2024年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷

2024年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合

题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）

1.（2分）计算（/+/）2的结果是（）

A.4a2B.2a4C.4a4D.a8

2.（2分）根据《2024年南京市政府工作报告》，我市2023年全市地区生产总值增长4.7%左右，总量1.75

万亿元左右（）

A.1.75X109B.1.75X1O10C.1.75X1011D.1.75X1012

3.（2分）如图，实数机在数轴上对应的点M到原点的距离为5.下列各数中，与加最接近的是（）

M

-m0>

A.-472B.-372C.-272D.--/2

4.（2分）点A（xi,yi）,B（x2,y2）在反比例函数》=区（4#0）的图象上，下列说法正确的是（）

x

A.若xi〈x2,则

B.若贝！Jyi>”

C.若xi+%2=0,贝iJyi+y2=0

D.若则yi・*=l

5.（2分）有12个棱长相等的小正方体，用其中6个小正方体粘合成了如图的几何体，在剩下的小正方体

粘合成的下列几何体中（）

6.（2分）如图，AB,CD分别垂直B。，D,连接AO,BC交于点E,垂足为尸.设AB=a,CD=b,若上

a

--=\,则下列等式：①a+c=b；③/=b・c,其中一定成立的是（）

b

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卷相应位置上）

7.（2分）27的立方根为.

8.（2分）计算30-2一1的结果是.

22

9.（2分）化简分式：a~b=.

a2+2ab+b2

10.（2分）若m+n-1=0,则-2m-2/7+1的值是.

11.（2分）若关于x的方程（x-1）（尤+a）=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是.

12.（2分）如图，在矩形ABCD中，AB=2,将AD绕点A顺时针旋转，使点D落在边BC上（记为

D'）.（答案保留TT）

13.（2分）如图，正八边形ABCOEPGH的对角线ARHD交于点M

14.（2分）甲、乙两名同学进行了5轮投篮比赛，得分情况如表（单位：分）:

第1轮第2轮第3轮第4轮第5轮

甲810101012

乙1410121212

设甲、乙同学得分的方差分别是S甲2,S-,贝”甲2s乙2.（填“或"=

15.（2分）物理学告诉我们，当光从空气斜射入介质时会发生折射，其中入射角的正弦值和折射角的正弦

值之比叫做这种介质的折射率.如图，折射率为名的长方体介质（其中a为入射角，B为折射角，MN

3

过点。且垂直于介质的上表面），则折射光线在该介质中传播的距离（即的长度）约是

cm.（参考数据：sin53°-0.80,cos53°-0.60,tan53°-1.33.）

16.（2分）二次函数y=a^+2x+3（a为常数，aWO）的图象的顶点与原点0的距离的最小值

为.

三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步骤）

r2x+l<5

17.（6分）解不等式组x-1/X，并写出它的整数解.

.丁（百

18.（6分）以下是某同学解分式方程」」=上匹-3的部分过程:

x-22-x

解：整理，得，=211-3.

x-2x~2

去分母，得…

（1）该同学解法中第一步的依据是；

（2）将该同学的解答过程补充完整.

19.（8分）新“龟兔赛跑”故事

兔子和乌龟从同一起点同时出发，匀速奔向终点.

兔子的速度是乌龟速度的50倍

,一段时间后，兔子到达途中某处，睡了70加“，它保持原速奔跑，恰好和乌龟同时到达终点.

（1）设乌龟的速度为xm/min,其奔跑的时间为tmin,则由虚线框内的文字可知兔子的速度是

mJmin,由题中的两个"同时“可知兔子奔跑的时间为min.

（2）求（1）中f的值.

20.（8分）如图，已知矩形ABCQ,点E,MBE=DF.

（1）求证：四边形AE”是平行四边形；

（2）已知AB=4,BC=3.当BE的长为时，四边形AEC尸是菱形.

21.（8分）如图是“飞行棋”棋盘的一部分，其游戏规则如下:

规则（部分）

①……

②游戏时抛掷一枚质地均匀的额正方体

骰子（每个面点数分别为1,2,3,4,

5,6）,根据掷得的点数移动棋子（如

棋子在A处时，掷得1点，就移动1

格到B处，掷得2点，就移动2格到

C处）；

在某局游戏的过程中，一枚棋子刚好停在A处.

（1）掷1次骰子，移动后该棋子到。处的概率是，

（2）掷2次骰子，求移动后该棋子恰好到E处的概率.

