天津市九校2024届高三年级下册联合模拟考试（一）数学试卷（含答案与解析）

2024年天津九校高三年级联合模拟考试（一）

数学

本试卷分为第I卷（选择题），第n卷（非选择题）两部分.试卷满分150分.考试时间120

分钟.

第I卷（本卷共9题，共45分）

参考公式：柱体的体积公式%体=幼，其中S表示柱体的底面积，入表示柱体的高.

一、选择题（本大题共9小题，每小题5分,共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1,已知全集U=H，°，L2,3},集合，={°」，2},吟则Q）田

A{-1}B.{04}

C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}

2.设。：x>0,q：2，>2，则。是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

y+3-x

3.函数/Xx）=二的图象大致是（）

A.25B.5

5.设a=logo,i0.2,b=e°3,c=203,则mb,c的大小关系是()

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

6.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120名高中生是否喜

好阅读，利用2x2列联表，由计算可得二=4.236.

p(z2>n0.1000.0500.010

k2.70638416.635

参照附表，可得正确的结论是（）

A.有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”

B.有99%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”

C.有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”

D.有99%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”

7.如图，在正四棱柱ABC。—A4GR中，尸是侧棱CG上一点，且C]P=2PC.设三棱锥尸一。1。3的

体积为匕，正四棱柱ABC。—44GR的体积为匕则，的值为（）

8.已知双曲线乌-5=1（。〉0力〉0）的左顶点与抛物线y=2"仙>0）的焦点的距离为4,过双曲线的

右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标（-2,2）,则双曲线的焦距为（）

A.V3B.2GC.V5D.2A/5

9.将函数〃x）=2sin2x-1的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的

图像，有下述四个结论:

①g(x)=2sin

②函数g(x)上单调递增

③点是函数g(x)图像的一个对称中心

④当xe-71,^-时，函数g(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是()

A①②③B.②③C.①③④D.②④

第II卷(本卷共11小题，共105分)

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给

3分，全部答对的给5分)

10.设z=----1-2/,则Iz|=.

1+z

11.已知的展开式中各项系数和为243,则展开式中常数项为.

12.圆£+;/—4x+4y—12=0与圆/+丁=4的公共弦所在的直线方程为.

13.某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一

件次品的概率为;取出的3件产品中次品的件数x的期望是.

14.在梯形A3CD中，ABHCD,且AB=2CD,M,N分别为线段。C和A3的中点，若AB=a,

AD=b，用〃，b表示MN=.若MNLBC，则NTMB余弦值的最小值为.

+尤|X<0

15.函数y(x)=「—，关于x的方程/(X)=◎有2个不相等的实数根，则实数a的取值范

[ln(x+l),x>0

围是.

三、解答题(本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.已知-ABC的内角A,3,C的对边分别为a,Z?,c,且方=3,c=1,A=23.

(1)求。的值;

(2)求cos12A+q的直

17.如图，边长为2的等边..PCD所在的平面垂直于矩形A2C£>所在的平面，BC=25M为BC的中

(1)证明：AMVPM-,

(2)求平面与平面A2CZ)的夹角的大小；

(3)求点O到平面AMP的距离.

18.己知｛4｝为等差数列,粕便将,记S"，7“分别为数列｛%｝,｛2｝前〃项和,

2a“，"为偶数

邑=32,4=16.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)证明：当〃>5时，Tn>Sn.

2

19.已知椭圆C：=+y=1(a>6>0)的长轴长为4,离心率为g.

ab2

(I)求椭圆。的方程；

(II)设椭圆。的左焦点为P，右顶点为G,过点G的直线与y轴正半轴交于点S,与椭圆交于点”,

且即J_x轴，过点S的另一直线与椭圆交于M,N两点，若SSMG=6SSHN，求直线"N的方程.

20.己知函数/(x)=xe。'—el

(1)当。=1时，讨论/(x)的单调性；

(2)当%>0时，/(x)<-1,求。的取值范围；

111।/八

(3)设〃£N*，证明：7+I0++/,〉皿〃+1)

VI+1v2+2+n

参考答案

一、选择题(本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的)

1.已知全集。={-L°，L2,3},集合人={。，1，2},B=则(M)C匹

A.{-1}B.{0,1}

C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}

【答案】A

【解析】

【分析】

本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

【详解】。储={—1,3},贝U(GX)B={-1}

故选：A

【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.

