2024年新高考数学一轮复习：一元二次不等式及其解法

专题05一元二次不等式及其解法

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的

零点与方程根的关系.

2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.

3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.

【考点预测】

1.一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.

2.三个“二次”间的关系

判别式

/>0/=0/<0

A=甘一4ac

二次函数1U

u必

y=ax+bx~\-cA：l\lO/X2

01^=4

(a>0)的图象

一元二次方程有两相等实根

有两相异实根Xl，X2(X1

ax+6x+c=0b没有实数根

<X2)Xi=X2=——

(a>0)的根

ax+6x+c〉0{x

R

(a〉0)的解集或xVxJ

ax-\~bx-\-c<0

{xXiVxV初00

S>0)的解集

3.(x—a)(x—6)>0或(x—a)(“一6)〈0型不等式的解集

解集

不等式

a=ba>b

{x~a),(x-Z?)>0{x\或x>b\{x|a}{x或x>@}

(x-a),(x—Z?)<0{x\a<x<b}0{x

4.分式不等式与整式不等式

(1)->0«0)•g(x)>0«0).

g(x)

f(x)

⑵g(X)20(WO)o『(x)•g(x)》O(WO)且g(x)WO.

【常用结论】

1.绝对值不等式|x|〉a(a>0)的解集为(-8,-a)U(a,+8)；|x|〈a(a〉0)的解集为

(—a,a).

记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.

2.解不等式af+^x+cXKVO)时不要忘记当a=0时的情形.

3.不等式ax2+6x+c〉0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.

,[a—b—Q,[a>0,

(1)不等式ax'+Zwr+c〉。对任意实数x恒成立或|

[c>0[/<0.

[a—b—O,[a<0,

⑵不等式aV+6x+c〈0对任意实数x恒成立或|

[c<0[zl<0.

【方法技巧】

L含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论.

(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可

对判别式进行分类讨论.

(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零

的情形及判别式4的正负，以便确定解集的形式.

(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.

2.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点

值.

3.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可

以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.

4.对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区

间上恒成立.

5.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量,

求谁的范围，谁就是参数.

①若af+fer+cX)恒成立，则有a>0,且/<0；若ax+bx+c<0恒成立，则有a<0,

且zi<0.

②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).

二、【题型归类】

【题型一】分式不等式的解法

V-1

【典例1】不等式的解集为

十1

.x-1,x—11lx-2一x+2、

【解析】2^+1^1=2^+1-1^°Q~21+1^0=2^+1^°•

x+2f(x+2)(2x+l)20,得{x/x>—g或xW—2}.

解法一:

2x+l〔2x+lW0.

x+2["+220,x+2W0,

解法二:Q_L12001

2x+l2^+1>02x+lV0.

得{x/x>—J或后一2}.故填{x/x>一<或2}.

Lt/

v—9

【典例2］不等式f+3x+2>°的解集为

x—2x-2

[解析】x』3x+2>°o(x+2)(x+1)>°=

(x—2)(x+2)(x+1)>0,

数轴标根得{x|-2VxV—1或x>2],

故填[x/-2<x<—1或x>2}.

【典例3】若集合/={x|—1W2X+1W3},5=]x/—WO>则/n§=()

A.{x|—lWxV0}B.{x|0VxWl}

C.{x|0WxW2}D.{xIOWxWl}

\x(x—2)WO,

【解析】易知/={x|—IWxWl},6集合就是不等式组小的解集，求出8=

[xWO

{x|0VxW2},所以4G6={x|0VxWl}・故选B.

【题型二】不含参的不等式解法

【典例1]不等式一2/+才+3<0的解集为()

A.—l<x|>

B.<x>

C.1王卜〈一1或x〉!'

D.卜卜〈一|或x〉l>

【解析】一ZV+x+BVO可化为2?-x—3>0,

即(x+1)(2^-3)>0,

/.水一1或x>~.

【典例2】(多选)已知集合〃={x||x—1|W2,xGR},集合"=卜^^N1，XGR则

()

A.M={x|-1W启3}

B.2{x|TWxW4}

C.MUN={x\—1WA4}

D.MCN={x\-1<J<3}

【解析】由题设可得〃=[—1,3],归(一1,4],

故A正确，B错误；

“U43—1WK4},故C正确；

而〃Cl{x|—1CY^3},故D正确.