22.（8分）市场调研公司对某饮品店一个销售周期内A,B,C,。四种饮品的销售情况进行了调查，绘制

了如下统计图.

(1)在扇形统计图中，“8饮品”所对应的圆心角的度数是°；

(2)若A,B,C,。四种饮品的单位成本分别是9元、14元、10元、15元，求该饮品店这个销售周

期内四种饮品的平均利润率.

(注：平均利润率=里粤型100%)

息成本

23.(8分)已知周长为(a为定值)的矩形的一边长y(cm)与它的邻边长尤(cm)

(1)a的值为；

(2)当x为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？

24.(8分)如图，C是以为直径的半圆。上的一点，平分交半圆。于点。

(1)求证：DE^IAB；

2

(2)若A8=4,当。8=AE时，四边形EABO的面积为

25.(8分)点4(-1,ji)和点8(2,”)在二次函数>=/+7"+层(加，〃是常数)的图象上.

(1)当yi=y2时，求机的值;

(2)当yi<2时，求证y2>yi.

26.(8分)如图，已知线段a,b,用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC(保留作图痕迹,

写出必要的文字说明).

(1)ZXABC的底边长为a,底边上的中线为6；

(2)△ABC的底边长为a,腰上的中线为b.

ab

27.（12分）数学概念

若以四边形一边为直径的圆与这条边的对边相切，且切点在边上，我们把这样的圆叫做四边形的径切

圆.如图①，切点P在边。上，因此。。是四边形A8CD的径切圆.

初步理解

（1）以下四边形：①对角互补的四边形；②对角线相等的四边形；③相邻两边长为1：2的矩形，一定

存在径切圆的是（填序号）.

性质初探

（2）在图①中，连接AP,BP

深入研究

（3）如图②，。。与均是四边形ABCD的径切圆，其切点分别为尸，N

（4）在（3）中，若点。和点N恰好重合，AD^a,直接写出。。和的半径长（用含a,b的代数

式表示）.

①

②

2024年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合

题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）

1.（2分）计算（/+/）2的结果是（）

A.4a2B.2/C.4/D.a8

【解答】解：（/+/）8

—a'+la'+a'

=4/.

故选：C.

2.（2分）根据《2024年南京市政府工作报告》，我市2023年全市地区生产总值增长4.7%左右，总量1.75

万亿元左右（）

A.1.75X109B.1.75X1O10C.1.75X1011D.1.75X1012

【解答】解：1.75万亿=1750000000000=1.75X1012.

故选：D.

3.（2分）如图，实数机在数轴上对应的点M到原点的距离为5.下列各数中，与%最接近的是（）

M

-m0>

A.-4企B.-372C.-272D.-V2

【解答】解：由题意可知，机=-5=-'/25，

-4/3=-73272=_五§&=-五,

-V32<-5<-我，

V|-V32+6I-I-5+V18I

=V32-5-

=7&-10

=V98-7ioo<4,

...数轴上表示数m与数-4加的距离小于数m与数-76，

即-4我与数m比较接近，

故选：A.

4.（2分）点A（xi,yi）,B（x2,*）在反比例函数y=K&WO）的图象上，下列说法正确的是（）

A.若xi<%2,则

B.若xi<%2,则yi>"

C.若xi+尤2=0,贝!Iyi+y2=0

D.若xi,x2=l,则yi・y2=l

【解答】解：A、左值正负不确定，选项错误;

B、左值正负不确定，选项错误；

C、反比例函数是中心对称图形1+皿=3,则”+”=6,正确；

,2

。、若X-X2=3则有------=h,y2=k2,选项错误，不符合题意.

丫1?6

故选：C.

5.（2分）有12个棱长相等的小正方体，用其中6个小正方体粘合成了如图的几何体，在剩下的小正方体

粘合成的下列几何体中（）

【解答】解：将A选项中的几何体向后面连续翻折两次即可原图组成一个长方体.

故选：A.

