2024年新高考数学一轮复习-同角三角函数的基本关系及诱导公式

专题25同角三角函数的基本关系及诱导公式

一、【知识梳理】

【考纲要求】

sinx

1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2^+cos2^=l,---=tanx.

cosx

JI

2.能利用单位圆中的对称性推导出万土a,m土a的正弦、余弦、正切的诱导公式.

【考点预测】

1.同角三角函数的基本关系

⑴平方关系：sin-a+cos'a=1.

sinciAA

⑵商数关系：——-=tanaa#J亍I+E,k^l\.

cosa12J

2.三角函数的诱导公式

、.

公式—■二三四五八

2k八+JIJI

角JI+。—an一a1a

a(A-EZ)

正弦sina—sinQ—sinasinaCOSQcosa

余弦cosQ-cosaCOSQ—cosasinQ—sinQ

正切tanatana—tana—tana

口诀奇变偶不变，符号看象限

【常用结论】

1.同角三角函数关系式的常用变形

(sina+cosff)2=l±2sinacosa；sina=tana•cosa.

2.诱导公式的记忆口诀

JI

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指万的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名

称的变化.

3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

【方法技巧】

1.利用sir?a+cos2a=1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角a所在象限确定符号;

利用2^=tana可以实现角a的弦切互化.

COSQ

2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sina+cosa,sinacosa,sina—cosa

这三个式子，利用(sina+cos^)2=l±2sinacosa,可以知一求二.

3.注意公式逆用及变形应用：l=sina+cosa,sina=1—cosa,cosa=1—sina.

4.诱导公式的两个应用

①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.

②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.

5.含2兀整数倍的诱导公式的应用

由终边相同的角的关系可知，在计算含有2兀的整数倍的三角函数式中可直接将2兀的整数

倍去掉后再进行运算.如cos（5几一。）=cos（兀-4）=—cosa,

6.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵

活使用公式进行变形；注意角的范围对三角函数符号的影响.

二、【题型归类】

【题型一】“知一求二”问题

3

【典例1】已知。是第四象限角，且tan。=一?则sin。=()

3344

A.—rB.~C.~D.——

5555

■sina3

【解析】因为tana=-----7=一7

cosQ4

4

所以cosq=—§sin。①.

°9

sin2a+cos2a=1②，由①②得sin2a,又a是第四象限角，所以sin则sin

3

a=一三，故选A.

5

1

值

贝

的

•为

【典例2】已知。是三角形的内角，且tan。=3-S1n4

1

【解析】由tanQ=3-

得sina——~cosCL,且sin。＞0,cos。＜0,

将其代入sin2a+cos?。=1,得与cos?a=1,

3710

所以cosa—山.1"一巫]0'

10'

V10

故sina+cosa=—

5・

5

【典例3】已知cosa,贝!J13sina+5tana=.

5

【解析】Vcosa=-且cos。#一1,

・・・。是第二或第三象限角.

13，

_12

sina1312

••tana,

cosab5r

-13

…)(412

此时，13sina+5tana=13x1——I+5X—=0.

综上，13sina+5tana=0.

【题型二】sina,cosa的齐次式问题

【典例1］已知J；=T，求下列各式的值：

tanan<「7—1

sina—3cosa

⑴sina+cosa

(2)sin2a+sinacosa+2.

1

【解析】由已知得tan

sina—3cosatana—35

(1)

sina+cosatan。+13,

T|2+1

...,..sin2a+sinacosQtan2a+tana

(2)sin?a+sinocos2-;~2j2+2=:27~i+2=’

sina+cosatan。+1

If+1

13

2=一

5,

7

【典例2】已知sin9+cos,夕£（0,兀），则tan。=.

760

【解析】方法一由sin0+cos,得sin8cose

1u169,

因为3e(o,n),所以sin"0,cos。<0,

________________17

所以sin9—cos9=^1—2sin9cos0=—,

J.u

12

sin0+cos夕=E，sin

13,

联立，…解得<

5

sin0—cos9=77,cos0=

13,

所以tan0=——.