2.设P：x>0,q：2工>2，则p是q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C,充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】利用指数函数单调性化简命题4,再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】因函数y=2x在R上单调递增，即有2工>20%>1，则命题4：x>l,

而命题。：x>0,显然，q=P,且P4q,

所以P是4的必要不充分条件.

故选：B

V+3T

3.函数/(x)=:.的图象大致是()

【解析】

【分析】先判断函数/(x)是奇函数，排除A,c,再排除选项B,即得解.

3A，+3"x3~X+3X3"r+3X

【详解】解：因为f(x)=；，所以/(—X)=TF=----=-/(%).

X(-X)X

所以函数f(x)是奇函数，排除选项A,c.

932+3^241，，八34+3T81+3^656241匚匚”皿3.日不「

因m/(2)=——--=一，/(4)=——--=------=-----＞一=/(2),所以排除选项B.

233643646436

故选:D

a3b

4.已知2"=5,log83=b,则4-=()

255

A.25B.5C.—D.-

93

【答案】C

【解析】

【分析】根据指数式与对数式的互化，塞的运算性质以及对数的运算性质即可解出.

14a(2"『5225

【详解】因为2“=5,5=1隔3=11幅3,即2%=3,所以4""=*=上令=涓=3.

34(2%)39

故选：C.

5.设a=logo,i0.2,b=e°3,c=203,则mb,c的大小关系是()

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

【答案】C

【解析】

【分析】根据幕函数和指数函数的单调性比较判断.

【详解】：，=e°3>2°，3=c>l，0<«=log010.2<log010.1=l,：.b>c>a.

故选：C.

6.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120名高中生是否喜

好阅读，利用2x2列联表，由计算可得二=4.236.

p(z2>n0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

参照附表，可得正确的结论是（）

A.有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”

B.有99%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”

C.有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”

D.有99%把握认为“写作水平与喜好阅读无关”

【答案】A

【解析】

【分析】根据观测值对照卡方表判定即可.

【详解】由题意及表格知，观测值％2=4.236>3.841,所以有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”.

故选：A

7.如图，在正四棱柱ABC。—A4GR中，尸是侧棱CG上一点，且GP=2PC.设三棱锥尸一的

体积为匕，正四棱柱AB。—44GR的体积为匕则，的值为（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定的几何体，利用等体积法及锥体体积、柱体体积公式计算作答.

【详解】在正四棱柱ABC。—A4GR中，P是侧棱CG上一点，

3326

所以餐V的值为1二

y6

故选：c

22

8.已知双曲线彳一扫=1（。〉0］〉0）的左顶点与抛物线y2=2px（p>0）的焦点的距离为4,过双曲线的

右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标（-2,2）,则双曲线的焦距为（）

A.73B.2A/3C.后D.275

【答案】D

【解析】

【分析】首先根据过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标，求得。=2,接着

根据平行线斜率相等求出匕=1,最后求出焦距即可.

【详解】因为过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标（-2,2）,所以抛物线

的准线方程为1=—2,从而抛物线y?=2Px（p>0）的焦点坐标为（2,0）,

22

因为双曲线彳一£=1（。〉0］〉0）的左顶点为（一。，0），所以2+0=4,解得。=2,

22

所以双曲线［―］=1（。〉0］〉0）的左顶点为（2,0）,

又因为过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标(-2,2),

所以2=2=！，即匕=1,

a42

所以c=Va2+b1=小>

双曲线的焦距为2c=2

故选：D

bV2

【点睛】双曲线吞=l(a〉0]〉0)的渐近线方程为y=±-X,而双曲线二=>Q,b>0)

aa2

ah

的渐近线方程为y=±7%(即x=±—y),应注意其区别与联系.

ba

9.将函数/(x)=2sin12x-的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的

图像，有下述四个结论：

①g(x)=2sin

②函数g(x

"o]是函数g(x)图像的一个对称中心

④当xe-7t,^时，函数g(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是()

A.①②③B.②③C.①③④D.②④

【答案】B

【解析】

【分析】根据图象变换可得g(x)=2sin[x-m],结合正弦函数的性质逐项分析判断.

【详解】由题意可得：g(x)=2sinlx-11,故①错误；

［71\71(717117171

因XE］。；｝则％—5£［一，且V=5皿尤在［一丁q上单调递增,

所以函数g（x）在（0,会上单调递增，故②正确;

F，°）是函数g（x）图像的一个对称中心，故③正确;

所以点

,71~714兀兀

因t为工£一兀，77，则%一大^一~~，

_2J3|_36_

所以当x-；=-9,即x=F时，函数g（x）的最大值为g（-兀）=2sin[-7]=石，故④错误；

故选：B.

