江苏省海安某中学、宿迁中学2023-2024学年高三年级下册模拟考试数学试卷（含答案解析）

江苏省海安高级中学、宿迁中学2023-2024学年高三下学期模

拟考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知复数4=l-2i,Zz=a+2i（其中i为虚数单位，qeR）.若4•z?是纯虚数，则。=（）

A.-4B.-1C.1D.4

JT

2.直线％•tang+y-2=。的倾斜角为（）

71-3兀-7兀-4兀

A4.-B.—C.—D.—

510105

3.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不

同的选法共有

A.60种B.70种C.75种D.150种

4.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，且%=5,4+S“=46,则%•%（）是｛4｝中的（）

A.第28项B.第29项C.第30项D.第32项

5.在「ABC中，已知/B=30,c=2,则％=0'”是“/C=45”成立的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

丫2

6.已知双曲线C:—=直线/：x-y+l=0.双曲线C上的点尸到直线/的距离最小,

4

则点夕的横坐标为（)

A,也口4g「2百D.一必

D.-----C.--------

3333

7.若命题：Fa,Z?eR,使得a-cosaO—cosQ”为假命题，则。,b的大小关系为（）

A.a<bB.a>bC.a<bD.a>b

8.设实数。，b,c满足，4+廿VcVl贝lJa+6+c的最小值为（)

A.叵1

B.--C.--D.-1

222

9.下列可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为（）

A.方差B.平均数C.中位数D.众数

二、多选题

10.已知不等式（办+3乂》2_4Vo对任意xe（O,+⑹恒成立，其中。，6是整数，则a+b的

取值可以为（）

A.-4B.-2C.0D.8

11.直线/与抛物线C：/=2py（p>0）相交于A,3两点，过A,3两点分别作该抛物线的

切线，与直线y=-。均交于点尸，则下列选项正确的是（）

A.直线/过定点（0,p）

B.A,8两点的纵坐标之和的最小值为2P

C.存在某一条直线/,使得NAPS为直角

D.设点Q（0,2p）在直线/上的射影为H,则直线斜率的取值范围是

（^30,-6]u["甸

三、填空题

12.已知集合A/={x|x2-5x+6V0},N={x|cos尤<-：},则McN=.

口上了粕外、[y/x,0<x<\（1）

13.已知函数了（%）=<,右/（。）=/（。+1）,则〃一|=_________.

2（x-l）,x>l\aj

14.在长方体ABCD-AAGA中，AB=4,BC=BBl=2,E,尸分别是棱AB,AA的

中点，则平面CEF截该长方体所得的截面为边形，截面面积

为.

四、解答题

15.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知棱AB、AD.AP两两垂直，长度分别为1,2,2.若

DC=AABCA.^R）,且向量PC与8。夹角的余弦值为更匕

15

试卷第2页，共4页

(1)求1的值;

(2)求直线PB与平面尸。所成角的正弦值.

16.已知向量力2=(008%,-5111%),〃=(cosx,sin尤-26cosx),xeR.设/(x)="viz.

⑴求函数〃X)的单调递增区间；

⑵在二ABC中，若〃4AC)=1,AB=2,BC=娓,2BAC的平分线交8C于点。，求AO

长.

17.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：m+±=l(a>b>0)的离心率为丑，耳，F2分

ab2

别是椭圆的左、右焦点，过B作两条互相垂直的直线4，3直线4与c交于A,8两点，

直线6与c交于。，E两点，且"右鸟的周长是4+2后.

⑴求椭圆C的方程；

3

⑵当卜邳=50同时，求，ODE的面积.

18.设函数/(x)=(x-a)lnx-x+a,aeR.

(1)若。=0,求函数/(尤)的单调区间；

(2)若-白<。<0,试判断函数/'(X)在区间(eWe?)内的极值点的个数，并说明理由；

(3)求证：对任意的正数。，都存在实数好满足：对任意的t+a),f(x)<a-l.

19.“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地为了弘扬文化传统，发展“地摊

经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.

(1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为3、C两类，抽到较易的B类并答对购物

打八折优惠，抽到稍难的C类并答对购物打七折优惠，抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸

箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有A字母，3张写有B字母，2张写有C字母，顾

客每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有A的卡片，则再抽1次，直至取到写有

B或C卡片为止，求该顾客取到写有B卡片的概率.

