初中数学中考二轮复习考点精讲精练专题04 一次方程(含答案)

专题04一次方程考点精讲1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。2.掌握等式的基本性质。3.能解一元一次方程。掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组。4.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。考点解读考点1：等式的性质与方程的概念①等式的性质：（1）性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b±c.（2）性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.即若a＝b，则ac＝bc，(c≠0)．（3）性质3：（对称性）若a=b,则b=a.（4）性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c.②方程的概念（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程．（2）二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．（3）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程．（4）二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解．考点2：解一元一次方程解一元一次方程的步骤(1)去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项；(2)去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号；(3)移项：移项要变号；(4)合并同类项：把方程化成ax=－b(a≠0)；(5)系数化为1：方程两边同除以系数a,得到方程的解x=－b/a.考点:3：解二元一次方程思路：消元，将二元一次方程转化为一元一次方程.方法：(1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把“它”代入另一个方程，进行求解；(2)加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法.考点4：一次方程的应用①列方程(组)解应用题的一般步骤：(1)审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量；(2)设未知数；(3)列方程(组)：找出等量关系，列方程（组）；(4)解方程(组)；(5)检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意；(6)作答：规范作答，注意单位名称．②常见题型及关系式：（1）利润问题：售价=标价×折扣，销售额=售价×销量，利润=售价－进价，利润率=利润/进价×100%.（2）利息问题：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息.（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间.（4）行程问题：路程=速度×时间.①相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程；②追及问题：a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.考点突破1．下列四个式子中，是方程的是（）A．3+2＝5 B．x＝1 C．2x﹣3 D．a2+2ab+b22．下列各数中，是方程2x+1＝﹣5的解的是（）A．0 B．2 C．﹣3 D．﹣23．下列等式变形错误的是（）A．若x﹣1＝3，则x＝4 B．若x﹣1＝x，则x﹣1＝2x C．若x﹣3＝y﹣3，则x﹣y＝0 D．若3x+4＝2x，则3x﹣2x＝﹣44．下列方程中是一元一次方程的是（）A．x2+2x﹣3＝2x（x+2） B．y＝ C．﹣3x﹣4＝1﹣5x D．＝75．如果x＝﹣1是关于x的方程5x+2m﹣7＝0的解，则m的值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣66．解方程3﹣（x﹣6）＝5（x﹣1）时，去括号正确的是（）A．3﹣x+6＝5x+5 B．3﹣x﹣6＝5x+1 C．3﹣x+6＝5x﹣5 D．3﹣x﹣6＝5x+17．方程8﹣|x+3|＝﹣2的解是（）A．x＝10 B．x＝7 C．x＝﹣13 D．x＝7或x＝﹣138．若关于x的方程3x+5＝m与x﹣2m＝5有相同的解，则x的值是（）A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．