6.（2分）如图，AB,CD分别垂直B。，D,连接A。，BC交于点E,垂足为尸.设A8=a,CD=b,若电

a

-包=1,则下列等式：①〃+C=b；③〃2=b・C,其中一定成立的是（）

b

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【解答】解：'：AB±BD,EF±BD,AB=a,EF=c,

：.AB//EF//CD,

'：EF//AB,

:.△DEFsADAB,

•EF=FD

"AB丽’

,JEF//CD,

:.△BEFs^BCD,

.EF=BF

"CD丽’

•EF^EF-FD^BF.BD-,

ABCDBDBDBD

.・・£+£=1,

ab

A,a(/?-c)—be,

abc

•.心-曳=1,

ab

...(a+b)(b-a)=],

ab

.•.—=4,

c

••〃+c=b,

故①符合题意；

由a+c=b得b+c=a+2c,

与2c不一定相等，

a+4c不一定等于2a,

b+c与2a不一定相等，

故②不符合题意；

•ci（b-c）=6c,JELa^b-c,

/.c^—b'c,

故③符合题意，

故选：B.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卷相应位置上）

7.（2分）27的立方根为3.

【解答】解：V33=27,

••-27的立方根是3,

故答案为：3.

8.（2分）计算3°-2」的结果是1.

一2一

【解答】解：3°-81

=1-1

2

石.

故答案为：1.

2

22

9.（2分）化简分式：a人_=_azb_

a2+2ab+b2a+b

22

【解答】解：。=（a+b）（a-b）

a7+2ab+b2（a+b）8a+b

故答案为：互”.

a+b

10.（2分）若机+〃-1=0,贝（一一2几+1的值是-1.

【解答】解：・.・徵+几-1=0,

加+〃=6,

-2m-2n+6

=-2（m+n）+1

=-7X1+1

=-3,

故答案为：-1.

n.（2分）若关于x的方程（X-1）（x+〃）=0有两个不相等的实数根，则〃的取值范围是

【解答】解：(x-1)(x+〃)=0

¥+(a-1)x-〃=0,

•・,方程有两个不相等的实数根，

AA>3,

(a-1)2+8a>0,

(a+1)4>0,

・・617^1.

故答案为：aW7.

12.(2分)如图，在矩形ABC。中，AB=2,将绕点A顺时针旋转，使点。落在边BC上(记为£>')

”.(答案保留TT)

3一

【解答】解：由旋转可得，AD'=AD^4,

：AB=2,ZB=90°,

?.ZAD'B=30°,

'：AD//BC,

：.ZDAD'=ZAD'B^3Q°,

点D运动的路径长是30>x5=22L.

1803

故答案为：旦L.

3

13.(2分)如图，正八边形A8CDEFGH的对角线ARHD交于点、M67.5

【解答】解：：八边形A8CDEFG”为正八边形,

VZAHG=ZHAB=1SO°-360°+8=135°,

,/正八边形ABCDEFGH的对角线ARHD,

：.ZAHD=1ZAHG=61.5°,

8

ZFAB=90°,

ZMAH^135°-90°=45°,

AZAMH=180°-45°-67.5°=67.5°.

故答案为：67.5.

14.（2分）甲、乙两名同学进行了5轮投篮比赛，得分情况如表（单位：分）:

第1轮第2轮第3轮第4轮第5轮

甲810101012

乙1410121212

设甲、乙同学得分的方差分别是S甲2,S乙2,则S申2=S7.2.(填“或“=”)

【解答】解：甲的平均数为工X(6+10+10+10+12)=10,2=lx[(8-10)2+2义(10-10)2+(12

53

-10)2]=2.6,

乙的平均数为工X(14+10+12+12+12)=12乙2=_lx[(14-12)2+3X(12-12)2+(10-12)2]=1.6,

27

・•・Q3甲2_一Q32乙，

故答案为：=.

15.(2分)物理学告诉我们，当光从空气斜射入介质时会发生折射，其中入射角的正弦值和折射角的正弦

值之比叫做这种介质的折射率.如图，折射率为9的长方体介质(其中a为入射角，0为折射角，MN

过点0且垂直于介质的上表面)，则折射光线在该介质中传播的距离(即OB的长度)约是3.75

cm.(参考数据：sin53°仁0.80,cos53°^0.60,tan53°心1.33.)

:M八

I/

【解答】解：过点O作OCJ_8c于点C,

sinQ-=4

sinP3

a=53°,

.•.sina=sin53°二5.8,

sin0=O.3,

设03=xcm,则sinB=.^-,

OB

•'•BC=0.6xcm,

在RtZkOBC中,

根据勾股定理，OB1=BC1+OB1,

即/=(0.6x)4+32,

解得尤=6.75,

故答案为:3.75.

