2025优化设计一轮第5节 第3课时　利用导数研究函数的零点

第5节函数与导数中的综合问题第3课时利用导数研究函数的零点高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025考点一确定函数零点的个数(多考向探究预测)考向1利用单调性和函数零点存在定理确定零点个数例1(2023·浙江杭州模拟)设函数f(x)=(x-1)2ex-ax,若曲线f(x)在x=0处的切线方程为y=-2x+b.(1)求实数a,b的值;(2)判断函数f(x)零点的个数.规律方法利用单调性和函数零点存在定理确定零点个数(1)讨论函数的单调性,确定函数的单调区间;(2)在每个单调区间上,利用函数零点存在定理判断零点的个数;(3)注意区间端点的选取技巧;(4)含参数时注意分类讨论.[对点训练1](2024·江苏南京模拟)已知函数f(x)=ex+(a-e2)x,其中a∈R.(1)若a=e2-2,求函数f(x)在[0,2]上的最值;(2)当a<0时,证明:F(x)=f(x)-ax2在(0,2)内存在唯一零点.(1)解

当a=e2-2时,f(x)=ex-2x,所以f'(x)=ex-2.令f'(x)>0,得x>ln

2,令f'(x)<0,得x<ln

2,所以f(x)在[0,ln

2)内单调递减,在(ln

2,2]上单调递增,又因为f(0)=1,f(ln

2)=2-2ln

2,f(2)=e2-4>1,所以f(x)在[0,2]上的最小值为2-2ln

2,最大值为e2-4.考向2数形结合确定零点个数例2(2024·江西赣州模拟)已知函数(1)求函数f(x)的最值;(2)讨论函数g(x)=aex-ln

x-1的零点个数.规律方法数形结合确定函数零点个数的方法函数零点个数即函数图象与x轴交点的个数,因此借助数形结合思想,可通过函数图象判断函数零点的个数.(1)利用导数研究函数f(x)的单调性、极值及最值情况,并结合函数值的正负情况及变化趋势,作出函数f(x)的大致图象,然后根据图象判断零点个数.(2)若函数f(x)的图象不易直接作出,可根据函数与方程思想将函数零点转化为方程的根,再将方程进行变形,转化为两个函数的图象交点问题,从而判断函数零点个数[对点训练2](2024·重庆巴蜀期末)已知函数f(x)=ax-ln

x-2.(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;(2)讨论函数f(x)的零点个数.令f'(x)>0,则x>1;令f'(x)<0,则0<x<1.故函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间为(0,1),当x=1时,函数取极小值f(1)=1-ln

1-2=-1,无极大值.作出函数g(x)的图象(如图所示),因此当a>e时,直线y=a与y=g(x)的图象没有交点;当a=e或a≤0时,直线y=a与y=g(x)的图象有1个交点;当0<a<e时,直线y=a与y=g(x)的图象有2个交点.综上,当a>e时,函数f(x)没有零点;当a=e或a≤0时,函数f(x)有1个零点;当0<a<e时,函数f(x)有2个零点.考点二已知函数零点个数求参数的取值范围例3(12分)(2024·广东珠海模拟)已知函数f(x)=ex-ax+e2.(1)当a=2时,讨论f(x)的单调性;突破口:求导,解指数不等式.(2)若f(x)有两个不同的零点,求a的取值范围.关键点:讨论f(x)单调性,结合最值确定函数有两个零点的条件,然后通过构造函数解不等式求得参数取值范围.审题指导:(1)求导数,解不等式即得单调区间;(2)首先讨论函数f(x)的单调性,然后根据函数的最小值小于0确定函数有两个零点的条件,再构造函数解不等式即得a的取值范围.解指数不等式

规范解答:解

(1)当a=2时,f(x)=ex-2x+e2,所以f'(x)=ex-2.1分由f'(x)>0,解得x>ln

2,由f'(x)<0,解得x<ln

2,3分

故f(x)在(-∞,ln

2)内单调递减,在(ln

2,+∞)内单调递增.4分(2)f'(x)=ex-a.

当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在R上单调递增,此时f(x)没有两个零点;6分当a>0时,由f'(x)>0,解得x>ln

a,由f'(x)<0,解得x<ln

a,因此f(x)在(-∞,ln

a)内单调递减,在(ln

a,+∞)内单调递增.7分因为x趋于负无穷,f(x)趋于正无穷;因为x趋于正无穷,f(x)趋于正无穷,要使f(x)有两不同零点,则有f(x)min=f(ln

a)<0,即a-aln

a+e2<0.9分

令g(a)=a-aln

a+e2,则g'(a)=1-ln

a-1=-ln

a,当0<a<1时,g'(a)>0,g(a)单调递增,当a>1时,g'(a)<0,g(a)单调递减,且0<a<1时,g(a)=a(1-ln

a)+e2>0,又因为g(e2)=0,

所以当a>e2时,g(a)<0.11分故实数a的取值范围为(e2,+∞).12分讨论单调性

由最小值小于0确定条件

构造函数

通过函数单调性及特殊点解不等式

[对点训练3](12分)(2024·河南郑州模拟)已知函数f(x)=2(x+

)-1.(1)求f(x)的极值;(2)若g(x)=f(x)-kx+1无零点,求实数k的取值范围.考点三可化为函数零点的参数问题例4(2023·北京)设函数f(x)=x-x3eax+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-x+1.(1)求a,b的值;(2)设函数g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;(3)求f(x)的极值点个数.

[对点训练4](