5

7

方法二因为sin。+cos^=—,

J.J

60

所以sin9cos0=—7777,

，是方程4金-^=。的两根，所以荀韦…

由根与系数的关系，知sin3,cos

5

13,

60

又sinGeos。=—TZ?7<°，。£(0，兀)，

169

所以sin"0,cos8<0.

125

所以sin,cos—

sin。_12

所以tan

cos95

60

方法三由sin9+cos0,得sin9cos9

LO169,

sinOcos°60

所以，

sin2+cos28169,

../口tan960

齐次化切，得十2—1=FH，

tan〃士1169

BP60tan2^+169tan。+60=0,

195

解得tan0=--或tan0=——

512

,、760

又夕£(0,JE),sin0+cos0=—>0,sin夕cos0<0,

1o169

r313兀、12

所以3eCT，所以tan3=——,

1

asina—3cosa

【典例3］已知tan-2-；sin2a+sinacos4+2

sina+cosa

【解析】已知tana=-,

sina-3cosa_tana-3_5

'sina+cosatan。+13'

sin2a+sinacosa+2

.2I.

sin〃+sin&cos七

sin2a+cos2a

tai?Q+tana

tan2。+1

2

【题型三】sina土cosa,sinacosa之间的关系

【典例1】已知。金(一兀，0),sina+cos。

5

(1)求sina—cosa的值；

/\_^sin2a+2sin2a

⑵求——~~-的值.

1—tana

【解析】⑴由sina+cosa=-,

5

平方得sin%+2sin<2cosa+cos2a=—,

24

整理得2sinacosa=——

25

49

所以(sinci-cosa)2=l—2sinacos=25,

由ae(—JI,0),知sina<0,又sina+cosa>0,

所以cosq>0,则sina—cos〃<0,

痂・7

故sina—cosa=——

sin2Q+2sin2a2sina(cosa+sina)

1—tanasina

1-------

cosa

241

-25X5

2sincicosa(cosa+sina)24

cosQ—sina-7-：175,

5

3

【典例2】已知tana贝|sina(sinQ-COSa)

2125

A-25B•五

45

C-5Dq

s.m2a—s•macosa

【解析】sina(sina—cosa)=sin2a—sinacosa

sin2a+cos2a

tan2a—tana

1,将tana

tan2。+1

故选A.

【题型四】诱导公式

JI1y+。卜勺值为（

【典例1］已知sina——则cos|

4*

芈

B

11

cD

3-3-

故选D.

tan(—a)cos(2n—a)sin|

【典例2】的值为（

cos(—q—兀)sin(—兀—0)

A.-2B.-1C.1D.2

・-tana•cosQ•(—cos。)

【解析】原式=cos(n+

q)•[—sin(n+a)]

tanQ•cos2Q

—cosQ•sina

sinacosa

——------•-:-----=-1.

cosQsmQ

故选B.

【典例3】已知函数/■（x）=ai+2（a>0且aWl）的图象过定点尸，且角。的始边与x轴的

<11Ji)<9JI,

cosl-QIsinla+sin2Q

正半轴重合，终边过点尸，则一一—•等于（)

cosl-+alsin(—Tl一Q)

2

A.—B.

o3

33

C，D.

22

【解析】易知函数f（x）=尸+2（苏0且aWl）的图象过定点P（2,3），

3

故tana=~,则

JTA

y+alsin(—JI—a)

cos^~+a)sina

—sinacosa+2sinacosa

—sin〃sina

COSQ

sina

1_____2

tana3,

故选B.

【题型五】基本关系式与诱导公式的综合应用

【典例1］已知。为锐角，且2tan（兀一a）—3cos^y+£）+5=0,tan（兀+a）+6sin（兀

+£）—1=0,则sina的值是（）

1

C-

D.3

【解析】由已知可得一2tana+3sin£+5=0,tana—6sin£一1=0,解得tana=

3,又a为锐角，故sina

故选C.

【典例2］已知a是第三象限角，且A。）=

sin（一。­兀）cos（5兀­。）tan（2兀一a）

cos^~-a）tan（—a-兀）

①化简广（。）;

②若tan（兀一。）=—2,求fO）的值；

③若。=—420°,求/V）的值.