第n卷（本卷共u小题，共105分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给

3分，全部答对的给5分）

10.设z=---；+2z,贝U|z|=.

1+z

【答案】1.

【解析】

【详解】分析：首先求得复数Z,然后求解其模即可.

详解：由复数的运算法则有:

z=U+2，=(f)

+2i=—+2i=i,

1+i(1+0(1-02

则：|z|=M=l.

点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

11.已知[犬+之]的展开式中各项系数和为243,则展开式中常数项为

【答案】80

【解析】

【分析】根据题意，由各项系数之和可得九，再由二项式展开式的通项公式即可得到结果.

【详解】由题意，令x=l,则3"=243,解得〃=5,

贝11卜+会的展开式第r+1项=2rC；x15-5r，

令15—5r=0,解得r=3,所以C；=10x8=80.

故答案为：80

12.圆/+y2—轨+――12=0与圆好+丁=4的公共弦所在的直线方程为.

【答案】x-y+2=0

【解析】

【分析】两式相减，即可得到两圆公共弦所在的直线方程.

【详解】联立《,工,，两式相减得x—y+2=0.

x2+y2=4

故答案为：x-y+2=0

13.某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一

件次品的概率为;取出的3件产品中次品的件数x的期望是.

73

【答案】®.—-

【解析】

【分析】（1）先计算所有抽取产品的可能，再计算3件产品中且有一件次品的可能，用古典概型的概率计

算公式即可求得；

（2）先求得x的分布列，再求其期望即可.

【详解】（1）从10件产品中，抽取3件，有量=120种可能；

若取出的3件中恰有1件是次品，有C；=56种可能；

故满足题意的概率P=—=—.

12015

（2）根据题意，x=0,1,2,

72Cl567znCl-C\5670、81

P（x=0）===—；P（x=l）=-------==—；P（x=2）=--------==—，

''12012015\'12012015''12012015

故E（X）,+2=3.

v715155

73

故答案为：—；—.

【点睛】本题考查超几何分布中概率的计算，以及期望的求解，属中档题.

14.在梯形ABCD中，AB//CD,且AB=2CD,M,N分别为线段。C和AB的中点，若AB=a,

AD=b＞用a，b表示MN=•若MNLBC＞则NZMB余弦值的最小值为

【答案】①.-a-b②.述

43

【解析】

【分析】空（1）使用向量线性运算求解即可；

空（2）以4与人为基底，用数量积的形式表示出再由基本不等式求解即可.

夕夕©

///\

【详解】///\

///\

，/_________\

ANB

如图，由己知，MN=AN-AM=-AB-（AD+DM\=-AB-AD--DC

2''22

11111

=-AB-AD——x-AB=-AB-AD=-a-b.

22244

——1-,

.*•MN——a—b.

4

设NZM5=e,即〃与人的夹角为e,

B（j=BA+AD+DC=—AB+AD—AB=-AB+AD=—ci+b,

222

若MNLBC,则W-BC=0，

...%一“'2+%b42=_/+|同阵。5"仰2=0,

又W＞0,.♦.由基本不等式，

.cos”-川-显+吗〉2同咽—述

,6\^~6\b\6\a\~^6\b\6\a-3-

8

同HI।厂|I

当且仅当R=34,即。=20网时，等号成立.

6忖6同11

故答案为：一a—6,马但.

43

【点睛】关键点睛：解决本题第2空的关键，是用以为夹角的两个向量作为基底，将垂直关系转

化为数量积的形式，再借助基本不等式求解.

I工2+[XW0

15.函数y(x)=«/一，关于x的方程/(X)=◎有2个不相等的实数根，则实数a的取值范

[ln(x+l),x〉0

围是.

【答案】aV—1或0<〃<1

【解析】

【分析】转化为函数y=/(九)与直线尸衣的图象有2个交点，画出函数八％)的图象，分。=0、

。>0、.<0讨论，结合图象可得答案.

