广东省佛山市第四中学高二上学期开学考试数学

佛山市第四中学2023~2024学年第一学期开学考试高二数学试题第I卷（选择题，共60分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1.若，则复数z的共轭复数为（）A.0 B.1 C.2 D.－22.圆锥的表面积为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（）A. B. C. D.3.已知，向量为单位向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（）A.3 B. C. D.4.某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（）A.10 B.15 C.20 D.305.已知m，n为两条不同的直线，和是两个不同的平面，下列为真命题的是（）A. B.C. D.6.如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（）．A. B.C. D.7.直线与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交于E、F，且交其对角线AC于K，若，，（），则（）A.2 B. C.3 D.58.如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是边长为7的等边三角形，，则△ABC的面积为（）A.5 B.7 C.10 D.20二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若向量，，，则（）A. B. C. D.10.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（）A.最小正周期为B.直线是图象一条对称轴C.在上单调递增D.图像关于原点对称11.小赵于2021年10月1日投资了一款理财产品，2021年10月1日至14日每日收益（单位：元）如折线图所示，则下列说法正确的是（）A.10月6日与10月9日的收益相等B.10月2日至10月5日的每日收益递增C.10月1日至10月14日每日收益的中位数为103.5元D.与前一日相比，10月5日的收益增加最多12.如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E是边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE（点A1不落在底面BCDE内），连接A1B、A1C．若M为线段A1C的中点，则在△ADE的翻折过程中，以下结论正确的是（）A.BM∥平面A1DE恒成立B.：1：3C.存在某个位置，使DE⊥A1CD.线段BM的长为定值第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为______.14.正三棱台上下底面棱长分别为3和6，侧棱长为2，则正三棱台体积为______.15.一半径为4m的水车，水车圆心距离水面2m，已知水车每分钟转动（按逆时针方向）3圈，当水车上点从水中浮现时开始计时，即从图中点开始计算时间，当秒时，点离水面的高度是______m.16.在中，，的角平分线交BC于D，则_________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知C平面上一点，，．（1）若，求的值；（2）若，求的最大值．18.已知内角的对边分别为，且满足（1）求角C；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.19.设向量，，．（1）若，求x值；（2）设函数，求的最大值．20.如图，在三棱锥S—ABC中，SA＝SB，AC＝BC，O为AB的中点，SO⊥平面ABC，AB＝4，OC＝2，N是SA的中点，CN与SO所成的角为α，且tanα＝2.(1)证明：OC⊥ON；(2)求三棱锥S—ABC的体积．21.2021年3月24日，某些国际服装企业因抵制新疆棉花声明在中国互联网上引发热议.对此，中国外交部发言人25日表示，中国光明磊落，中国人民友善开放，但中国民意不可欺､不可违.某记者随机采访了100名群众，调查群众对此事件的看法，根据统计，抽取的100名群众的年龄统计如下表：年龄人数5103515频率（1）求的值，并作出调查群众年龄的频率分布直方图；（2）求这100名受访群众年龄的平均数和中位数(同一组数据用该区间的中点值代替)；（3）该记者为了感谢参与调查的群众，根据不同年龄阶段的人群发放不同的礼品，其中对年龄大于岁的人奖励紫砂杯，为了使的群众得到该奖励，试求的值.22.如图，在直三棱柱中，，，E，F为线段，的中点．（1）证明：EF⊥平面；（2）若直线EA与平面ABC所成的角大小为，求点C到平面的距离．

