陕西省菁师联盟2024届高三年级下册5月高考适应性考试理科数学试卷(含答案)

理科数学

考试满分：150分考试时间：120分钟

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签

字笔写在答题卡上。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.复数一匚+（1-i）2的虚部为（）

1-i

3n3.「-2D.」

A.—B.—iC.

2

={x|lnx>0},则图中阴影部分表示的集合为()

A.{x|x<l}B.C.{x[0<x<l}D.1x|0<x<1}

3.已知两个向量4=（2,—1）,b=^y/3,nij,且则加的值为（）

A.±1B.±&C.±2D.±273

4.已知厂为抛物线C：/=2px(p>0)的焦点，第一象限的点4(9")在抛物线上，且AF=10,则/=()

A.1B.3C.6D.9

5.已知等差数列{4}的公差为d,前“项和为S”，且a2”=2%+10(“eN*),品=$6,则d的值为()

,2020,

A.1B.—C：—D.—1

1921

6.已知函数/(x)=e*—er+加，若〃〃)=1,M,其中〃为‘^+tan2%的最小值，则用的

值为()

A.2B.3C.4D.5

1

7.已知函数/（x）=2cos.cos［x—；J,则y=/（x）的图象（）

2冗5冗

A.关于直线》=三对称B.关于直线％=三对称

36

C.关于［丘■,［中心对称D.关于［-历,。］中心对称

22

8.已知双曲线C：5一当=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为耳，F,,以耳心为直径的圆在第一

a"1）一

4

象限与双曲线C交于一点P,且月的面积为4,若双曲线上一点到两条渐近线的距离之积为一，则该

双曲线的离心率为（）

A.2A/2B.C.D.V2

9.函数“九）=，匚£+房的最大值为（）

A.1B.72C.A/3D.2

10.已知如图所示的几何体中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧面A&GC是正方形，平面A41G。，平

1

面ABC,。为棱CG上一点，8=，且5耳=3CD,则与。与平面A&GC所成角的正弦值为（）

V3A/10275A/15

A.----B.-----C.------D.-----

5555

sinB强二L则八45。面积

11.在38。中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,已知。=6,

sinAb

的最大值为()

1921

A.——B.——C.12D.15

22

12.当x>0时，/工标―21nx2ax+l恒成立，则实数。最大值为（)

44

A.-B.4C.—D.8

ee

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

2

13.各位数字之积为8的三位数的个数为.

14.已知实数x,y满足约束条件1,则由可行域围成区域的面积为________.

-4<2%-y<4

15.如图，正三棱锥O—ABC的三条侧棱Q4,OB,0C两两垂直，且侧棱长。4=08=OC=也，以

点。为球心作一个半径为友的球，则该球被平面ABC所截的圆面面积为.

3

16.已知数列｛4｝的前几项和为S“，且S“=2a〃—2,则数列｛"a/的几项和7；=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）某公司新研发了一款智能灯，此灯有拍照搜题功能，学生遇到疑难问题，通过拍照搜题后，会在

显示屏上显示该题的解答过程以及该题考查的知识点与相应的解题方法，该产品投入市场三个月后，公司对部

分用户做了调研：抽取了200位使用者，每人填写一份评分表（满分为100分）.现从200份评分表中，随机

抽取40份（其中男、女使用者的评分表各20份）作为样本，经统计得到如下的数据：

女生使用者评分:67,71,72,75,80,83,83,83,84,84,85,86,88,90,90,91,92,92,92,92

男生使用者评分：67,68,69,69,70,72,72,73,74,75,76,76,77,78,79,82,84,84,89,92

记该样本的中位数为河，按评分情况将使用者对该智能灯的态度分为两种类型：评分不小于M的称为“满

意型”，其余的都称为“不满意型”.

（1）求M的值，填写如下2X2列联表，并判断能否有99%的把握认为满意与性别有关？

女生评分男生评分合计

“满意型”人数

“不满意型”人数

合计

（2）为了改进服务，公司对不大于（"-10）的评分定义为“极不满意型”，并对该类型使用者进行了回访,

根据回访意见改进后，再从“极不满意型”使用者中随机抽取3人进行第二次调查，记这3人中的女生使用者

人数为X,求X的分布列和数学期望.

3

n^ad-bc^

参考公式与数据：K2=-

Q+b)(c+d)(a+c)(0+d)

P(K2H0.10.050.0250.01

k02.7063.8415.0246.635

i——II

18.(12分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知。=4,b=2,CA・C3=—.点

2

r)在线段AB上，且CD平分NACfi.

CAAD

(1)求证:

CB—DB

(2)求CO的长度.

19.(12分)在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD,A3,平面？AO,

AB=AD=PD=2,CD=3,E为？8的中点.