（2）小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，

他在街道上一共会遇到"条灯谜（不妨设每条灯谜的适合度各不相同），最适合的灯谜出现

在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前左。＜左＜小条灯谜，自第k+1条

开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条，设％="/,

记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为P.

①若n=4,k-2,求P；

②当”趋向于无穷大时，从理论的角度，求尸的最大值及尸取最大值时r的值.（取

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.A

【分析】求出z「z2的代数形式，再根据实部为零，虚部不为零列式计算.

【详解】z1-z2=(l-2i)(<7+2i)=tz+4+(2-2a)i,

因为ZI-z?是纯虚数，

(2+4=0

所以解得a=-4.

2—2〃w0

故选：A.

2.D

【分析】先将直线变形成斜截式，再根据倾斜角的取值范围结合直线斜率公式求得即可.

【详解】由题意可将原直线方程变形为k-12!171T7+2=131471r17+2,

由倾斜角的取值范围[o㈤，所以倾斜角为t47r.即A、B、C错误.

故选：D.

3.C

【详解】试题分析：因螃遨7母4-器,故应选C.

考点：排列数组合数公式及运用.

4.C

【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式列方程组求出首项和公差，再求出生•如)，进

而根据通项公式可得项数.

【详解】设等差数列｛七｝的公差为d,

[ar=a,+4d=5[CL=13

则「Myg解得:

[ai+Sn=al+llal+55d=46\d=-2

所以%.%o=(%+2d乂q+9d)=9x(-5)=-45,

令册=%+(〃—l)d=13-2(〃-1)=-45,

得〃=30,即。3,%()是｛〃〃｝中的第30项.

答案第1页，共14页

故选：c.

5.B

【分析】根据正弦定理以及“大边对大角”即可判断出结果.

bc垃一2

【详解】由正弦定理得二一二二一，即丁一碇，

sinBsmC

2

B

sinC=——，又因为，

2

:.C=45或C=135；

则％=V2”是“NC=45”成立的必要不充分条件.

故选：B.

6.D

【分析】先判断直线/与双曲线无交点，设4：“>+根=。与直线/平行并与双曲线相切，求

出加的值，进而求出尸的横坐标即可.

【详解】

由题意得直线/：%-y+i=o与双曲线无交点；

X—y+m=0

设直线/的平行线4：x-y+"z=0,直曲联立­/2,

----y=1

14'

整理得：3x2+Smx+4m2+4=0,

由直线4与双曲线相切知：（8m）2—4x3x（4%2+4）=。，

解得加=±若，由图形可知根=石时，双曲线C上的点P到直线/的距离最小，

代入3x?+8mx+4〃/+4=0,艮［13x?+8百x+16=0,解得x=—4晅.

3

故选：D.

7.B

【分析】由命题的否定为真命题，转化为a+cosa>6+cosb成立，构造函数利用导数判断

单调性即可得解.

答案第2页，共14页

【详解】由题意，命题的否定“Va,bwR,使得a-cos〃>》-cosa”为真命题，

即a+cosa>〃+cosb,

设/(%)=x+cosx,则/r(x)=l-sinx>0,

所以/(%)为增函数，

所以由/(〃)>/())可知

故选：B

8.B

【分析】根据题意进行转化6+6+^2=(«+1)2+(^+1)2-1,利用完全平方式

的性质即可得解.

【详解】由qZ+kwcWl可得：

a+b+c>a+b+a2+b2=(<7+—)2+(b+—)2>——,

2222

当°=6时取等号，

2

所以a+6+c的最小值为

2

故选：B

9.A

【分析】根据特征数的特点选择.

【详解】可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为方差.

故选：A.

10.BD

【分析】对b分类讨论，当5V0时，由(6+3)(尤2一/；)40得到⑪+340在xe(0,+co)上恒

成立，则“不存在；当6>0时，由(依+3乂尤2-外40,结合图象利用数学结合的思想得出

a,b的整数解.

【详解】当》<0时，由(以+3)(f—b)«0得至1」依+3«0在%£(。,+℃))上恒成立，则〃不存在，

当〃>0时，由(QX+3)(%2-6)(0可设/(x)=ov+3,g(x)=x2-b,

又g(x)的大致图象如下，

答案第3页，共14页

a＜0a=-la=-3

那么由题意可知：3万，再由是整数得到｛:一;，或｛：一；，

——=7bo=90=1,

a

因止匕。+b=8或1-2.