佛山市第四中学2023~2024学年第一学期开学考试高二数学试题第I卷（选择题，共60分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1.若，则复数z的共轭复数为（）A.0 B.1 C.2 D.－2【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘法运算求出复数z，再求出其共轭复数作答.【详解】依题意，，所以复数z的共轭复数为2.故选：C2.圆锥的表面积为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，根据圆锥的表面积为，母线长为，由求解.【详解】设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的表面积为，母线长为，所以，即，解得或（舍去）故选：A3.已知，向量为单位向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，向量为单位向量，，则，则向量在向量方向上的投影向量为.故选：B4.某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（）A.10 B.15 C.20 D.30【答案】C【解析】【分析】先求得中学中的女生人数，然后根据样本容量，按照比例求解.【详解】因为共有学生2500人，其中男生1500人，所以女生有1000人，所以样本中女生的人数为人故选：C【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题.5.已知m，n为两条不同的直线，和是两个不同的平面，下列为真命题的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】ABD项均可举出反例，C项可用线面垂直的判定定理说明【详解】A.，则也可在平面内，故选项A不正确.B.，则也可在平面内,故选项B不正确.C.成立两平行线，平面，必垂直于内的两条相交直线，则必定垂直于内那两条相交直线，故,故C正确.D.，则也可是异面直线的关系.故选项D不正确.故选：C6.如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正方体的性质判断点是否共面，并应用平面的性质画出截面即可判断.【详解】由正方体性质，选项A，B，C中，A，B，C，D四点显然不共面．对于D选项，如下图取E，F为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF，易知ADCEBF为平面正六边形，所以A，B，C，D四点共面．故选：D7.直线与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交于E、F，且交其对角线AC于K，若，，（），则（）A.2 B. C.3 D.5【答案】D【解析】【分析】根据题意将用表示出来，然后结合三点共线定理，即可求得结果.【详解】∵，，∴，由E，F，K三点共线可得,∴.故选:D8.如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是边长为7的等边三角形，，则△ABC的面积为（）A.5 B.7 C.10 D.20【答案】C【解析】【分析】先利用余弦定理求得AB的长度，再去求的值，进而可求得△ABC的面积.【详解】由，可得，解之得或（舍）则，又，则则则△ABC的面积为故选：C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若向量，，，则（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示，数量积和向量的模的坐标，逐项判定，即可求解.【详解】由题向量，可得，可得，所以，所以AC错误，B正确；又由，，所以，所以D正确.故选：BD.10.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（）A.的最小正周期为B.直线是图象的一条对称轴C.在上单调递增D.图像关于原点对称【答案】ACD【解析】【分析】利用三角函数图象变换规律得出，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；计算的值可判断B选项；由，在的单调性可判断C选项；利用奇函数的定义可判断D选项.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象.对于A选项，函数的最小正周期为，A选项正确；对于B选项，，B选项错误；对于C选项，，则，，在上单调递增，C选项正确；对于D选项，函数的定义域为，，所以，函数为奇函数，D选项正确.故选：ACD.11.小赵于2021年10月1日投资了一款理财产品，2021年10月1日至14日每日收益（单位：元）如折线图所示，则下列说法正确的是（）A.10月6日与10月9日的收益相等B.10月2日至10月5日的每日收益递增C.10月1日至10月14日每日收益的中位数为103.5元D.与前一日相比，10月5日的收益增加最多【答案】ABC【解析】【分析】根据折线图上的数据可直接得到AB是正确的，10月1日至10月14日每日收益的中位数为故C也正确，10月8日和前一日比较收益增加最多，故D错误.【详解】由题中折线图可知，10月6日与10月9日的收益均为160元，故A正确；由题中折线图可以看出，10月2日至10月5日的每日收益递增，故B正确；10月1日至10月14日每日收益的中位数为（元），故C正确；10月8日比前一日收益增加（元），而10月5日比前一日收益增加（元），10月8日和前一日比较收益增加177元，故D错误．故选：ABC．12.如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E是边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE（点A1不落在底面BCDE内），连接A1B、A1C．若M为线段A1C的中点，则在△ADE的翻折过程中，以下结论正确的是（）A.BM∥平面A1DE恒成立B.：1：3C.存在某个位置，使DE⊥A1CD.