16.（2分）二次函数y=a/+2x+3（a为常数，。/0）的图象的顶点与原点O的距离的最小值为—考之

【解答】解：y=+2x+2,

顶点尸为（-2,⑵-7二）,即（-2工），

2a4aaa

:.OP2=（-Z）2+（3-区）2=（A）6+9-旦+（A）2=2（A-3）5+9,

aaaaaa22

V2>0,

.•.当_L=3,。尸有最小值名,

a22

，。尸的最小值为：

三、解答题（本大题共U小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步骤）

(2x+l<5

17.（6分）解不等式组〈x-1三，并写出它的整数解.

4

，2x+l<2①

【解答】解：x-i

4<|②’

由①得，x<2,

由②得，3x-3W4%,

-3,

：.-6Wx<2,

不等式的整数解为-3,-3,0,1.

18.（6分）以下是某同学解分式方程」」=上3-3的部分过程：

x-22-x

解：整理，得，=三1-3.

x-2x-2

去分母，得…

（1）该同学解法中第一步的依据是等式的性质2（等式的两边都乘同一个数，等式仍成立）

（2）将该同学的解答过程补充完整.

【解答】解：（1）根据等式的性质2：等式两边都乘x-2.

故答案为：等式的性质7（等式的两边都乘同一个数，等式仍成立）；

（2）3,

x-22-x

方程的两边都乘龙-5,得1=-（1-x）-8（x-2）,

1=-6+x-3x+3,

2x-x--1+3-3,

2x=l,

2

检验：当x=L时，尤-2W0,

2

所以分式方程的解是x=&.

2

19.（8分）新“龟兔赛跑”故事

兔子和乌龟从同一起点同时出发，匀速奔向终点.

兔子的速度是乌龟速度的50倍

,一段时间后，兔子到达途中某处，睡了70〃血，它保持原速奔跑，恰好和乌龟同时到达终点.

(1)设乌龟的速度为xmlmin,其奔跑的时间为tmin,则由虚线框内的文字可知兔子的速度是50x

mlmin,由题中的两个"同时“可知兔子奔跑的时间为70)min.

(2)求(1)中f的值.

【解答】解：(1)设乌龟的速度为XMl/加"，其奔跑的时间为

由题中的两个“同时”可知兔子奔跑的时间为G-70)min.

故答案为：50无，G-70)；

(2)根据题意得：-70),

即1=50970),

解得：1=眄.

7

答：(1)中r的值为驷

7

20.(8分)如图，已知矩形ABCZ),点E,5.BE=DF.

(1)求证：四边形AECP是平行四边形；

(2)已知AB=4,BC=3.当BE的长为—工—时，四边形AECF是菱形.

【解答】(1)证明：•••四边形ABC。是矩形,

：.AD//BC,AD=BC,

；BE=DF,

C.AF^EC,

四边形AECF是平行四边形，

(2)解：若四边形AE”是菱形，

：.AE=EC,

'：AE1=AB2+EB2,

：.(B£+3)2=16+B£3,

：.BE=1~,

6

.•.当BE的长为2时，四边形AECF是菱形.

6

21.(8分)如图是“飞行棋”棋盘的一部分，其游戏规则如下:

规则(部分)

①……

②游戏时抛掷一枚质地均匀的额正方体

骰子(每个面点数分别为1,2,3,4,

5,6),根据掷得的点数移动棋子(如

棋子在A处时，掷得1点，就移动1

格到B处，掷得2点，就移动2格到

C处)；

在某局游戏的过程中，一枚棋子刚好停在A处.

(1)掷1次骰子，移动后该棋子到。处的概率是1;

一6一

(2)掷2次骰子，求移动后该棋子恰好到E处的概率.

【解答】解：(1)由题意知，掷1次骰子，移动后该棋子到。处,

•••掷1次骰子，移动后该棋子到D处的概率是工.

6

故答案为：1.

2

(2)列表如下：

123452

1(1,3)(1,2)(3,3)(1,7)(1,5)(4,6)

2(5,1)(2,4)(2,3)(6,4)(2,7)(2,6)

8(3,1)(5,2)(3,7)(3,4)(3,5)(3,8)

4(4,2)(4,2)(2,3)(4,7)(4,5)(5,6)

5(2,1)(5,7)(5,3)(7,4)(5,2)(5,6)

7(6,1)(3,2)(6,3)(6,4)(5,5)(6,2)

共有36种等可能的结果，其中移动后该棋子恰好到E处的结果有：(2,(3,(8)(5,(6)共2种,

/.移动后该棋子恰好到E处的概率为巨.

