江苏省南通市海安县南莫中学2025届高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

江苏省南通市海安县南莫中学2025届高一数学第二学期期末学业水平测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2．已知函数，若方程有5个解，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP面积的最小值为（）A．1 B．2 C． D．4．汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（）A．32 B．40 C． D．5．如图，向量，，，则向量可以表示为（）A．B．C．D．6．已知直线：，：，：，若且，则的值为A． B．10 C． D．27．某市家庭煤气的使用量和煤气费(元)满足关系，已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：月份用气量煤气费一月份元二月份元三月份元若四月份该家庭使用了的煤气，则其煤气费为（）元A． B． C． D．8．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）．A． B．C． D．9．已知函数在区间内单调递增，且，若，，，则、、的大小关系为（）A． B． C． D．10．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足＝，若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB面积的最大值是()A． B． C．3 D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若，则满足的的取值范围为______________；12．直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为．13．在平行四边形中，为与的交点，，若，则__________．14．有一个底面半径为2，高为2的圆柱，点，分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点或的距离不大于1的概率是________.15．设,则的值是____.16．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某校名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是,,,，，.求图中的值；根据频率分布直方图,估计这名学生的平均分；若这名学生的数学成绩中,某些分数段的人数与英语成绩相应分数段的人数之比如表所示,求英语成绩在的人数.分数段:51:21:118．已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列．（1）求数列的通项公式．（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．19．设数列的前项和为，点均在函数的图像上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.20．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，，．求证：⑴平面；⑵．21．已知数列的前项和为，且满足，（）．（Ⅰ）求的值，并求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：（）．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

根据线线、线面和面面平行和垂直有关定理，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直另一个平面内的直线，故A选项错误.对于B选项，两个平面平行，一个平面内的直线和另一个平面内的直线不一定平行，故B选项错误.对于C选项，两条直线都跟同一个平面平行，它们可能相交、异面或者平行，故C选项错误.对于D选项，根据平行的传递性以及面面垂直的判定定理可知，D选项命题正确.综上所述，本小题选D.【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面平行和垂直有关定理的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题.2、D【解析】

利用因式分解法，求出方程的解，结合函数的性质，根据题意可以求出的取值范围.【详解】，，或，由题意可知：，由题可知：当时，有2个解且有2个解且，当时，，因为，所以函数是偶函数，当时，函数是减函数，故有，函数是偶函数，所以图象关于纵轴对称，即当时有，，所以，综上所述；的取值范围是，故本题选D.【点睛】本题考查了已知方程解的情况求参数取值问题，正确分析函数的性质，是解题的关键.3、B【解析】

求得圆心到直线的距离，减去圆的半径，求得△ABP面积的最小时，三角形的高，由此求得△ABP面积的最小值.【详解】依题意设，故.圆的圆心为，半径为，所以圆上的点到直线的距离的最小值为（其中为圆心到直线的距离），所以△ABP面积的最小值为.故选：B【点睛】本小题主要考查圆上的点到直线的距离的最小值的求法，考查三角形面积的最值的求法，属于基础题.4、C【解析】

将三视图还原，即可求组合体体积【详解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为，利用张衡的结论可得故选C【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题5、C【解析】

利用平面向量加法和减法的运算，求得的线性表示.【详解】依题意，即，故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算，属于基础题.6、C【解析】

由且，列出方程，求得，，解得的值，即可求解．【详解】由题意，直线：，：，：，因为且，所以，且，解得，，所以．故选C．【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线的位置关系，列出方程求解的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．7、C【解析】由题意得：C=4，将（25，14），（35，19）代入f（x）=4+B（x﹣A），得：∴A=5，B=，故x=20时：f（20）=4+（20﹣5）=11.5.故选：C．点睛：这是函数的实际应用题型，根据题目中的条件和已知点得到分段函数的未知量的值，首先得到函数表达式，再根据题意让求自变量为20时的函数值，求出即可。实际应用题型，一般是先根据题意构建模型，列出表达式，根据条件求解问题即可。8、A【解析】试题分析：由斜二测画法的规则知与x'轴平行或重合的线段与x’轴平行或重合，其长度不变，与y轴平行或重合的线段与x’轴平行或重合，其长度变成原来的一半，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，观察四个选项，A选项符合题意．故应选A．考点：斜二测画法．点评：注意斜二测画法中线段长度的变化．9、B【解析】