【典例3】关于x的不等式X-(a+l)x+a<0的解集中，恰有3个整数，则实数a的取值范

围是•

【解析】原不等式可化为(x—1)(x—a)<0,当a>l时，得1〈求a,此时解集中的整数为2,3,

4,则4<aW5；当a〈l时，得a<x〈l,此时解集中的整数为-2,-1,0.则一3Wa〈一2,故

aG[―3,—2)U(4,5].故填[—3,—2)U(4,5].

【题型三】含参不等式解法

【典例1]解关于x的不等式ax—(a+l)x+l〈O(a〉O).

【解析】原不等式变为(ax—l)(x—1)<0,

因为卧0,所以卜一()(x—1)<0.

所以当苏1时,解为工<x〈l；

a

当a=l时，解集为。；

当0<3<1时，解为

a

综上，当0<水1时，不等式的解集为“x,；

a

当a=l时，不等式的解集为。；

当a〉l时，不等式的解集为卜(〈x〈lJ.

【典例2]解不等式12/-ax>a2(aeR).

2

【解析】原不等式可化为12/-a^-a>0,

即(4x+a)(3x—a)>0,令(4x+a)(3x—a)=0,

解得X1=一A2=1.

当a>0时，不等式的解集为(一8,一；)陪，+8)；

当a=0时，不等式的解集为(-8,0)U(0,+8)；

当a〈0时，不等式的解集为(一8,如卜；，+8).

【典例3]解关于x的不等式ax?—222x—ax(aGR).

【解析】不等式整理为ax?+(a—2)x—220,

当a=0时，解集为(一8,-1],

2

当aWO时，与£+(己―2)x—2=0的两根为一1,一，

a

所以当女>0时，解集为(-8,—1]U1,+8)；

一2-

当一2VaV0时，解集为-1；

a

当a=-2时，解集为｛x|x=-1｝；

-2'

当a<-2时，解集为一1,-.

a

【题型四】在R上恒成立问题

【典例1】对VxGR,不等式(a—2)V+2(a—2)x—4〈0恒成立，则a的取值范围是()

A.—2〈aW2B.-2WaW2

C.a〈一2或a22D.aW—2或a22

【解析】不等式(a—2)V+2(a——4〈0对一切x《R恒成立，当a—2=0,即a=2时，

—4〈0恒成立，满足题意；

当a—2#0时，要使不等式恒成立，

[a—2<0,[a<2,

需｛即有｛2,

<0,[4a—2+16a—2<0,

解得一2〈水2.

综上可得，石的取值范围为(-2,2].

【典例2】已知函数F(x)=以/一切x—l.若对于x£R,_f(x)<0恒成立，求实数力的取值范围.

【解析】当勿=0时，F(x)=—1<0恒成立.

f/zKO,

当勿W0时，贝12即一4〈水0.

〔4=君+4成0,

综上，一4〈辰0,故勿的取值范围是(一4,0].

【典例3】若不等式a-4"—2"+1>0对一切x£R恒成立，则实数乃的取值范围是.

【解析】不等式可变形为苏宁=(1)一,令5=3则力〉0..•./=(；)—已)=t-t2

2

=一卜一0+(,因此当V时，了取最大值(,故实数a的取值范围是a〉；.故填住+8)

【题型五】在给定区间上恒成立问题

【典例1】已知函数f(x)=3^—腔一1.若对于xG［1,3］,F(x)〈5—7恒成立，则实数小的

取值范围为.

【解析】要使f(x)〈一0+5在xd［1,3］上恒成立，

即(X—1^++?—6<0在xd［1,3］上恒成立.有以下两种方法：

方法一令g(x)=<x-1)+17ff—6,

xG［1,3］.

当以〉0时，g(x)在［1,3］上单调递增，

所以g(x)则=g(3),即7必一6<0,

66

所以水,，所以0〈亦不；

当勿=0时，-6<0恒成立；

当冰0时，g(x)在［1,3］上单调递减,

所以g(x)max=g(l),即加一6<0,

所以水6,所以加0.

