左上角的部分几何体，则

_____1/(1、11117

KT=VP-AMD'D+VP-DD'C=-+3x2xl=245

7171775

则匕=i—，=u，此时M—%|=----------二一；

224241121242412

当4=1时，不妨记匕为截面MP/CQ左上角的部分几何体，则

“”.T7Y7I八I、II-II1II147

匕=^P-DAMQD'+^P-DCC'D'+^Q-PCJ+T^ZQ-JC,C=~(I—-T)XT+^X^X^+7X-7X^+7X7X^=，

31223363372

,4725LIH-+IT7I472511

则n匕=1------=—，止匕时乂—K=----------——.

272721121727236

・・.M—匕|的最大值为卷，故D项正确.

故选：BCD.

【点睛】思路点睛：本题重点考查正方体的截面面积和分割成的几何体的体积问题，属于难题.

解题思路在于要有从特殊到一般的思想，先考虑点N为。'C'的中点时的截面和分割成的几何体体积的关系，再

考虑点N分别与点OC,点C重合时的截面形状以及分割成的两部分的体积，总结出体积变化规律即可.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

InY

12.、=履+人是y=F在(1,0)处的切线方程，则匕=.

【答案】-1

【分析】利用导数的几何意义求出斜率，再求切线方程即可.

【详解】令＞=华=/。)，y=x—ZjhUm

XX

则左=八1)=1,则方程为y=x+/7,将(1,0)代入方程，得0=1+3,解得。=-1,

故答案为：-1

13.1675年，卡西尼在矿究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离

之积为常数的点的轨迹.已知点耳(-2,0),F2(2,0),动点P满足|尸7讣|尸闾=6,则心面积的最大值

为.

【答案】3

【分析】根据题意可列等量关系，化简可得丁=J16Y+36-f-4=一：(，16/+36-8)2+，,即可求解卜区^,

由面积公式即可求解.

【详解】已知定点为耳(—2,0),马(2,0),

因为动点P(x,V)满足归£卜|尸闾=6,

所以点尸的轨迹方程为7(%+2)2+/-7(x-2)2+y2=6,

两边同时平方可得(炉+：/+4)2=36+16x2,

整理得y2J16/+36-X2-4=-—(^16X2+36-8)2+-,

=164

3

所以W45，

此时一丝=g闺闾|y|=gx4|y|<3,当且仅当/=(,/=(时，取得最大值，

故答案为：3

14.已知石，x2是实数，满足X；+8后-4x^2=8,当㈤取得最大值时，|玉+x2|=

【答案】5

【分析】根据等式特征可知8=(%-2九2『+(29)2,再由不等式及其等号成立条件可得结果.

【详解】由X；+8x1-=8可得(占一2%了+4%2=8,

:.16>Xi，即国<4；

X,-2尤,=2x.%=4x]——4

当且仅当《时，即《1或V,等号成立;

R=±4%2=1%2=T

此时归+x2|=5.

故答案为：5

【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用条件等式得出平方关系式，得出162#，由等号成立的条件即可得出结

论.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.设数列｛4｝为等差数列，前几项和为S”，%+%=22,S10=120.

(1)求数列｛。”｝的通项公式；

1

(2)设a=氏+山的前〃项和为求小

【答案】（1）4=2〃+1

‘2"+3M

(2)

-2r

【分析】（1）设公差，将条件利用等差数列的基本关系式列出方程组，求解即得;

—代…^分母有理化后，利用裂项相消法求和即得.

【小问1详解】

设数列｛4｝的公差为d，由。3+%=22,%=120,

2a,+8d=22

则《解得%=3,d=2,故%=3+(〃_l)x2=2〃+l；

106+45d=120

【小问2详解】

________1J2n+3-J2n+1

由（1）得〃=

J2Tl+1++32

.-.7；=1(75-V3+V7-75+79-77++j2〃+3-J2〃+1)=-(V^+3-^)

2222

16.兵乓球（tabletennis）,被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目.已知某次乒乓球比赛单局赛制

为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得11分者获胜.

（1）若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为：，甲接球时获胜的概率为3，甲先发球，求单局比赛中甲n：2获

胜的概率；

2

（2）若比赛采用三局两胜制（当一队崩得两场胜利时，该队获胜，比赛结束），每局比赛甲获胜的概率为耳，每

局比赛结果相互独立，记X为比赛结束时的总局数，求X的期望.（参考数据66=46656）

49

【答案】（1）

1458

(2)£(%)=-

【分析】（1）根据题意，分3种情况分别求单局比赛中甲n：2获胜的概率，再求和；

（2）首先分析得到X=2,3,再分别求概率，以及数学期望.

【小问1详解】

设事件A为“若甲先发球，单局比赛甲11:2获胜”，其可分为如下三种基本事件，

事件3为“甲发球，甲败2次”，事件。为“乙发球，甲败2次”，事件。为“甲发球，甲败1次，乙发球，甲败1

这个单局比赛中，甲发球6次，乙发球6次，最后1次是甲发球甲赢,

・"需露露储%g呜4印丁|亨

尸⑵＜加）呜苗爷

「（A）=P（3）+P（C）+P（。）=£?=■；

【小问2详解】

随机变量X的所有可能取值为2,3,

P（X=3）=C^x-x-x-+C；x-x-x-=-,

,7233323339

5422

所以E（X）=2x9+3><—=—.