(1)求证：取面？平面CDE；

(2)若R4=2,求二面角P—CE—D的余弦值.

20.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点A|l,

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设椭圆C上一动点加(机力，从原点。向圆M：(%-m)2+(y-n)2=r2(O<r<l),设两条切线的

斜率分别为左1，左2(左左2。°)，是否存在实数广，使得火色为定值，若存在，求出「值，若不存在，请说明理

由.

21.(12分)已知函数/(%)=2x-xln%.

(1)求曲线y=在x=e2处的切线方程;

4

2

(2)若/(%)=/(%,),且X<々.求证：X1+x2<e.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

22.在平面直角坐标系中，已知直线/的参数方程为-2+'C为参数，左为常数)，以坐标原点。为

、y=kt

极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系；圆C的极坐标方程为：夕4夕cos9-4=0.

(1)求直线/恒过的定点的坐标，以及圆C在平面直角坐标系下的标准方程；

(2)若直线/与圆C交于A,8两点，且八钻。为等腰直角三角形，求左的值.

［选修4-5：不等式选讲］(10分)

23.已知函数/(%)=,一切|

(1)当加=2时，求不等式“同25的解集；

(2)若/(x)N2加恒成立，求机的取值范围.

理科数学参考答案

1.【答案】C

ii(l+i7)i-111/、。

［解析］——=z=—=+-i,(1-iV=-2i

1-i(l-i)(l+i)222v7

io1113

所以复数一L+(l—i)=_±+±i—2i---i.故选C.

1-iv72222

2.【答案】D

【解析】由条件可得A={x|0<x<2},3={才%>1},则A3={x［l<x<2},所以图中阴影部分为

6(AB)={x|0<x<l).故选D.

3.【答案】B

【解析】由(a+b),(a—沙)，得(a+b)・(a—人)=0,即所以同=忖，所以根=土故选B.

4.【答案】C

【解析】由AE=10,得点4(91)到抛物线准线的距离为10,故^=10—9=1,°=2,将点4(9")代入

抛物线方程得r=4x9=36.因为点4(9,。在第一象限，所以f=6.故选C.

5.【答案】A

5

【解析】因为的“=2a”+10（"eN*）,令”=1,则2=2%+10,所以％+d=2。］+10,故％=d-10.因

为S13=S6，所以S13-S6=0,即%+。8+。9+。1（）+知+62+&=0，由等差数列的性质可得

%+%3=。8+卬2=佝+%i=2。1（）,所以即勾+9d=0,解得d=l.故选A.

6.【答案】A

【解析】由条件得了（—力=0—e*+m,故/（x）+/（—》）=2相,

所以/(a)+/(-a)=2m=1+M,

又

.2•22•22•2

1I21Isinxsinx+cos%sinx,cosxsinx

—•T/—+tan-x=-•T/—+———/=-----•-；/------+——厂/=1+——•—7+——厂/

sinxsinxcosxsinxcosxsinxcosx

2•22•2

J虫fx里?=3,当且仅当骼土='?，即tan%=±l时，M=3,即机=2.故选A.

sinxcosxsinxcosx

7.【答案】A

【解析】

122.•

/(x)=2cosx-coso

2cos%•”—cosxd--2-sinx=21—2cos--2-sin%cos%

l+2x-COS2XH---sin2x

11+cos2xA/31.c'1+cos2X+A/3sin2x122

-x---------1---x—sin2x

222222

1+2cos2x—/、

I3)「。兀)1

2I32

由2x—m=E(keZ),得y=/(x)的图象关于x=：+£(左eZ)对称

由2x—1E（左eZ）,得y=/（%）的图象的对称中心为

显然左=1时，直线x=g为函数y=/（x）图象的一条对称轴.故选A.

8.【答案】B

【解析】设|助|=加，归闾=〃，则由定义可得.―〃|=2a,即加+〃2—2加〃=4a2,

又因为耳身为直径，所以耳尸P,得加2+”2=4,2,

6

因为△尸石工的面积为4,所以一加〃二4,即加〃=8

由以上三式可得。2=4+4,即/=4,b=2.

设双曲线上一点”(七,%)，

则点M到渐近线y=-x的距离为坨^，

ayja2+b2

点M到另一条渐近线y=--x的距离1-：0+4回,故距离之积为'?一♦%L±,

ayla2+b2a-+b-5

222i2A

因为N—甘=1,即〃片所以q=_;

ab"a+b^5

又b=2,所以a=l,c=y/5,故离心率为百.故选B.

9.【答案】D

【解析】函数=+用的定义域为[0,1],令a=J匚工，b=显,则/+g=i(0<a<L

0<&<A/3),设。=51118,b=\/3cos0^Q<0<,可得a+6=2sin[e+m],当6=器时，a+b有

最大值为2.所以函数/(%)=，-+A的最大值为2.故选D.