49．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设这个物品的价格是x元，则可列方程为（）A．8x+3＝7x+4 B．8x﹣3＝7x+4 C．＝ D．＝10．某商店在某一时间以每件90元的价格出售两件商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则在这次买卖中，商家（）A．亏损8元 B．赚了12元 C．亏损了12元 D．不亏不损11．如果x＝﹣2是方程kx+k﹣1＝0的解，则k＝．12．已知5a+8b＝3b+10，利用等式性质可求得a+b的值是．13．已知方程（k﹣3）x|k|﹣2+5＝k﹣4是关于x的一元一次方程，则k＝．14．已知关于x的一元一次方程x﹣3＝4x+3b的解为x＝8，则关于y的一元一次方程：（y+1）﹣3＝4（y+1）+3b的解为y＝．15．阅读下面材料并回答问题观察：有理数﹣2和﹣4在数轴上对应的两点之间的距离是2＝|﹣2﹣（﹣4）|有理数1和﹣3在数轴上对应的两点之间的距离是4＝|1﹣（﹣3）|归纳：有理数a，b在数轴上对应的两点A，B之间的距离是|a﹣b|；反之，|a﹣b|表示有理数a，b在数轴上对应点A，B之间的距离，称之为绝对值的几何意义应用：（1）如果表示﹣1的点A和表示x点B之间的距离是2，那么x为；（2）方程|x+3|＝4的解为；（3）小松同学在解方程|x﹣1|+|x+2|＝5时，利用绝对值的几何意义分析得到，该方程的左边表示在数轴上x对应点到1和﹣2对应点的距离之和，而当﹣2≤x≤1时，取到它的最小值3，即为1和﹣2对应的点的距离．由方程右边的值为5可知，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边，若x的对应点在1的右边，利用数轴分析可以看出x＝2；同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x＝﹣3；故原方程的解是x＝2或x＝﹣3参考小松的解答过程，求方程|x﹣3|+|x+4|＝15的解．16．新定义题：小明在课外阅读中对有关“自定义型题”有了一定的了解，他也尝试着自定义了“颠倒数”的概念：从左到右写下一个自然数，再把它按从右到左的顺序写一遍，如果两数位数相同，这样就得到了这个数的“颠倒数”，如286的颠倒数是682．请你探究，解决下列问题：（1）请直接写出2022的“颠倒数”为．（2）能否找到一个数字填入空格，使由“颠倒数”构成的等式12×6□＝□6×21成立？请你用下列步骤探究“□”所表示的数字．①设这个数字为x，将自然数“6□”和“□6”转化为用含x的代数式表示分别为和；②列出关于x的满足条件的方程，并求出x的值；③经检验，所求x的值符合题意吗？（填“符合”或“不符合”）17．数学兴趣小组设计了一个问题，分两步完成：（1）已知关于x的一元一次方程（a﹣2）x|a|﹣1+8＝0，请画出数轴，并在数轴上标注出a与x对应的点，分别记作A，B．（2）在（1）的条件下，在数轴上另有一点C对应的数为y，C与A的距离是C与B的距离的5倍，求y的值．18．我们规定：若关于x的一元一次方程a+x＝b（a≠0）的解为，则称该方程为“商解方程”．例如：2+x＝4的解为x＝2且，则方程2+x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：（1）判断3+x＝5是不是“商解方程”．（2）若关于x的一元一次方程6+x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．19．下面是小乐同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题．解方程：﹣＝2．解：去分母，得6x﹣（x+2）＝8．…第一步去括号，得6x﹣x﹣2＝8．…第二步移项，得6x﹣x＝﹣8+2．…第三步合并同类项，得5x＝﹣6，…第四步方程两边同除以5，得x＝﹣．…第五步（1）以上求解过程中，第一步的依据是；（2）从第步开始出现错误，具体的错误是；（3）该方程正确的解为．

参考答案1．【解答】解：A.不含未知数，不是方程；B.是含有未知数的等式，是方程；C.不是等式，不是方程；D.不是等式，不是方程．故选：B．【点拨】本题主要考查了方程的定义，判断是方程必须有两个条件：含有未知数且是等式，两个条件必须同时成立，是需要熟记的内容．2．【解答】解：方程2x+1＝﹣5，移项合并得：2x＝﹣6，解得：x＝﹣3．故选：C．【点拨】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．3．【解答】解：A.若x﹣1＝3，根据等式的性质1，等式两边都加1，可得x＝4，故A选项正确；B.若x﹣1＝x，根据等式的性质2，两边都乘以2，可得x﹣2＝2x，故B选项错误；C.两边分别加上3﹣y可得：x﹣y＝0，故C选项正确；D.