综上所述，加的取值范围是(一8,|j.

方法二因为X，—x+1=(x—+|>0,

又因为0(/一了+1)-6<0在xd［1,3］上恒成立,

所以水占一:+1在xG口3］上恒成立.

令尸7_：+1，因为函数-21=7~卜三在口，3］上的最小值为号,所以只需成,即

可.所以卬的取值范围是(一8,马.

【典例2】若不等式f+ax+lNO对于一切xe(o,3成立，则实数a的最小值为()

A.0B.-2D.l3

1-

【解析】解法一：不等式可化为由三一三一1,由于0,2-

_

1<1-

-

-+--

­/,(X<O,2上是减函数,

_

-X」_5.>,5

••a2,

到max~2,

解法二：令f(x)=x+ax+1,对称轴为x=—1.

a

一jWO,

①j2=a20.(如图1)

1(0)20

5

n——1.(如图3)

\~~/V)x\/

当I。|X工.2

-L_a.

xr-2

图1图2图3

综上①②③，a》一].故选C.

【典例3】若存在实数xe[2,4],使X?—2x+5—冰0成立，则〃的取值范围为()

A.(13,+8)B.(5,+°0)

C.(4,+8)D.(―8,13)

【解析】m>x°—2x+5,设f(x)=/—2x+5=(x—1)2+4,[2,4],当x=2时/'(x)11dli=5,

mxe⑵4]使V—2x+5一欣0成立，即以〉f(£)min,.,.以〉5.故选B.

【题型六】给定参数范围的恒成立问题

【典例1】若不等式d+pxMx+p—3,当0W/<4时恒成立，则x的取值范围是()

A.[―1,3]

B.(-8,—1]

C.[3,+8)

D.(—8,—1)u(3,+8)

【解析】不等式/+夕x>4x+〃-3

可化为(x—1)o+•/—4x+3>0,

由已知可得[0—1)0+/—4*+3]1„5>0(0・0・4),

令/(/?)=(x—1)夕+*—4x+3(0W〃W4),

却=/—4x+3〉0,

可得

/4=4x—l+V—4x+3>0,

—l或x>3.

【典例2]已知对于任意的[—1,1],函数/*（才）=X2+（己-4）丫+4—2乃的值总大于0,

则x的取值范围是（）

A.1VXV3B.xVl或x>3

C.l<x<2D.xVl或x>2

【解析】记g®=（不-2）石+/—4x+4,ae[—1,1],

\g（1）>0,[x~3x+2>0,

依题意，只须｛/、=>]2.=>xVl或x>3,故选B.

〔g（-1）>0[x-5x+&>0

【典例3】若一腔一l<0对于"£[1,2]恒成立，求实数x的取值范围.

【解析】设gE）=勿一一腔一1=（/一£）〃一1,其图象是直线，当〃£[1,2]时，图象为一条

线段，

x~x~l<0,

则If&<0'即

2x—2x—1<0,

解得与此水苧,

故X的取值范围为

【题型七】二次不等式、二次函数及二次方程的关系

【典例1]已知不等式ax'+^x+Z>。的解集为｛x|—l〈x<2｝,则不等式Zf+^x+aVO的解集

为（）

A.jx//一1或x>]jB.jx|—l<X-j

C.U|-2<X1}D.{x|x〈一2或x>l}

【解析】由题意知x=-1,x=2是方程ax2+6x+2=0的两根，且aVO.

,b

-1+2=一,

aa=­1,

由韦达定理得《

28=1.

(-1)X2=-

a

工不等式2*+6x+水0,即2x?+x—1X0.

解得一故选B.

【典例2】已知不等式af+Sx+cX)的解集为{x|2VxV3},则不等式eV—6x+a>0的解

集为.

【解析】•・,不等式ax+bx+c>0的解集为{x|2VxV3},

Cb.

—_=2+3,

a

・・・aVO,且2和3是方程a/+云+。=0的两根，由根与系数的关系得《。即

一=2X3,

a

<a<0.

b——5a,

<c=6a,

&V0.

代入不等式。x?—Ax+a>0,得6ax2+5ax+a>0(aVO).

即6x+5^+l<0,解得一；Vx<一；.