【详解】/(x)=◎有2个不相等实数根，即函数y=/(x)与直线丁="的图象有2个交点，

当。=0时，函数y=/(x)与直线y=0的图象有2个交点，符合题意；

当a>0时，由x=0是函数y=/(x)与直线产依的图象的1个交点，

只需函数/(x)=ln(x+l)(x>0)与直线户依有1个交点即可，

当直线丁=方与函数/(%)=111(%+1)(%>0)相切时，

设切点为(毛,%)，可得/'(毛)==7=。，且为Tn(%+1),y0=axQ,

可得a—l=lna，

因为y=x-l与y=lnx的图象只有1个交点(1,0),

可得〃=1是a—l=lna的解，

所以0<aWl时直线产衣与y=/(x)的图象有2个交点，符合题意;

y—I%?_|_

当a<0时，由/।,可得％2(/+2%+1一。2)=0,

y=ax

要使丁=/(力与'="的图象有2个交点，

只需X2+2x+l-a?=0在x<0只有——解即可，

可得0+0+1—〃<0，解得aw—1

综上所述，实数。的取值范围是aW-l或OWaWl.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是转化为函数y=/(x)与直线丁=依的图象交点个数问题，考查了

学生的抽象思维能力.

三、解答题(本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.已知4ABe的内角A5C的对边分别为。，4c,且b=3,。=1,74=23.

(1)求。的值；

(2)求cos[2A+的值.

【答案】(1)2百;

⑵S.

18

【解析】

【分析】⑴由A=23得sinA=sin2B,再利用正弦定理和余弦定理角化边即可求解；

(2)利用余弦定理可求cosA,从而可求sinA及cos2A、sin2A,结合两角和差的余弦公式进行求解即可.

【小问1详解】

由A=26，知sinA=sin25=2sin6cos3,

由正、余弦定理得o=2。•巴之~~—.

lac

2

,:b=3,c=lfa=12则〃=;

【小问2详解】

Z<〃+/—9+1—121

由t余弦定理得cosAA=-------------=-----------=——，

2bc63

*.*0<A<7i,sinA-A/1-COS2A-Jl—g=~~~~，

故sin2A=2sinAcosA=_4y,cos2A=2cos2A-l=~,

99

-“兀、c”兀.c”・兀4^2-7A/3

cos(2A+—)=cos2Acossin2Asm—=--------------.

66618

17.如图，边长为2的等边&PCD所在的平面垂直于矩形A2C£>所在的平面，BC=2肥，M为BC的中

点.

(1)证明：AMVPM-.

(2)求平面B4M与平面ABC。的夹角的大小;

(3)求点。到平面AMP的距离.

【答案】(1)证明见解析

（2）45

⑶也

3

【解析】

【分析】(1)以。为原点，ZM为x轴，。。为y轴，过。作平面A3CD的垂线为z轴，建立空间直角坐

标系，利用向量法能证明AM_LPM；

(2)求出平面A3CD的法向量和平面AR0的法向量，利用向量法能求出平面与平面A3CD夹角

的大小；

(3)求出平面APM的法向量，利用向量法能求出点。到平面AMP的距离.

【小问1详解】

证明：等边_PCD所在的平面垂直于矩形A8CD所在的平面，

以。点为原点，分别以直线DA,0c为x轴、y轴，过。作平面A8C。的垂线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，(其他建系方法按步骤给分)

依题意，可得D(0,0,0),P(0,l询,C(0,2,0),A(2V2,0,0),M(72,2,0)

PAf=(A/2,1,-A/3),AM=(-V2,2,0),

PMAM=(72,1,-73)-(-72,2,0)=0,

即PM±AM，，AM±PM；

【小问2详解】

解：设a=（尤，y,z）为平面的法向量,

n-PM=0fV2x+y-6z=0

则，即广，

n-AM-0[-V2x+2y=0

取y=l,得〃=（£1,6）,

取p=（0,0,1）,显然p为平面ABC。的一个法向量,

n-p_A/3_V2

二.cos团〃，夕团二

I川p|瓜2

故平面B4M与平面A8CO的夹角的大小为45;

【小问3详解】

解：设点D到平面AMP的距离为d,

即点D到平面AMP的距离为坡.

3

%-6,〃为奇数.）（.

18.已知｛4｝为等差数列，bn=<为偶数’2,（分别为数列包｝,也｝的前〃项和,

邑=32,4=16.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）证明：当〃>5时，Tn>Sn.

【答案】（1）。，=2〃+3；

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）设等差数列｛4｝的公差为d,用表示S“及T“，即可求解作答.

（2）方法1,利用（1）的结论求出S,,bn,再分奇偶结合分组求和法求出7“，并与S,作差比较作答；方

法2,利用（1）的结论求出S,,bn,再分奇偶借助等差数列前w项和公式求出7,，并与S”作差比较作答.