''999

17.已知三棱锥尸—A3C中，侧面PAC是边长为2的正三角形，AC=2,BC=4,AB=245,

PE=-PC,PF=FB,平面AEF与底面ABC的交线为直线/.

2

（1）若BCLPC,证明：PC±AF；

（2）若三棱锥P—ABC的体积为孚，Q为交线/上的动点，若直线尸。与平面AEF的夹角为a,求sina的

取值范围.

【答案】（1）证明见解析

⑵〔4

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明尸C_L平面AEE，由线面垂直的性质定理即可证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设。。,％0）,求出平面AEE的法向量，根据空间角的向量求法,

结合不等式知识，即可求得答案.

【小问1详解】

-1——

由题意：PE=—，E,尸分别为棱PCPB的中点，郎〃3。,

2

BC±PC,:.EF±PC.

△B4c为等边三角形，E为尸C中点，

PCLAE.

又EF人七二巴石乙人石匚平面钻/小二^^平面4所,

”匚平而入^尸,；.75。，”；

【小问2详解】

如图，在底面ABC内过点A作BC的平行线/',即为平面AEF与底面ABC的交线/,

（因为所〃3C,则所〃/',A为平面AEF与底面ABC的公共点，故/'为平面AEE与底面ABC的交线/）

由题意AC=2,BC=4,A6=26，AC2+BC2=AB2，即ACIBC,

故底面ABC的面积为5=工4。-3。=4,

2

设底面ABC上的高为"，则上8=LS/Z='X4/?,于是/?=0，

333

注意到侧面PAC是边长为2的正三角形，取AC中点O,

连接P。，则PD=6,从而即为三棱锥P—ABC的高，故?D_L平面ABC,

取AB中点M,连接DW,则。M_ZAC,

于是，以点。为坐标原点.所在直线分别为x轴、y轴、z轴,

建立空间直角坐标系，则4（1,0,0）,P（0,0,/）,。（一1,0,0）,5（—1,4,0）,

4-[:邛]。。，皿

r3由、

于是PQ=（1,%—6）,AE=--,0,^-,EF=（0,2,0）,

I22J

设平面AEF的一个法向是为”二（%,%」），

|二」=0

AE-n—0

则，即《202

EF-n=Q

2%=0

解得《"°3，即n=

Jo=°

-6

由线面所成角的定义可知sintz=卜os<PQ,〃>|=.•.sinaef0,--

行,4+y22I2

2

18.已知双曲线尸的方程为1—/=1,§(o),cg,0),其中。>2,£>(%,%)(%之。,%>°)是双曲线上一

点，直线。6与双曲线。的另一个交点为E,直线。。与双曲线P的另一个交点为尸，双曲线P在点瓦厂处的两

条切线记为hJ/i与4交于点P，线段0P的中点为G,设直线。8,0。的斜率分别为人,内.

/114a

(1)证明:4<一+——<-----.

k、k?J"—4

备GB的\值.

(2)求

【答案】(1)证明见解析

(2)1

【分析】(1)根据点。,8,C坐标求得斜率表达式，利用自变量范围即可得出证明;

(2)联立直线乙与双曲线的方程可得其斜率为&,同理可得左4=手，联立直线乙,4的方程解得

4M4%

Xp=%),再通过联立DB,DC的方程利用韦达定理代入化简可求得Xp=-x0,可知点G的横坐标％=0,

即OGLBC,可得|G@=|GC|.

【小问1详解】

证明：如下图所示:

由。（知为）,5（—a,O）,C（a,O）可得匕=7^；

人八［Ct^vz-»L4-

2

又。（毛,%）双曲线上，=1.

-4<i,

莅

.114a

所以4<——十—<r—.

%k2

【小问2详解】

设£（%,%）,/（%2，%），设直线4」2的斜率分别为&，44，

直线4的方程为丁一%=%（%-%）,

y-

联立方程2,由△=（）可得

X2=i4%

同理可得左4=.；

4%

联立/J方程卜%="-%）消去y可得

将&=｝，44=产代入上式，化简整理可得%1=4（%—“）；

4%4%%%-

设直线DB,DC的方程分别为》=%'一。,》=/2丁+。，

1Xr,+a1x-a

则可得:=-=-一占=—=-n-

%y042%

x=txy-a

联立双曲线与直线r>3方程J/2

=1

消去X可得关于y的二次方程(片—4)/—2%y+。2_4=0,该方程的两根为先,%；

(2^—4<7i—4

由韦达定理可知为%=—一-，可得%=/2—

二一4-41为

片―4

同理可得%=(%-4)%

4(%-%)4(%-%)

所以马=上一上=-——＞一?-----；,再将%,%表达式代入马中整理可得:

x=4(%-%)=_________4%(1-%)_________

「+(〃_4)(4_幻一伙(彳+名-8)'

x+ax-a8x8x

再将A=-n-4=-n一代入上式整理可得与=—n一=Un=一/；

%%4%-%—4-8

所以点G的横坐标王=4；"°=°，所以OGLBC,故|GB|=|GC|；

\GB\

可得^~=1.

\GC\

【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据直线和切线方程，通过与双曲线联立求得点P