天津市和平区2023届高三下学期数学一模试卷

天津市和平区2023届高三下学期数学一模试卷一、单选题1．已知全集U=A∪B={x∈N∣x≤7}，A∩(∁A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2．已知a是实数，则“a<−1”是“a+1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数y=lncosx（-π2＜xπA． B．C． D．4．某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在[40，A．频率分布直方图中第三组的频数为15人B．根据频率分布直方图估计样本的众数为75分C．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分D．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分5．已知a=log0.A．b<c<a B．c<b<a C．a<b<c D．a<c<b6．将函数f(x)=sin2x图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移π12个单位长度，得到函数A．|g(x)|的最小正周期为πB．g(x)的图象关于直线x=7πC．g(x)在(−πD．g(x)的图像关于点(5π7．抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y24−xA．2 B．22 C．8 8．为庆祝国庆，立德中学将举行全校师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠．如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（）A．2(5+33)π3C．2(5+33)πcm9．已知函数f(x)=|lnx|，0<x≤ef(2e−x)，e<x<2e，设方程A．x1+xC．0<(2e−x3)(2e−二、填空题10．设i为虚数单位，复数3−i1+i=11．1x3⋅12．直线l：y=x与圆C：(x−1)2+(y−2)2=a213．先后掷两次骰子（骰子的六个面上的点数分别是1､2､3､4､5､6），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x､y，记事件A为“x+y为偶数”，事件B为“x､y中有偶数且x≠y”，则概率P(A)=14．若实数x、y满足x2+y2+xy=115．已知四边形ABCD，DC=tAB，AB=6，AD=4，∠DAB=60∘，且AD⋅CD=−6，点E为线段BD，上一点，且AE=(1+λ)AD三、解答题16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为（1）求A的大小：（2）若a=7（i）求△ABC的面积；（ii）求cos(2C−A).17．在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC；AC⊥BC，（1）求证：CM⊥EM；（2）求直线EM与平面CDE所成角的正弦值；（3）求平面CME与平面CDE的夹角的余弦值.18．已知数列{an}为首项a1=1的等比数列，且an，3an+1，9a（1）求数列{a（2）求i=1n（3）数列{cn}满足cn=nan3，记Gn和19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）已知斜率大于0的直线l与椭圆C有唯一的公共点M，过点A作直线l的平行线交椭圆C于点P，若△MOP的面积为34，求直线l20．已知函数f(x)=ex−ax，g(x)=ln(x+2)−a（1）当a>0时，函数f(x)有极小值f(1)，求a；（2）证明：f'（3）证明：ln2+(ln

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】A4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】B9．【答案】B10．【答案】1-2i11．【答案】6012．【答案】613．【答案】12；14．【答案】215．【答案】1316．【答案】（1）解：因为(bcos所以(sin即sin(B+C)则sinA因为A∈(0，π)，所以所以tanA=−所以A=2π（2）解：（i）由余弦定理得a2即7=1+c2+c，解得c=−3所以△ABC的面积为S=1（ii）由上可得cosC=a2所以sinC=所以sin2C=2sinC所以cos(2C−A)=cos2Ccos17．【答案】（1）证明：因为AC⊥BC，以C为原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C−xyz，则M(1，1，所以CM=(1，1所以CM⋅所以CM⊥EM，即（2）解：因为CE=(2，0，1)则m⋅CE=2x+z=0m⋅CD=2y+2z=0设EM与平面CDE所成角为θ，则sinθ=即直线EM与平面CDE所成的角的正弦值为33（3）解：由题CM=(1，1设平面CME的法向量n=(a由n⋅CE=2a+c=0n⋅又平面CDE的法向量m=(1所以|cos所以平面CME与平面CDE的夹角的余弦值为6618．【答案】（1）解：设等比数列{an}的公比为q，由题知：6a所以6q=1+9q2，即9q所以an又S22=解得d=−1（舍）或d=3，所以bn（2）解：由bn=3n−2，可得所以i=1=−1+(−1)（3）证明：因为an=(GnTn则13所以23∴Tn所以Tn所以Tn19．【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为c，由e=12，可得a=2c，所以直线AB的方程为x−2c+y因为直线AB与圆O：所以|23解得c=1，所以椭圆C的方程为x2（2）解：设直线l的方程为y=kx+m(k>0)，M(x由y=kx+mx24所以Δ=(8km)2−4(4所以x1=−4km即M(−4k所以直线OM的方程为y=−34kx又A(−2，0)，由题可得直线由y=k(x+2)x24+y设P(x2，y2)，则即P(6−8则P到直线OM距离为d=|3⋅所以三角形的面积为S△MOP所以|m|=4，m2=4k所以k=132，所以直线l的方程为y=1320．【答案】（1）解：f'(x)=ex−a当x>lna时，f'(x)>0，当x<lna时，所以f(x)在(lna，+∞)上单调递增，在所以f(x)有极小值f(lna)，所以lna=1，即a=e.（2）证明：不等式f'(x)>g(x)恒成立，即设ℎ(x)=ex−ln(x+2)易知ℎ'(x)是定义域上的增函数，又则ℎ'(x)=ex−1当x∈(−1