【解析】①由题可得，

/、sin（一。—冗）cos（5兀­。）tan（2兀­。）

sina(—cosa)(—tana)

=-------:-----7—;------7-------=-cosa.

sina(—tana)

②因为tan(兀一。)=一2,所以tana=2.

所以sina=2cosa.

所以(2cosaV+cos?。=1.所以cos2a=：.

因为。是第三象限角，所以cosa=一害,

5

所以f(a)=4

5

③因为cos(—420°)=cos420°=cos60°=；,

1

所以_f(a)=—cosa2-

【典例3]已矢口tan(—2019兀+。)=-2,贝!]24sin(。一豆Jsin(。+7)=()

XAi•—乙2JD•।—

B5

2市+33

C.V匚-D.~

55

【解析】因为tan（—2019n+。）=—2,

所以tan夕=—2.

贝lj2/sin(夕一Ssin(

=N^sin—cos9)(sin9+cos夕)

=/sin2。一cos?。+(镉—1)sinOcos0

cos?。+(\[^一1)sin9cos8

sin20+cos20

<\Z^tar?e—l+-tanJ

tan2夕+1

4+1

芈里故选B.

三、【培优训练】

【训练一】已知&为第二象限角，则cos<2-^1+tan2a+sin

/sin2ci+cos2ci/sin2a+cos2a1

【解析】原式=cos/-------2------+sin<7A/------------=cosa-\------

\lcosQsina\cosa

]

sinQ|sina|，

因为。是第二象限角，

所以sina>0,cosa<0,

所以cosffK^r^+sin°扇彳=—1+1=°'即原式等于0・

【训练二】如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一

个大正方形，若直角三角形中较小的内角为9,大正方形的面积是1,

小正方形的面积是白，则sin2夕一COS，9的值是.

【解析】由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos明

短直角边为sin小正方形的边长为cos。-sin0,

•・•小正方形的面积是二，工（cos夕一sin夕）2=白,

・・•。为直角三角形中较小的锐角,

1

夕--

cosJ>sin8，AcosJ0L

又,:(cos—sin^)2=1—2sin。cos

24c八49

.*.2sin®cos0=~,/.l+2sin9cos,

zLu乙0

497

即(cos'+sin夕)2=赤，...cos"+sin

7

；・sir?9——cos?8=(cos9+sin9)(sin0—cos0)=

【训练三】（多选）已知小。弓,则下列说法正确的是（

)

A./的最小值为一十

B./<a）的最小值为一1

C.『（a）的最大值为十一1

D./的最大值为1—4

【解析】设t=sina+cosa=^2sinfa+~

JI

由OWqW万,

JIji3兀

得La+y<—,

则IWtW小,

又由(sina+coso)2=

得2sinacos

2

所以f（。）=g（t）=t+1^1-7+T,

9

又因为函数尸七一1和尸一干在［1,上单调递增，

O

所以g（t）=t—1—E在［1,短］上单调递增，

g（力min=g（l）=一L

g（力max=g（镜）=l—y［2.

【训练四】已知关于x的方程2/一（4+l）x+/=0的两根分别是sin9和cos。,

。£（0,2兀），求：

⑴.s『-7+夕的值;

sinc/—cosu13—t?an〃

（2）%的值;

⑶方程的两根及此时夕的值.

•2Q

【解析】⑴原式=sinUcose

sin9

cos。

sin28____+cos29

sin0-cos°cos。-sin8

sin2°—cos29

sin0-cos°

=sin9+cos0,

由已知得sin3+cos

而risi.夕cos8_m+1

sin0—cos°1—tan92,

(2)由已知得sin8cos9=%

因为l+2sin®cos0=(sin8+cos

-cos好早,

sin

(3)联立＜

夕cos夕=净，

sin

解得q

1

COS夕=~

sm

或＜

cos

JIJI

因为"0,2"),所以"后或干

【训练五】已知sina=l—sin(5+£),求sin'q+sinK■一£)+1的取值范围.

【解析】因为sin。=1—sin(~^+£)=1—cosB,

所以cos£=1—sina.因为一IWcos£W1,

所以一1W1—sinaWl,0Wsin

又一IWsin所以sinae[0,1].