故填卜/一[〈xV—

【典例3](多选)满足关于x的不等式(ax—6)(x—2)>0的解集为■x於<2则满足条

件的一组有序实数对(a,6)的值可以是()

A.(—2,—1)B.(—3,—6)

C.(2,4)D.1—3,一3

【解析】不等式(ax—份(x—2)〉0的解集为卜|；〈水2,

方程(ax—6)(x—2)=0的实数根为(和2,

3<0,

且即a=2沃0,故选AD.

1=亍

【题型八】一元二次不等式的应用

【典例1】甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求IWxWlO),每小时

可获得利润是100(5叶1一习元.

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大

利润.

【解析】(1)根据题意，200(5X+1-$23000=>5X—14一,20=>5X2—14X—320=>(5X+1)(X

—3)20,又KxWlO,可解得3WxW10.

gnn[3、,31、

(2)设利润为p元，贝!Jy=—•100(5x+l一小=9X104^+~+5j=

「C।61]

9X104-3—7+—.

6/12_

故x=6时，％ax=457500元.

【典例2】某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成

(1成=10%),售出商品数量就增加Mx成.要求售价不能低于成本价.

(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域；

(2)若要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围.

【解析】(1)由题意得y=100(l—%)•100(1+4,.

,/售价不能低于成本价，二100。一高一80》0.

...y=f(x)=20(10—x)(50+8x),定义域为[0,2].

113

⑵由题意得20(10—x)(50+8x)210260,化简得8丁一30x+13W0.解得:.x的

取值范围是万，2.

三、【培优训练】

【训练一】若关于x的不等式/一(2a+l)x+2水0恰有两个整数解，则石的取值范围是()

A.>

B.1J-~~>

C.或/〈水2

D.一1W水一；或/〈aW21

【解析】令V—(2a+l)x+2a=0,解得x=l或x=2a

当2乃>L即公1^时，

不等式X—(2a+l)x+2水0的解集为｛x[l<T<2a｝，

则3<2&W4,

3

解得5〈乃W2；

当2且=1,即司=5时,

不等式x—(2a+l)x+2水0无解，

所以乃=?不符合题意；

当2水1,即水;时，不等式X—(2a+l)x+2水0的解集为{x|2a<x<l},

则一2W2水一1,解得一1W水—

综上，a的取值范围是%|一1—(或|〈W2\

【训练二】已知f(x)=2f+bx+c,不等式f(x)〈O的解集是(0,5).

(ru)>o

(1)若不等式组+k)<0的正整数解只有一个，求实数次的取值范围;

(2)若对于任意xe[—1,1],不等式ff(x)(2恒成立，求t的取值范围.

【解析】(1)因为不等式/'(xXO的解集是(0,5),

所以0,5是一元二次方程2f+6x+c=0的两个实数根，

〃b

0+5=—5，

可得<

c

0X5=-,

解得k伯o=-.10,

所以f^x)=2x?—10x.

r通”o

不等式组1小…门•o

[2x+2Ax+4—10x+A〈0,

]x<0或x>5,

—A<X5—A,

因为不等式组的正整数解只有一个,

可得该正整数解为6,

可得6〈5一代7,

解得一2WAV—1,

所以女的取值范围是［—2,-1).

(2)tf(x)^2f即力(2f-10x)W2,

即房一51x—1W0,

当t=0时显然成立，

t,1—51,——1——IWO,

当力0时，有，

2・1—51・1-1^0,

［1+51—1W0,

即

［t—51—1W0,

解得一

46

所以0<々］；

b

当方<0时，函数y=5以-1在［―1,1］上单调递增,

所以只要其最大值满足条件即可，

所以t—51—1W0,

解得£》一；，

即一3或伙0,

11

--

综上，方的取值范围是4^6

【训练三】已知二次函数F(x)的二次项系数为a,且不等式/'(x)>—2x的解集为(1,3).

(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；

(2)若/'(x)的最大值为正数，求a的取值范围.

【解析】(l)：F(x)+2x>0的解集为(1,3),

f{x)+2x=a(x—1)(x—3),且5<0.