由偶函数的性质可得出函数在区间上为减函数，由对数的性质可得出，由偶函数的性质得出，比较出、、的大小关系，再利用函数在区间上的单调性可得出、、的大小关系.【详解】，则函数为偶函数，函数在区间内单调递增，在该函数在区间上为减函数，，由换底公式得，由函数的性质可得，对数函数在上为增函数，则，指数函数为增函数，则，即，，因此，.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10、A【解析】

根据正弦和角公式化简得是正三角形，再将平面四边形OACB面积表示成的三角函数，利用三角函数求得最值.【详解】由已知得：即所以即又因为所以所以又因为所以是等边三角形.所以在中，由余弦定理得且因为平面四边形OACB面积为当时，有最大值，此时平面四边形OACB面积有最大值，故选A.【点睛】本题关键在于把所求面积表示成角的三角函数，属于难度题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

本题首先可确定在区间上所对应的的值，然后可结合正弦函数图像得出不等式的解集．【详解】当时，令，解得或，如图，绘出正弦函数图像，结合函数图像可知，当时，的解集为【点睛】本题考查三角函数不等式的解法，考查对正弦函数性质的理解，考查计算能力，体现了基础性，是简单题．12、【解析】试题分析：画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC的中点为O，连结ON，MN，OB，∴MNOB，∴MN0B是平行四边形，∴BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB==，在△ANO中，由余弦定理得：cos∠ANO===．故答案为．考点：异面直线及其所成的角．13、【解析】

根据向量加法的三角形法则逐步将待求的向量表示为已知向量.【详解】由向量的加法法则得：所以，所以故填：【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.14、【解析】

本题利用几何概型求解．先根据到点的距离等于1的点构成图象特征，求出其体积，最后利用体积比即可得点到点，的距离不大于1的概率；【详解】解：由题意可知，点P到点或的距离都不大于1的点组成的集合分别以、为球心，1为半径的两个半球，其体积为，又该圆柱的体积为，则所求概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查几何概型、圆柱和球的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．关键是明确满足题意的测度为体积比．15、【解析】

根据二倍角公式得出，再根据诱导公式即可得解．【详解】解：由题意知：故，即．故答案为.【点睛】本题考查了二倍角公式和诱导公式的应用，属于基础题．16、【解析】

由题意可得：该三棱锥的三条侧棱两两垂直，长都为，所以三棱锥的体积.考点：三棱锥的体积公式.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）平均数为（3）人【解析】

(1)根据面积之和为1列等式解得.(2)频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数,(3)先计算出各分数段上的成绩,再根据比值计算出相应分数段上的英语成绩人数相加即可.【详解】解：由,解得.频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数,即估计平均数为.由频率分布直方图可求出这名学生的数学成绩在,,的分别有人,人,人,按照表中给的比例,则英语成绩在,,的分别有人,人,人,所以英语成绩在的有人.【点睛】本题考查了频率分布直方图,属中档题.18、（1）（2）存在，最小值是．【解析】

（1）利用等比中项的性质列方程，将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得，由此求得数列的通项公式.（2）首先求得数列的前项和，由列不等式，解一元二次不等式求得的取值范围，由此求得的最小值.【详解】（1）设等差数列的公差为（），由题意得化简，得．因为，所以，解得所以，即数列的通项公式是（）．（2）由（1）可得．假设存在正整数，使得，即，即，解得或(舍)．所以所求的最小值是．【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前项和公式，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.19、（Ⅰ）（Ⅱ）10【解析】

解：（I）依题意得，即．当n≥2时，;当所以．（II）由（I）得，故=．因此，使得<成立的m必须满足，故满足要求的最小正整数m为10.20、(1)见证明；(2)见证明【解析】

（1）由中位线定理即可说明，由此证明平面；（2）首先证明平面，由线面垂直的性质即可证明【详解】证明：⑴因为在中，点，分别是，的中点所以又因平面,平面从而平面⑵因为点是的中点，且所以又因,平面,平面