所以sin2a+sinf~~-7^j+l=sin2a+cos^+l=sin2a—sina+2=fsin

*(*)

又sinae[0,1],所以当sin•时，（*）式取得最小值（；当sin。=1或sina=0

7

时，（*）式取得最大值2,故所求取值范围为72

【训练六】在中，

⑴求证：cos2^y^+cos2亨=1；

⑵若cos^^+^sin^-^-+^tan（C~兀）＜0,

求证：△/能为钝角三角形.

【解析】（1）在中，A+B=Ji-a

A+B兀C

所以于=5

2f

2什BC

所以cos---十cos2-=1.

⑵若cosf^+jsinS^-(61—兀)<0,

所以(-sinA)(—cosB)tanC<0,

即sinAcos仇anC<0.

因为在△/酸中，0</<兀，0<^<n,0<6<兀且sinJ>0,

[cosB<0,[cos皮>0,

所以或

[tan00[tanCV0,

所以6为钝角或。为钝角，所以△/阿为钝角三角形.

四、【强化测试】

【单选题】

_3

1.已知。£(0,n)，cosa=-则tan。=()

0

3

AB.

-44

44

C，3D.

3

【解析】,•'cos。=一鼻且aG(0,冗)，.\sina=^/l—cos2a=­,

OD

sina4

・・tana=------%故选D.

cosao

2.已知sin(°-1JI\

，则a+瓦）的值是（)

3COS

11

A.一§B-3

C述

D.

33

_11

..cos=cosy+

=53

故选A.

3.logfcos号)的值为(

2)

1

A.-1B--2

1

c,5

4.故选B.

【解析】log2

2

(JC

4.若sin15+ag3,且Lae/(万n，n)，则sin(n—2a)=()

2412

AA--25B.

25

1224

C-25D-25

【解析】Vsinfy+a34

=cosa，Asina=-,・\sin(冗—2a)=

g3o

4一||故选A.

sin2a=2sinacosa=2XTX

b

1+cosa

5.若・—2,则cosa—3sina=()

sina

A.-3B.3

99

C.D，

55

1~Heosa

【解析】•/--：------=2,Acosci=2sina—1,又sin?a+cos?a=1,

sina

Asin2a+(2sina—1)2=1,5sin2a—4sina=0,解得sin。=春或sina=0(舍去),

9

cosa—3sina=-sina—1=一三故选C.

□

C--3

=cos段+("3]=1.故选A.

【解析】

u

_21

7'已知sin2。=§,贝l|tan。+高()

B.^2

C.3D.2

1sina,cosa1

【解析】tana-\sin2ff=2=3,故选C，

tanacosasinasinacosa

3

8.已知aGR,sina+2cosa=半^,则tan2。=

)

43

A

3-B.4-

4

C--4D.

3

3^/10

sin

【解析】因为sina+2cosa=^^,sin2a+cos2a=1一10：

解得，

cos

一10

10

3710

10,

,­12tana2X33_2tana

所以tana=3或一亍所以tan2a=20=匚手=一疝或tan2a=2「

%.故选c.

【多选题】

9.在中，下列结论正确的是()

A.sin(Z+0=sinC

D-B+CA

D.sin---=cos~

C.tan(A+&=—tan《今日

D.cos=cosC

【解析】在勿中，有4+6+C=",

则sinC4+而=sin(兀一。=sinC,A正确.

,B+C।兀AA

sin---=sin|正确.

22cos2B

tan(/+③=tan(兀-0=—tan<今

C正确.

cos(Z+E)=cos(兀-0=—cosC,D错误.

故选ABC.

ff+cosff4则()

10.已知。£（0,兀），且sin

Jl

A.—<

12

B.sincicosa=­

25

7

C.cosa-sin°=5

7

D.cosa—sin"=一匚

【解析】：sina+cos0=匚，

等式两边平方得

,21

(sina+cosa)=l+2sinaC0S°=25f

12

解得sinacosa=故B正确;

_/\12

Vae(0,兀)，sin〃cosa=——<0,

W已，口)故A正确；

cosa-sina<0,

且(cosa-sin—2sin〃cosa

7

解得cosa—sina故D正确.