故选：BD

11.ABD

【分析】设直线/的方程为＞=丘+〃7,联立方程组，求得占+%=2区,玉％=-2p机，根据题意,

，X

求得y=一,得出在点A和3处的切线方程，联立方程组求得，=-机，得到机=P,可得判

p

定A正确；由必+%=2p（左2+1）,可判定B正确；由左PB-MA=T，得到项看=-P?，可判

定C不正确；求得直线。〃的方程为v=-9x+2p,联立方程组求得//的坐标，结合斜率

K

公式和基本不等式，可判定D正确.

【详解】由题意，直线的斜率一定存在，设直线/的方程为＞=原+，，2,

y=kx+m

联立方程组2，-2pkx-2pm=0,

x=2py

设A0,%),B(X2,y2),贝U△=(—2p上7+4x2p机>0,

且菁+%2=2pk,xlx2=-2Pm,

对于A中，由抛物线/=2py,可得＞=\-彳2,则炉x

2PP

所以在点A的切线方程为三寸…j,即（一3即二:告

同理可得：在点8处的切线方程为丫=匹尤-m，

P2P

p2〉解得安牛=用=一%

联立方程组

)=强_2P2p

XF

'P

又因为过A,B两点的切线与直线y=-p均交于点尸，所以一根

答案第4页，共14页

即所以直线/的方程为y=^+P,恒过定点（0,P）,所以A正确;

对于B中，由%+%=履1+。+日2+P=2p（%2+l）22p,当且仅当％=0时，等号成立,

即A8两点的纵坐标之和的最小值为2。，所以B正确；

对于C中，假设存在某一条直线/,使得NAP8为直角，即如8•勺•amT，

2

可得五.二=-1,gpX1x2=-p,又因为王马二-2。。，（此时矛盾）,

PP

所以不存在直线/,使得有为直角，所以C不正确；

对于D中，因为直线"近+〃，所以为则直线。〃的方程为尸*+2人

y=kx+p

解得户羔（2好+l）p,即玖法（2F+1XP.

联立方程组k2+lj

y=一^龙+2。方+1

K

Qk2+l）pp

又由F（0,4），所以FH的斜率为kFH=———-=当±1=:郃+：）,

2kp2k2k

F+i

当左>0时，3k+->2.l3kx-=2y/3,当且仅当出=电时，等号成立；

k'k3

当左<0时，3^+-<-2.£xl=-2>/3,当且仅当左=-且时，等号成立，

k\k3

所以kW-右或左26，即直线FH的斜率为卜”,-右］。［括,+。），所以D正确.

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：

1、几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲

线的定义、图形、几何性质来解决；

2、函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个

函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）

三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.

答案第5页，共14页

12.{x|-＜xV3}

【分析】求出集合AB中元素范围，然后求交集即可.

【详角单】M={x\x1-5x+6<Q]={x\2<x<3],

1271471

N={x|cosx<——}={x\—+2kn<x<—+21ai,keZ},

2兀

则A/cN={%|—<x<3].

兀

故答案为：{尤1年2〈尤43}

13.6

【分析】根据题中条件，分别讨论0＜。＜1和两种情况，解方程，求出。，进而可求出

结果.

y/x,0<X<1

【详解】因为"%)=＜f(a)=f(a+l)

2(X~1),X>1

当0＜。＜1时，a+l＞l,贝lj有6=2(a+l-1)=2°,解得。=工，符合题意,

4

所以C=〃4)=2-(4-1)=6；

当。＞1时，a+l＞l,则有2(々-1)=2(々+1—1),无解；

综上所述：/[£|=6.

故答案为6

【点睛】本题主要考查分段函数求值的问题，灵活运用分类讨论的思想，即可求解，属于常

考题型.

14-五万邛1TM

【分析】利用面面平行的性质以及基本事实，可得截面，然后截面面积为SFMC+SEFC+SNFE

分别求解相加即可.