因而_f(x)=a(x—1)(x—3)-2x

—ax—(2+4a)x+3a①

由方程f(x)+6a=0得ax—(2+4a)x+9a=0.②

因为方程②有两个相等的实根，所以

A=[—（2+4乃）]一4a-9a=0,

1

即5a2—4a—1=0,解得a=l或a-

5,

由于a<。，舍去a=l,将2=一二代入①得f(x)的解析式

/、1263

⑵由f{x)=a/—2(l+2a)x+3a

_(l+2a^2a2+4a+l

\a)a

#+4a+1

及a<0,可得Ax)的最大值为

a

一+4a+1

---------------->0,广、厂

由，a解得〃V—2—^3或-2+q3VaV0.

/V0,

故当Hx)的最大值为正数时，实数己的取值范围是

(-8,-2-73)U(-2+73,0).

a(x—1)

【训练四】解关于x的不等式:>l(a<l).

x—2

【解析】(x—2)[Q—1)x+2—司>0,

a—2

当石VI时有(x—2)X~a-l<0,

什H—2a—2

右H>2'即。<a<l时，解集为｛X[2<X<R｝；

什a-2

右H=2,即司=0时，解集为0；

_^a—2a—2

右H<2,即a<°时，解集为.力。<2｝.

/+用Y-|_11

【训练五】已知函数『(X)=F7r-(回)，若对于任意的⑹*,年)》3恒成立,贝丘

的取值范围是.

【解析】对任意xGN*,F(x)>3,

、+ax+n

即x+123恒成立,

即心一口+曰十?.

设g(x)=x+£XGN*,

8

则g(x)=x+;N4噌，

17

当且仅当x=2班时等号成立，又屋2)=6,g(3)=亍

17

)()min=W

g(2>g3,/.g(x)D

x+$

+3W——,

X,•J

o「8、

故a的取值范围是一可，+°°.

【训练六】解关于X的不等式苏—222x—ax（旌R）.

【解析】原不等式可化为a/+（a—2）x—220.

①当N=0时，原不等式可化为x+IWO,解得xW—1.

②当女>0时，

原不等式可化为(x+1)20,

2

解得-或W—1.

a

③当aVO时,

原不等式化为(x+1)W0.

2

即a<—2时，解得一1WA-；

-1,a

2

当一=一1,即8=一2时，解得x=—l；

a

2

当一V—1,即一2VaV0时，

a

9

解得一W后一

a1.

综上所述，当a=0时，不等式的解集为｛x|xW—1｝；

当a>0时，不等式的解集为

卜|x三：或“；

当一2VaV0时，不等式的解集为

一小

当a=-2时，不等式的解集为｛—1｝；

当a<一2时，不等式的解集为卜一皿臼.

四、【强化测试】

【单选题】

1.已知集合/=｛x|/—才一2<0｝,B=｛x\x,则ZC夕等于（）

A.(0,2)B.(-1,0)

C.(-3,2)D.(-1,3)

【解析】A={x|-12},B={x|—3〈x<0},

.*"06=故选B.

2.若(KK1,则关于x的不等式(［一x)Q—：)>0的解集为()

A「x"<x<t>

B.或x〈t,

C.〈:或x〉2,

【解析】原不等式可化为(x—t)Q—5<0，

1

vo<t<i,t<-f

.••原不等式的解集为卜卜〈水：

故选D.

3.已知函数『(x)=(ax—1)(x+6),如果不等式F(x)>0的解集为(一1,3),那么不等式『(一

2x)<0的解集为()

【解析】由f(x)=(ax-l)(x+6)〉°的解集是(一1,3),则a<0,故9—1,i=3,

即a=~l,b=~3.

f(x)——x+2^r+3,

/.=—4f—4x+3,

13

由一4才2—4入+3<0,解得X〉］或x<一］，

故不等式『（一2x）〈0的解集是（一8,一|）u\,+8）.

4.已知某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3000+20x—0.19,

xe（0,240）.若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的

最低产量是（）

A.100台B.120台

C.150台D.180台

【解析】由题设，产量为x台时，总售价为25x；

欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本，

即25x23000+20^-0.\x,

即0.If+5了-300020,/+50^-3000020,

解得x>150或xW—200（舍去）.