5

故选ABD.

11.已知角。满足sin-cosaWO,则表达式$1一°+«口)+。。$(a)(4.7)的取

sinQcosa

值可能为()

A.l2B.—1或1

C.2D.—2或2或0

—91nQ—enQCL

【解析】当左为奇数时，原式=〃+〃=(—1)+(—1)=—2；

smQcosa

sinQcosQ

当A为偶数时，原式+

sinacosa

・••原表达式的取值可能为-2或2.

故选AC.

4

12.若sin6/=-,且。为锐角，则下列选项中正确的有（）

5

4

A.tanQ=—

0

3

B.cosa=—

5

C.sina+cosa=—

5

1

1

-

L

D.sina—cosa=0

4

【解析】「sin。技，且.为锐角,

cosa=，1—sin2a=一g2='故B正确，

4

sina54,乙一»

.**tanQ—故A正确,

cos。33

5

4378

.,.sina+cosa=~+-=-7^-,故C错误，

5555

4311

Asina—cosa故D错误.

5555

故选AB.

【填空题】

1

sin（兀—。）+cos（9—2兀）则t

13.若2-an-

sin9+cos（兀+。）

sin（兀-0）+cos（。―2兀）sin0+cos91

【解析】因为

sin0+cos（n+。）sin8-cos8亍

所以2（sin0+cos9）=sin9—cos9,

所以sin0=-3cos°,所以tan。=-3.

14.若tana=—2,贝Ucos2a+2sin2a

cos2a+2sin2a

【解析】原式=

cos2a十Isi-n2a

cos2a+4sinacosa

cos':a+sin2a

l+4tana1—87

1+tan2a-1+「-5,

JI1则coTa'in%的值为

15.已知一E<aV0,sina+cosa-

11

【解析】由题意，因为sina+cosa=,所以l+2sinacos

50=加

24

所以2sinacosa,

49

所以（cosci—sinq）2=l—2sin°cosa,

25

JI

又因为一万V4VO,所以sina<0,cosa>0,

7

所以cosa—sina

5

所以costalsir?。

125

（cosa+sina）（cosa—sina）7

16.已知。是第四象限角，且sinQ+V=|,贝ljtan(«—•.

【解析】由题意，得cosQ+S=(,

•••tanQ+p)=|.

(JI\(JiJIA

.'.tanl。一丁尸tan1

14

tanQ+宁)"

【解答题】

17.(1)已知cosa是方程3x—x—2=0的根，且a是第三象限角，求

।3吟(3兀।)2

a4-Icosl-+aItan(兀一

一的值;

cosf-1-+ff--a

(2)已知sinx+cosx=一忘(0〈/兀)，求cos2sinx的值.

J.o

9

【解析】(1)因为方程3f—x—2=0的根为xi=LX2=—不

2

又。是第三象限角，所以

cosa=31

坐tana*.

所以sina

uuirs#—cosaSi•n"t,an2a5

所以原式二------：~；----；—t,an2

—sinacosaa=]

7

(2)Vsinx+cosx=——(0<x<,

.'.cosx<0,sinx>0,BPsinx——cosx>0,

7

才巴sinx+cosx=一百，

49

两边平方得l+2sinxcos了=丽,

目n120

即2sinxcosx=-7777,

169

289

(sinx-cosx)21—2sinxcos

169

.17

即Bnsinx—cos,

sinx+cosx=一记,

联立17

sinx-cosx=—,

解得sinx=—,cosx；

22

.'.cosA-2sinx=—-.

LO

18.已知角a的终边经过点户（30，WO）.

sin(a+JI)+cos(a—n)

⑴求的值;

sin1a+vj+2cosfa—y

（2）若。是第二象限角，求sin［。+与-）+sin（无一a）cos。-cos£~+的值.

【解析】⑴°；m#0,cosaWO,

sin(a+兀)+cos(a一n)

即・

sin(a+-j+2cos|

—sin。一cosa

cosCL+2sina

—tana

l+2tana,

又・・•角。的终边经过点尸(3加一64EW0),

—6777

tana=——=