【小问1详解】

,、a”—6,n=2k—1

设等差数列｛%｝的公差为d,而a=；，左eN*,

则4=%—6,Z?2二2a2-2%+2d,。=。3一6=十+2d—6,

S4-4〃]+6d=32

于是4解得4=5,d=2,=4+(九一l)d=2〃+3,

入=4%+41-12=16

所以数列｛/｝的通项公式是4=2〃+3.

【小问2详解】

、」।、乙c〃(5+2〃+3)2)2n-3,n=2k-l

万法1：由(1)知，S=---------------=n-+4nb，左wN*,

H2n4-n+6,n=2k

当〃为偶数时，bn_x+bn=2(〃-1)—3+4〃+6=6〃+1,

_13+(6n+l)〃327

T=------------------=—n+—n,

〃2222

37i

22

当〃〉5时，Tn-Sn=(—n+—n)-(n+4n)=—n(n-l)>0,因此

3735

22

当九为奇数时，Tn=Tn+l-bll+1=-(n+l)+-(n+V)-[^n+V)+6]=-n+-n-5,

35i

22

当〃>5时，Tii-Sn=(-n+-n-5)-(n+4n)=-(n+2)(n-5)>0,因此北〉*,

所以当〃〉5时，Tn>Sn.

、」।jc〃(5+2〃+3)242n-3,n=2k-l

万法2：由(1)矢口，S=---------------=n'+4nb”*WN*,

n24n+6,n=2k

当〃为偶数时,

—1+2(〃一1)—3n14+4〃+6n

z,=Sl+4+…+优_])+(a+“+--.+〃)=---------------------------1----------------aJ,

222222

371

22HH

当〃〉5时，Tn-Sn=(-n+-n)-(n+4n)=-(-1)>0,因此

当〃为奇数时，若则

—1+2/—3)+114+45—1)+6n-1

=(4+4++勿)+(%+“++2T)=

22-22

3535

=—/+—〃—5,显然4=4=-1满足上式，因此当九为奇数时，T=-rr+-n-5,

22n22

351

22

当〃>5时，7；,-5„=(-H+-zi-5)-(n+4H)=-(H+2)(«-5)>0,因此北〉*,

所以当〃>5时，Tn>Sn.

2

Y

19.已知椭圆C：j+y=1（a>5>0）的长轴长为4,离心率为g.

2

a'b

（I）求椭圆。的方程;

（II）设椭圆C的左焦点为F，右顶点为G,过点G的直线与y轴正半轴交于点S,与椭圆交于点”,

且彼，x轴，过点S的另一直线与椭圆交于M,N两点，若SSMG=6SSHN，求直线"N的方程.

【答案】（I）—+—=1；（II）y—^-x+\>y---^-x+1•

4322

【解析】

【分析】（I）由椭圆的长轴长为4,离心率为列方程组，解得。，b,c,进而可得答案.

（II）由（I）知％H=-1,代入椭圆的方程可得进而可得“点坐标，HR的长，又由于

一=一,解得QS,进而可得S点坐标，推出——=—,分两种情况，当直线的斜率存在时，当

HFGFSG2

直线的斜率不存在时，讨论直线"N的方程，利用已知条件和三角形的面积公式，结合平面向量的

坐标分别求解即可得出答案.

2a=4

c1

【详解】（I）根据题意可得《一二7,

a2

〃2=+02

解得。=2,c=l,b=y/3，

22

所以椭圆。的方程为土+乙=1.

43

（II）由（I）知产（-1,0）,G（2,0）,

因为HF_Lx轴，所以芍=-1,

因为S在y轴的正半轴，所以H在x轴上方，

因为点H在椭圆上，所以■1+（'"）=1，解得

432

所以1,|）即打=9，

因为=-，即33，解得OS-1,

HFGF~

Hqi

所以S(0,1),所以=

SG2

当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为丁二辰+1,

设Af（4％）,N（9,%），

y=kx+1

联立炉产,（3+4左2）无2+8筋—8=0,

—+—=1

[43

8k-8

所以％+%2=---------7①，=------7②,

123+4左2123+4左2

因为S.SMG=6sSHN,

所以g•|SA4|SG|•sinZMSG=6-1|HS|-|5JV|•sinZHSN,

所以15MHsq=6|"SH&V|,所以设叫=3|初|,

所以邓=3SN，

所以（一国,1一%）=3（%,%—1），

即项=一3九2③，

由①②③，解得左=土逅，

2

所以直线的方程为y=R5x+l,y=—Y5x+1,

-22

当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x=0,

止匕时的=卓里=2+君，不合题意・

\SN\V3-1

综上可得，直线的方程