故欲使生产者不亏本，最低产量是150台.

5.已知函数F（x）=（ax—l）（x+6）,如果不等式/1（x）>。的解集是（一1,3）,则不等式/•（一

2X）〈0的解集是（）

’\一ab

-----=2

a

所以a<0,且<

解得a=—1或a=J(舍去)，

O

所以己=-1,b=-3,所以_f(x)=—V+2X+3,

13

所以F(—2x)=-43一4x+3,由一4f—4x+3<0,得4f+4x—3>0,解得x>］或5.

故选A.

6.若不等式2x+52才一3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）

A.[-1,4]B.(-8,-2]U[5,+8)

C.(-8,-1]U[4,+8)D.[-2,5]

【解析】V—2x+5=(x—1尸+4的最小值为4,所以V—Zx+SBa?-3a对任意实数x恒成

立，只需a?-3aW4即可，解得一lWaW4.

故选A.

7.若不等式(a+l)x+aWO的解集是[―4,3]的子集，则a的取值范围是()

A.[—4,1]B.[—4,3]

C.[1,3]D.[-1,3]

【解析】原不等式为(x—a)(x—1)WO,当a〈l时，不等式的解集为[a,1],此时只要a2

—4即可，即一4Wa<l；当a=l时，不等式的解集为{x|x=l},此时符合要求；当a〉l时,

不等式的解集为[1,a],此时只要aW3即可，即l〈aW3.综上可得一4WaW3.故选B.

8.若不等式(a+l)x+aWO的解集是[-4,3]的子集，则a的取值范围是()

A.[—4,1]B.[—4,3]

C.[1,3]D.[-1,3]

【解析】原不等式为(x—a)(x—1)WO,当a<l时，不等式的解集为[a,1],此时只要a》

—4即可，即一4<a<l；当a=l时，不等式的解集为{x|x=l},此时符合要求；当a>l时,

不等式的解集为[1,a],此时只要aW3即可，即l<aW3.综上可得一4WaW3.故选B.

【多选题】

9.满足关于x的不等式(ax—6)(x—2)〉0的解集为卜化〈水2•，则满足条件的一组有序实

数对(a,6)的值可以是()

A.(—2,—1)B.(—3,—6)

C.(2,4)D.1—3,一|)

【解析】不等式(ax—6)(x—2)〉0的解集为'xB〈水2•,

方程(ax—6)(x—2)=0的实数根为(和2,

水0,

且<61即a=26<0,故选AD.

a=2'

10.已知函数F(x)=x2+ax+6(a>0)有且只有一个零点，贝网)

A.者TW4

B.a2+v^4

b

C.若不等式x+ax—^<0的解集为(矛1,X2),则不入2>0

D.若不等式伏。的解集为(矛1,X2),且|矛i一用|=4,则。=4

【解析】因为f(x)=/+«3*+6(己>0)有且只有一个零点,故可得力=——46=0,即a=4b>0.

对于A,3一62・4等价于62—48+420,

显然(6—2)220,故A正确；

对于B,a+\=4b+^2y4bx{=4,当且仅当46=)>0,即时，等号成立，故B正确；

bb\1bb2

对于C,因为不等式f+ax—次0的解集为(xi,X2),故为x2=一伙0,故C错误；

对于D,因为不等式V+ax+6<c的解集为(xi,X2),且|荀一照|=4,则方程£+"+6—。

=0的两根为xi,x2,故可得同不十宏一4荀生=*\//一46—C=A/G=2加=4,故可得c=4.

故选ABD.

11.若不等式3-+c>0的解集是(一1,2),则下列选项正确的是()

A.伙0且c>0

B.a-6+c>0

C.a+6+c>0

D.不等式的解集是(一2,1)

【解析】对于A,水0,—1,2是方程乃/—6x+c=0的两个根，所在―1+2=1=—,—1X2

a

c

=一，所以6=a,c=~2a,所以仅0,c>0,所以A正确；令fd)=aV—bx+c,对于B,

a

由题意可知f(l)=a—6+。>0,所以B正确；对于C,/(—1)=a+b+c=Q,所以C错误，

bc

对于D,因为对于方程&^+6匠+。=0,设其两根为xi,X2,所以为+苞=--=-1,xiX2=~

aa

=-2,所以两根分别为一2和1.所以不等式a^+bx+c>0的解集是(一2,1),所以D正确.故

选ABD.