【详解】过/作EC的平行线交2G于M,交A用于。连接PE,交AA于N,连接印,,

则直线用/与直线EC共面，且点、NePE,PeMF,EeEC,

则点N也在直线月澳与直线EC确定的面上，

所以可得五边形EOWFN为平面CEF截该长方体所得的截面，

答案第6页，共14页

如图：H为AA中点，G为。G中点，明显有c/〃GH//4G,

所以PM//4G,所以M为。C靠近2的四等分点,

又D\M"AP,且尸为4。中点，所以RM=PA

…贴，所以笨=靠=^=；,即N为例靠近A的三等分点，

所以FAf=VITi=0,MC=j32+22=屈,/。=Jl+4?+22=屈,

22=^l,£C=V22+22=2>/2,EF=V22+22+l=3-

FN=,NE=

2_i_iQ_QI39+21-811

cosZFMC=——产——=一一一,cosZEFC=

2xV2xV13V262X3XV2T_35/2T'

1304x13

—+9---------r

cosNNFE=99_7

2x®3飞科

3

=里，sin/EFC=2g

所以sinN月MC

V26西'

2V17

sinNNFE

3A/13

aK屈'rF2A/T71713c2#711屈

以—xJ2x5/13x―,—H—x3x,21x—^=-H—x-----x3x—­=='=--------.

2V2623V212337136

故答案为：五；二典

6

答案第7页，共14页

15.(1)4=2；(2)巫.

5

【分析】(1)建立空间直角坐标系，由。C=/L4B，得C(42,0),从而尸0=(2,2,-2)代入

cos(PC,BD)=半解得答案；

(2)求出平面PCD的法向量，再求法向量与尸8的夹角的余弦值可得到答案.

【详解】(1)依题意，以A为坐标原点，

AB.AD,AP分别为不y、z轴建立空间直角坐标系A一孙z,8(1,0,0),。(0,2,0),尸(0,0,2),

因为。C=/IAB，所以C(Z2,0),

从而尸C=(4,2,-2),BD=(-1,2,0),

则由cos(PC,BO)=坐，解得4=10(舍去)或4=2.

ULUL

(2)易得尸C=(2,2,-2),PD=(0,2,—2)，设平面PCD的法向量”=(x,y,z),

贝!!"•PCuO，〃•尸。=0，即x+y-z=0,且y-z=O,所以x=0,

UU

不妨取y=z=l,则平面PCD的一个法向量w=(0,1,1),又易得尸3=(1,0,-2)，

所以直线尸3与平面尸。所成角的正弦值为巫.

5

【点睛】本题主要考查用向量求解空间几何体的线线关系、线面关系，关键是坐标运算、公

式运用要正确.

jrjr

16.(1)(左万,kjiH—),左eZ；

36

⑵AD=2.

答案第8页，共14页

TTTCTTTT

【分析】(1)由/(x)=2sin(2xH—),令---<2XH—<2k兀、—,k£Z,即可得解；

6262

(2)由题意得：2sin(2ZBAC+g)=l,根据三角形内角的范围可得所以N8AC=f,再由余

03

弦定理得解得AC,根据N54C的平分线交8C于点。，由5^^+Sc.=SABC结合面积公

式即可得解.

【详解】(1)/(x)=cos2x-sinx(sinx-2A/3COSX)=cos2x-sin2x+2^sinxcosx

=A/3sin2x+cos2x=sin2x+；cos2x)=2sin(2x+令

TTTTTT

令2k兀---<2x-\——<IkjiH——,kwZ,

262

rrTT

贝!<x<kn-\——,kEZ,

36

jrIT

所以函数的单调增区间为(左万-二,br+:)，keZ；

3o

TT

(2)由题意得：2sin(2ZBAC+-)=l,

6

TTTT13%

因为0<N&4C<»,所以一<2N3AC+—<——,

666

BP2ZBAC+-=—,所以ZBAC=K,

663

在，ABC中，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosABAC,

即6=4+AC2-2AC,解得AC=V5+1,

因为4c的平分线交BC于点。，所以=S^^gc,

I7T17T1TT

所以—ARADsin—+—ACAOsin—=—ACAHsin—,

262623

所以+叵44。=会昱^,解得AD=2.

242

17.(1)—+y2=1

4

⑵迪

3

【分析】(1)由椭圆离心率和焦点三角形的周长，列方程组求出得椭圆C的方程；

3

(2)设直线《，4的方程，与椭圆联立，利用韦达定理和42=万。石求出DE和4的方程,

再求出。到直线4的距离，可求ODE的面积.