36

22.（8分）市场调研公司对某饮品店一个销售周期内A,B,C,。四种饮品的销售情况进行了调查，绘制

了如下统计图.

（1）在扇形统计图中，“2饮品”所对应的圆心角的度数是108°；

（2）若A,B,C,。四种饮品的单位成本分别是9元、14元、10元、15元，求该饮品店这个销售周

期内四种饮品的平均利润率.

（注：平均利润率=名'型电）100%）

息成本

【解答】解：（1）30%X360°=108°,

故答案为：108；

（2）设总销售量为0,

则A饮品销售量为20%a,8饮品销售量为30%a,。饮品销售量为20%a,

饮品成本为20%aX9=L6a（元），8饮品成本为30%aX14=4.2°（元），。饮品成本为20%°义15

=8i（元），

♦A饮品利润为L8〃X25%=2.45a（元），8饮品利润为4.2。义20%=5.84。（元），。饮品利润为3ax

30%=0.3q（元），

...该饮品店这个销售周期内四种饮品的平均利润率为：S45a+S84a+&45a+S9a=2.22=22%,

5.8a+4.8a+3a+3a

答：该饮品店这个销售周期内四种饮品的平均利润率为22%.

23.（8分）已知周长为4on（〃为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长工（cm）

（1）。的值为44cm；

（2）当x为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？

【解答】解：（1）;•周长为（。为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm）,

••ci2(x+y),

*.*当x=\2时，y=10,

•\a=2(12+10)=44(cm).

故答案为：44cm；

(2)•・•由(1)矢口，a=44cmf

:=-

・・y22XJ

，S矩形=xy=x(22-x)=-X6+22X(X>0),

.•.当x=-型=11时，S矩形最大=-"6+22X11=121(c/n2).

-2

答：当尤=llc加时，该矩形的面积最大2.

24.（8分）如图，C是以AB为直径的半圆。上的一点，A。平分/BAC交半圆。于点。

(1)求证：DE=-AB-,

2

四边形EABD的面积为3y.

平分/BAC,

.\Z1=Z2,

'：OA=OD,

.•.Z8=Z2,

：.Z1=Z6,

J.OD//AE,

'：DE//AB,

四边形AODE是平行四边形，

"：OA=OD,

四边形AODE是菱形，

C.AE^DE^DO^AO,

2

；.AE=OE=-^A&

2

⑵解：,;DB=AE,AE=A,

5

.-.DB=AAB=2,

2

是半圆。的直径，

AZADB=90°,

AD=VAB2-BD2=VS2-23=2心

AABD的面积=XAZ>3£)=2V§X2=7F，

24

\'AO=BO,

：.^AOD的面积=的面积的面积=«,

6

:四边形AODE是菱形，

菱形AOCE的面积=24A。。的面积=6«,

四边形EABD的面积=菱形AODE的面积+ZVX"的面积=2、尺+

故答案为：3a.

25.(8分)点A(-1,ji)和点8(2,y2)在二次函数>=z2+加计滔(加，”是常数)的图象上.

(1)当yi="时，求相的值;

(2)当yi<2时，求证y2>yi.

【解答】(1)解：Vyi=l-m+n6,^2=4+6m+n2,且yi=",

1-m+n2=2+2m+n2,

m--3,

(2)证明：Vyi<2,

，y4=1-m+n<8,

/.-m+n2<1,

-1,

/.2m>6/?2-2,

,y7=4+2m+n5>4+2«3-2+n2=6+3n2,

VH8^O,

2+7九之三2,

.\);4>2+3M8^2>^I.

「・y8>yi.

26.(8分)如图，已知线段〃，b,用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC(保留作图痕迹,

写出必要的文字说明).

(1)/XABC的底边长为m底边上的中线为。；

(2)△ABC的底边长为〃，腰上的中线为瓦

।a।।6।

【解答】解：(1)如图1,先在射线5尸截取垂足为。点，

则△ABC为所作；

(2)如图2,先在射线3尸截取垂足为。点，然后以C点为圆心，于是延长交直线/于A

点，

则△ABC为所作.

ab

27.（12分）数学概念

若以四边形一边为直径的圆与这条边的对边相切，且切点在边上，我们把这样的圆叫做四边形的径切

圆.如图①，切点尸在边上，因此O。是四边形ABC。的径切圆.

初步理解

（1）以下四边形：①对角互补的四边形；②对角线相等的四边形；③相邻两边长为1