线段BM的长为定值【答案】ABD【解析】【分析】对A，取CD中点F，连接MF，BF，即可证明；对B，分别计算，证明即可；对C，由A1C在平面ABCD中的射影在AC上，再判断即可；对D，在中利用余弦定理证明即可【详解】解：取CD中点F，连接MF，BF，如图所示，则MF∥A1D，FB∥DE，则可得平面MBF∥平面A1DE，∵BM⊂平面MBF，BM⊄平面A1DE，∴BM∥A1DE，故A选项正确，设A1到平面EBCD的距离为h，D到AB的距离为h'，则，故B选项正确，A1C在平面ABCD中的射影在AC上，∵AC与DE不垂直，∴DE与A1C不垂直，故C选项错误，∵∠MFB＝∠A1DE＝45°，又∵由余弦定理，可得MB2＝MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，且MF，FB为定值，∴MB定值．故选：ABD．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为______.【答案】－8【解析】【分析】先根据数量积的分配律将所求式子展开，再由平面向量数量积的运算法则即可得解.【详解】解：.故答案为：8.【点睛】本题考查数量积的计算，此类问题一般利用数量积的运算律和定义来处理，本题属于基础题.14.正三棱台上下底面棱长分别为3和6，侧棱长为2，则正三棱台的体积为______.【答案】【解析】【分析】将正三棱台补全为三棱锥，有正三棱台的体积，即可求体积.【详解】如下图，正三棱台，将其补全为三棱锥，为其高，∴正三棱台的体积，由题设易知，∴设，则，即三棱锥高，故的高为1，∴故答案为：15.一半径为4m的水车，水车圆心距离水面2m，已知水车每分钟转动（按逆时针方向）3圈，当水车上点从水中浮现时开始计时，即从图中点开始计算时间，当秒时，点离水面的高度是______m.【答案】4【解析】【分析】根据匀速圆周运动的数学模型进行求解.【详解】因为=4，圆心到水面的距离为2，所以到x轴的距离为2，所以x轴与所成角为，由题知水车转动的角速度为因为水车的半径为4，设P点到水面的距离为y，根据匀速圆周运动的数学模型有：当t=10秒时，y=4，所以点离水面的高度是4m.故答案为：4.16.在中，，的角平分线交BC于D，则_________．【答案】【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出．详解】如图所示：记，方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：，由可得，，解得：．故答案为：．方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因为，所以，，又，所以，即．故答案为：．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知C是平面上一点，，．（1）若，求的值；（2）若，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量的几何意义做出图形，然后根据向量的线性运算及数量积运算法则进行计算即可；（2）令为的中点，则结合当三点共线时，最大，即可求解.【小问1详解】如图①，因为，所以，且，则，又，则，又因为【小问2详解】如图②，令为中点，则所以三点共线，若形成三角形，则有,故所以当三点共线时，最大，为，此时,故的最大值为18.已知内角的对边分别为，且满足（1）求角C；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得，利用余弦定理，求得，即可求解；（2）由（1）得，根据为锐角三角形，求得，利用正弦定理和面积公式，以及三角恒等变换的公式化简得到，进而求得面积的取值范围.【详解】（1）因为，由正弦定理，可得，整理得，所以，又因为，所以.（2）由（1）知：，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，又由正弦定理知，可得，所以的面积为，因为，所以，可得，所以，即，所以的面积的取值范围是.【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.19.设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量模长的坐标表示，结合同角平方关系即可求解.（2）由数量积的坐标表示，及三角恒等变换即可求解.【小问1详解】∵，，，∴，即，得，又∵，则，∴，解得.【小问2详解】∵，则，∴20.如图，在三棱锥S—ABC中，SA＝SB，AC＝BC，O为AB的中点，SO⊥平面ABC，AB＝4，OC＝2，N是SA的中点，CN与SO所成的角为α，且tanα＝2.(1)证明：OC⊥ON；(2)求三棱锥S—ABC的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得OC⊥AB，再根据线面垂直性质得OC⊥SO，最后根据线面垂直判定定理得OC⊥平面SAB，即得结果，（2）先确定线面角，解得高SO，再根据锥体体积公式求结果.【详解】(1)证明∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，又SO⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，∴OC⊥SO，又AB∩SO＝O，AB，SO⊂平面SAB，∴OC⊥平面SAB，又∵ON⊂平面SAB，∴OC⊥ON.(2)解设OA的中点为M，连接MN，MC，则MN∥SO，故∠CNM即为CN与SO所成的角α，又MC⊥MN且tanα＝2，∴MC＝2MN＝SO，又MC＝＝＝，即SO＝，∴三棱锥S—ABC的体积V＝Sh＝24＝.【点睛】本题考查线面垂直判定与性质以及锥体体积公式，考查基本分析论证求解能力，属中档题.21