答案第9页，共14页

2〃+2c=4+2A/3

【详解】(1)由题意知，＜一，解得Q=2/=l,c=百，

a2

b2=a2-c2

所以椭圆。的方程为二十丁=1；

4

a

(2)若直线乙的斜率不存在，则直线4的斜率为0,不满足恒同=1。耳,

直线4的的斜率为0,则A,《,g三点共线，不合题意，

所以直线4的斜率存在且不为0,设直线4的方程为x=my+^,

，消去x得事1卜+学，十。,

y/3m1

设4（石,乂）,3（%2，%），则%+%=——r—，乂%=---一，

~"r«m".

—+1—+1

44

■■\AB\=历+=^/^.4^^=4工］）.

同理可得|£＞同=4"+”=」病+：）.,

11

141+4疗

-m2十今

^\AB\=^-\DE\,得外1+l）=j.4（病+1）,解得疗=2,则同=:，

2m2+421+4m23

.,•直线4的方程为y=±忘-退），

^/6一X岂G迪

...坐标原点。到直线4的距离为d=V2，S

-V30DE233

答案第10页，共14页

即,ODE的面积的面积为其I.

3

【点睛】方法点睛：

解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立,消去x(或y)建立一元二次方程，

然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的

设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥

曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形

的面积等问题.

18.(1)减区间(0,1),增区间(L+8)

⑵/⑴在(e'e?)内有一个极值点

(3)证明见解析

【分析】(1)求解/'(x)=ln无，利用/G)>0,(尤)<0,解不等式求解单调递增区间，单

调递减区间.

(2)((x)=lnx-3,其中x>0,再次构造函数令g(x)=；vlnx-a,分析g(x)的零点情

X

况.g'(无)=In尤+1,令g，(x)=0,X=L列表分析得出g(x)单调性,判断g(x)min=g(-)=---a,

eee

2

由-=Va<。，可判断f(x)的零点个数，即可判断了(x)的极值点个数.

e

(3)先猜想xe(l,l+a),恒成立.再运用导数判断证明.令G(无)=ln尤-x+1,

x>l.G'(x)=1-l<0,求解最大值，得出GQ)<G(l)=0即可.

【详解】(1)当。=0时，/(x)=xlnx-x,f'(x)=lnx,

令((x)=。，x=l,列表分析

X(0,1)1(L+CO)

f\x)—0+

/(x)单调递减单调递增

故的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为；

(2)/(x)=(x-4)lnx-x+a,f'{x)=Inx--=,其中尤>o,

答案第11页，共14页

g(x)=xlnx-a,g'(x)=ln%+l,令g'(x)=O,x=-,

列表分析:

11、

X(0,-)（一，+8）

eee

g'(x)—0+

g（无）单调递减单调递增

/、/、1

g(%)min=g(7=----a，

ee

而:当=1/-恁=-1-枇，f'(e-2)=-2-ae2=-(2+«e2),/,(e2)=2-4=4(2e2-fl),

eeee

211i

若-<a<0,贝"(_)=ln——oe<0,/'(e-2)=-(2+ae2)<0,fr(e2)=—(2e2-A)>0,

eeee

因此/'(x)在(e-2,e2)上有一个零点，所以f(x)在(e-2,e?)内有一个极值点；

(3)猜想：%£(1,1+〃)，/(工)<。-1恒成立.

证明如下：

由(2)得g(x)在(，,+8)上单调递增，且仪1)=一4<0,g(l+a)=(l+a)ln(l+a)—〃.

因为当x〉l时，lnx>l--(*),

x

所以g(l+Q)>(1+々)(1-----)—a=0.

Q+1

故g(X)在(1,1+。)上存在唯一的零点，设为七.由

X(1,XO)(%04+。)

f\x)—0+

fM单调递减单调递增

知，xe(l,l+a),/(x)<max{/(l),/(l+6z)},

X/(I+a)=ln(l+a)-1,而x>l时，lnx<x-l(**),

所以/(l+a)v(a+l)_l_l=a_l=/(1).

即无£(1,1+Q),f(x)<a-l,

所以对任意的正数"，都存在实数，=1,使对任意的%使“

答案第12页，共14页

补充证明(*):

111X—}

令歹(x)=lnx+—―1,x>\.F'(x)=------=^>0,

尤XX"7X"

所以尸(X)在［1,+8)上单调递增.

所以x>l时，