10.【答案】D

【解析】因为平面A&GC是正方形，所以4&LAC.

因为平面AAGC，平面ABC,平面A&GC平面ABC=AC,所以A4_L平面ABC.

取AC的中点为M,4G的中点为N，如图所示，连结MN,BM,NB、,则MN〃AA〃CG.

因为邸fu平面ABC,所以MNIBM.

因为底面ABC是等边三角形，所以

因为BMLMN,MNAC=M,所以，平面441G。.

因为BB]=3CD,所以5B]〃CD,BB1//CQ,所以BBJ/MN,即8、M,N、用四点共面.

因为BMu平面BMNBl,所以平面BMNB11平面A41GC,

过点耳作gHLMN交MN于点“，连结DH,则因为平面BMNg平面

7

所以用H，平面A&GC,故NBQH就是B】D与平面A^QC所成角,

由题中边长关系可得48=2如，0)=1,=3,所以4。=2君，所以sin/8|OH=|^=^.故

选D.

11.【答案】C

【解析】由吧0=强心，得2=效二2,即0—2a)(〃+3a)=0.因为Z?+3a>0,所以Z?=2a即

sinAbab'八)

CA=2CB；由c=6得AB=6.以线段AB中点为坐标原点，直线A3为x轴建立平面直角坐标系.则

4(—3,0),5(3,0),又设C(x,y),所以J(x+3.+(y=2而_3]+(y-0)?,化简得

(x-5)2+r=16.所以点C轨迹是以(5,0)为圆心，4为半径的圆(不包括和X轴的两个交点).故ZkABC

的面积最大为工义6x4=12.故选C.

2

12.【答案】B

x2-e4x-21nx-l

【解析】因为1>0,由f-21nx之依+1,得aV

x

人，(\x2e4x-21nx-le21nx+4x-21nx-l人

令/⑺=----------------=-----------------(z%>0)

xJC

,.1/曰2in%+4x、ciA1匚匕r、ir(、、21nx+4JV+1—21nx—I

由e%'21+1,得emx+以Z21nx+4x+l,所以----------------------=4.

当且仅当21nx+4x=0时，取“=”，

此时lnx=—2九，由y=ln尤与y=-2x图象可知三不使In/=-2%)，此时/(力皿册二人

所以。<4,即。有最大值为4.故选B.

13.【答案】10

【解析】满足题意的三位数有：118,181,811,124,142,214,241,222,412,421.共10个.故答案为

10.

14.【答案】8

【解析】在直角坐标系中作出其可行域，如图，则但典=也2+42=2",

8

8-44

且2x+y=4与2x+y=8之间的距离为L

A/4+T75

所以围成的图形面积为

2«xA=8.故答案为8.

【解析】此正三棱锥可看作一个正方体的墙角，过点。作00］，平面ABC于点。一则。。|为正方体体对角

线的;，所以逅.作ODLAB交A3于点。，则8=1,因为球的半径2叵＞1,故以0为球心

33

的球被平面ABC所截的圆面如图所示，其中0E=。尸=0G=0M=0N=0T=¥，因为。已，平面

ABC,所以OIE=4OE2—OO；=,,故所求截面的面积为兀义。］石2271...27r

—.故答案为—.

33

16.【答案】2,1+1(n2-2n+3)-6

【解析】Sn=2an-2,得5用=2。用—2,

所以S“+i-Sn=2an+l-2an,化简得an+l=2an,所以数列｛«„｝是等比数列,且公比q=2,

又当〃=1时，$=2%—2得4=2,所以a"=a©T=2x2'i=2".

9

2222223

^Tn=lxai+2xa2+=1X21+2X2+3X2++/义2",①

把①X2,得：27；=12X22+22X23+32X24++n~x2n+1,②

①—②，得：一%=Fx2i+3x22+5x23+7x24++（2«-l）x2n-«2x2n+1,③

③X2,得：—27；=Fx2?+3x23+5x24+7x25++（2ra-l）x2/,+1-T?2x2n+2,④

③一④，得：7；=l2x21+2x22+2x23+2x24+2x25+.+2x2n-«2x2n+1-（2w-1）x2n+1+w2x2,8+2

=2（2'+22+23+24+25++2"）—2—"*2,,+1-（2n-l）x2,,+1+n2x2n+2

2（1-2"）,、

=2x-y^-^-2-（2«-l）x2,i+1+n2x2n+l=4x（2n-l）-2-（2n-l）x2,i+1+n2x2?I+1

=2n+2-（2n-l）x2"i+"2x2'"i—6=2"+1（n2-2H+3）-6

故答案为2〃+3）—6.