12.下列四个解不等式，正确的有()

A.不等式2x—x—l>0的解集是{x|x>2或K1}

B.不等式一6/一x+2W0的解集是卜

C.若不等式/2+8公+21<0的解集是{削一7〈水一1},则a的值是3

D.若关于x的不等式2<0的解集是(Q,1),则,+。的值为一1

【解析】对于析因为2*—x—1=(2x+l)(X—1),

所以由2x—x—1>0得(2x+1)(x—1)>0,

解得x>l或^r<—1,

所以不等式的解集为卜卜〉1或水一耳.故A错误；

对于B,因为一6X2-X+2W0,所以6六+*—220,

所以(2x—l)(3x+2)》0,

i9

所以X2］或-故B正确；

91

对于C,由题意可知一7和一1为方程石/+8公+21=0的两个根.所以一7X(—1)=一,所

a

以a=3.故C正确；

对于D,依题意q,1是方程x+px~2=0的两根，

q+l=一0，即0+q=—1,故D正确.

故选BCD.

【填空题】

13.不等式|x(x—2)|>x(x—2)的解集是.

【解析】不等式Ix(x—2)|>x(x—2)的解集即x(x—2)<0的解集，解得0<水2.

答案：{x|(Kx<2}

14.若0〈水1,则不等式(LX)(X—加的解集是.

【解析】原不等式可化为(x—鼻〈0,由0<水1得水士所以水水士

'a)aa

答案:")

15.若关于x的不等式/+2ax+l20在区间［0,+8)上恒成立，则实数a的取值范围是

【解析】方法一：当x=0时，1》。对任意的aGR恒成立，当xWO时，因为不等式V+2ax

+120在区间(0,+8)上恒成立，所以/+2ax+l=0在R上无解或有两个相等的实根或

［44a2—4>0,

/+2之入+1=0有两个不等的实根且两根均小于0,所以4=4才一4忘0或解得

〔一2水0,

石2—1.

方法二：因为x=0时，120对任意的a£R恒成立，当xWO时，不等式可化为一2HWX+2

x

(x£(0,+-)),由基本不等式得x+，22,当且仅当犬=,时取等号，所以易知一2〃W2,

xx

解得a2一1.综上，a2一1.

答案：［—1,+8)

16.在R上定义运算：xy=x(l—力，若不等式(x—a)(x+a)<1对任意实数x恒成立,

则实数3的取值范围为.

【解析】由题意，可知不等式(X—4(X+&G对任意实数X都成立，

又由(x—a)(x+a)=(x-a)(1—x—a),

即x—x——+口+1〉0对任意实数x都成立，

所以4=1—4(—J+a+l)<0,即4-一4〃一3<0,

13

解得一万〈水/.

答案:1］，

【解答题】

17.若不等式ajr2+5z—2>0的解集是卜15<*<2］.

(1)求实数a的值；

(2)求不等式ax2—5才+才一1>0的解集.

【解析】⑴由题意知水0,且方程aV+5x—2=0的两个根为；，2,代入方程解得a=-2.

(2)由(1)知不等式ax—^x+a—1>0,

即为一2/—51+3〉0,即+5x—3<0,解得一3〈弓即不等式a^2-5^+a2-l>0的解集

为13,9

18.已知函数/'(x)=af+6x+c(a>0,b,cWR).

⑴若函数f(x)的最小值是a—1)=0,且。=1,

(x),x>0,

b(x)=求尸(2)十尺一2)的值；

〔一f(x),x<0,

(2)若a=l,c=0,且|f(x)|W1在区间(0,1］上恒成立，试求6的取值范围.

【解析】(1)因为/'(x)的最小值是f(—1)=0,且c=l,

fb

---=—1a=l

所以j2a,得

b=2

(—1)=a—6+1=0

所以f{x)—x+2x+l=(x+l):

(x),x>0

因为尸(x)=

/(x),x<0'

所以分(2)+尸(-2)=8.

(2)由题知_f(x)=x+bx,原命题等价于一1