两边分别加上﹣2x﹣4，可得：3x﹣2x＝﹣4，故D选项正确；故选：B．【点拨】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个等式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式．另外，本题B选项的错误是在解题的过程中某一项漏乘而导致的．4．【解答】解：A．x2+2x﹣3＝2x（x+2）是一元二次方程，不符合题意；B．不是整式方程，不符合题意；C．﹣3x﹣4＝1﹣5x是一元一次方程，符合题意；D．不是整式方程，不符合题意；故选：C．【点拨】本题考查一元一次方程的定义，牢记一元一次方程的定义及基本形式是解题的关键．5．【解答】解：将x＝﹣1代入方程得：﹣5+2m﹣7＝0，移项合并得：2m＝12，解得：m＝6．故选：C．【点拨】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．6．【解答】解：方程3﹣（x﹣6）＝5（x﹣1），去括号得：3﹣x+6＝5x﹣5．故选：C．【点拨】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．7．【解答】解：8﹣|x+3|＝﹣2，10＝|x+3|，x+3＝10或﹣10，∴x＝7或﹣13，故选：D．【点拨】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，理解绝对值的意义是关键．8．【解答】解：3x+5＝m，∴m＝3x+5①；又x﹣2m＝5，∴m＝②；令①＝②，∴3x+5＝，6x+10﹣x+5＝0，∴x＝﹣3，故选：B．【点拨】此题可根据两个方程有相同的解可知两式的x值相等，注意细心作答，否则很容易出错．9．【解答】解：设这个物品的价格是x元，则可列方程为：＝，故选：D．【点拨】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程．10．【解答】解：设第一件衣服的进价为x元，依题意得：x（1+25%）＝90，解得：x＝72，所以盈利了90﹣72＝18（元）．设第二件衣服的进价为y元，依题意得：y（1﹣25%）＝90，解得：y＝120，所以亏损了120﹣90＝30元，所以两件衣服一共亏损了30﹣18＝12（元）．故选：C．【点拨】本题考查了一元一次方程的应用．解决本题的关键是要知道两件衣服的进价，知道了进价，就可求出总盈亏．11．【解答】解：把x＝﹣2代入方程，得：﹣2k+k﹣1＝0，解得：k＝﹣1．故填﹣1．【点拨】已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母k的方程进行求解．12．【解答】解：5a+8b＝3b+10，5a+8b﹣3b＝3b﹣3b+10，5a+5b＝10，5（a+b）＝10，a+b＝2．给答案为：2．【点拨】本题主要考查的是等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．13．【解答】解：根据题意得：|k|﹣2＝1，k﹣3≠0，k＝±3且k≠3，所以：k＝﹣3．故答案为：﹣3．【点拨】此题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是：正确理解一元一次方程的定义．14．【解答】解：∵x﹣3＝4x+3b，（y+1）﹣3＝4（y+1）+3b，∴y+1＝x，∵x＝8，∴y+1＝8，解得y＝7．故答案为：7．【点拨】本题考查解一元一次方程的解，掌握两个方程之间的关系，把（y+1）看作一个整体是解题关键．15．【解答】解：（1）由题意可得|x﹣（﹣1）|＝2所以x﹣（﹣1）＝±2解得x1＝1，x2＝﹣3故答案为1或﹣3（2）由题意可得x+3＝±4解得x1＝1，x2＝﹣7故答案为1或﹣7（3）|x﹣3|+|x+4|表示x到3和﹣4的距离之和，由阅读材料可知它大于等于7当x在﹣4左边，即x＜﹣4得3﹣x﹣x﹣4＝15解得x＝﹣8当x在3右边，即x＞3得x﹣3+x+4＝15解得x＝7所以原方程的解为x＝﹣8或x＝7【点拨】考查的是绝对值的几何意义，绝对值方程，本题关键是如何取绝对值，将绝对值方程转化为一般方程来解．16．【解答】解：（1）由“颠倒数”的定义可得：2022的“颠倒数”为2202，故答案为：2202，；（2）①设这个数字为x，自然数“6□”用含x的代数式表示为：6×10+x＝60+x，自然数“□6”用含x的代数式表示为：10x+6，故答案为：60+x，10x+6；②由题意得：12（60+x）＝21（10x+6），解得：x＝3，∴x的值为3；③检验：12×63＝756，36×21＝756，∴12×63＝36×21，∴x＝3符合题意，故答案为：符合．【点拨】本题考查了等式的性质，列代数式，有理数的混合运算，方程的解，熟练掌握两位数的表示方法是解题的关键．17．【解答】解：（1）由一元一次方程的定义得