17.【答案】解：⑴将40份评分按从小到大的顺序排列,67,67,68,69,69,70,71,72,72,72,

73,74,75,75,76,76,77,78,79,80,82,83,83,83,84,84,84,84,85,86,88,89,90,90,

91,92,92,92,92,92,

中位数是第20个数80与第21个数82的平均值，所以中位数等于吧±=81,所以M=81,

2

女生男生合计

“满意型”人数15520

“不满意型”人数51520

合计202040

,40x（15x15-5x5）-

K2=——-------------------=10>6,635

20x20x20x20

所以有99%的把握认为满意与性别有关.

（2）“极不满意型”共7人，其中男生5人，女生2人，

故X的所有可能的取值为0,1,2

且P（X=。）至「3手尸（X=l）=罟44尸（X=2）=冷c'C2;1

故X的分布列为

X012

24

P

777

10

所以X的数学期望石(x)=—xO+—xl+—x2=—.

7777

18.【答案】⑴证明:

CA

在八4。中,

sinZADCsinNACD

CBDB

在△5CD中,

smZBDC-sinZBCD

因为NADC+ZBDC=7i,所以sinNADC=sin/BDC；

又因为CD平分NACfi,所以sinNACO=sin/BCD,.

CAAD

①・②得:

~CBDB

(2)解：由=得|04,金卜05/4。3=万,

BP2x4xcosZACB-一，得cosZAC3=一

216

在AABC中，AB2=a2+Z?2-2aZ?-cosZACB=42+22-2x4x2x—=9

所以AB=3,即AD+DB=3

2CAADADb2I,

由(1)得J=一,即一=-=-=所以AD=1,DB=2

CBDBDBa42

“b1+c2-a222+32-421

又cosA=--------------

2bc-2x2x3-4’

所以在AADC中，cr>2=A£)2+AC2—2AD・AC.cosA=F+22—2xlx2x1—(]=6,BPCD=76

19.【答案】(1)证明：取丛的中点为M,连结DM,ME,如图所示，因为AD=?D,所以DAf_LK4

因为A3,平面B4。，£>Mu平面？AD,所以

因为M,E分别为中点，所以"石〃A5,

由底面ABCD为梯形，AB//CD,所以加石〃CD,

所以M,E,C,。四点共面.

因为DM±AB,PAAB=A,PA,ABu平面PA3,所以DM,平面？A3.

因为DMu平面CDE,所以平面CDS,平面石钻，即平面K461,平面CDE.

(2)解：由血=2可知/\24。是等边三角形，

取AO的中点为。，连结OP,则OPLAD,取BC的中点为尸，连结。尸，

因为A3,平面B4。，ABu平面ABCD,所以平面Q4O,平面ABCD,

11

因为平面PA。）平面ABCD=AD,OPLAD,所以OP,平面ABCD.

因为。，尸为中点，所以OE〃A3,所以OELAO.

以。为坐标原点，以Q4,OF,OP方向分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则

P（0,0,Q）,C（-l,3,0）,仇—1,0,0），5（1,2,0）,E；」,半，

则CE=℃=（0,3,0）,

/、n.CE=0lv-2v+走2=0

设平面CDE的法向量为勺=（%,%,zj,贝乂"，即2%42*1

n{-DC=0

所以％=0,令4=6,则%=—1,所以々=卜1,0,6）

,、n7-CE=0—%,—2y9=0

设平面尸CE的法向量为%=（%,%，22），则■，即《22%22

〃2PC=0/?A

I[-x2+3y2-y/3z2=o

所以令々=1,则％=2,?2=千­,所以〃2=12千一.

屈

设二面角尸—CE—D的大小为凡则cos（4，%lo-

观察可知二面角P—CE—D为锐角，所以cos。=—.

10

故二面角P-CE-D的余弦值为^—

10

20.【答案】解：（1）设椭圆方程为：px2+qy2=1Cp,q〉0）

12

31

y=i，i

则，解得p=_,q=1,

14

32+己=1

尤2

故椭圆标准方程为a+v=i

（2）依题意，两条切线方程分别为＞=%好，y=k2xf

,\km-n\

由।/।r,化简得（“一户居2—2＞叫一户=0,

[1+k；

22

同理(苏_d),2_2rlmk?+n—r=0.

2_2

所以左，左,是方程（机2—r）上2—2m“左+“2—r=。的两个不相等的实数根，故左=",一'.

''m—r

22

又因为巴+〃2=1,所以〃2=1—丝，

44

22122

1---r-l(m+4r-4)

所以人人=—v-^=—――5----，显然当4/—4=—/时，左色为定值一工.

m—rm—r4

此时由4产—4=―产，解得r=半.

即存在实数厂=竽，使