2025优化设计一轮课时规范练57　空间直线、平面的平行

课时规范练57空间直线、平面的平行一、基础巩固练1.已知直线l,m,平面α,β,γ,则下列条件能推出l∥m的是()A.l⊂α,m⊂β,α∥βB.α∥β,α∩γ=l,β∩γ=mC.l∥α,m⊂αD.l⊂α,α∩β=m2.(2024·广西柳州模拟)在三棱锥D-ABC中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,以下与直线MN平行的是()A.直线CD B.平面ABDC.平面ACD D.平面BCD3.(2024·陕西榆林模拟)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,侧棱长是25,M为A1C1的中点,N是侧面BCC1B1上一点,且MN∥平面ABC1,则线段MN的最大值为()A.22 B.23 C.10 D.34.如图所示,平面α∥平面β,PA=6,AB=2,BD=12,则AC=.

5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,F为CC1的中点.求证:(1)BD1∥平面AEC;(2)平面AEC∥平面BFD1.6.如图,P是△ABC所在平面外一点,M,N分别是PA和AB的中点,过点M,N作平行于直线AC的平面α.(1)画出平面α分别与平面ABC、平面PBC、平面PAC的交线;(2)试对你的画法给出证明.二、综合提升练7.(多选题)(2024·重庆八中校考)如下图,点A,B,C,P,Q是正方体的顶点或所在棱的中点,则满足PQ∥平面ABC的有()8.(2024·四川绵阳模拟)如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,AB=4,M为线段SA上一点,且AM=2MS,平面MCD与侧棱BS交于点N,则MN=.

9.如图,在三棱柱BCF-ADE中,若G,H分别是线段AC,DF的中点.(1)求证:GH∥平面BFC.(2)在线段CD上是否存在一点P,使得平面GHP∥平面BCF?若存在,指出P的具体位置并证明;若不存在,说明理由.10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,M为PA的中点,E是线段PC上靠近C点的一个三等分点.(1)若N是线段PD上的点,MN∥平面ABCD,判断直线MN与BC的位置关系,并加以证明.(2)在PB上是否存在一点Q,使AQ∥平面BDE成立?若存在,请予以证明,若不存在,说明理由.

课时规范练57空间直线、平面的平行1.B解析选项A中,直线l,m也可能异面,故A错误;选项B中,根据面面平行的性质定理,可推出l∥m,故B正确;选项C中,直线l,m也可能异面,故C错误;选项D中,直线l,m也可能相交或异面,故D错误.2.B解析如图所示,取CD的中点为E,连接AE,BE,由M,N分别是△ACD和△BCD的重心,可得AMME=21,BNNE=2因为直线CD与AB不平行,则直线CD与MN不平行,故A错误;因为MN∥AB,且MN⊄平面ABD,AB⊂平面ABD,所以MN∥平面ABD,故B正确;因为M∈平面ACD,N∉平面ACD,所以直线MN与平面ACD不平行,故C错误;因为N∈平面BCD,M∉平面BCD,所以直线MN与平面BCD不平行,故D错误.3.A解析如图,取B1C1的中点D,取BB1的中点E,连接MD,DE,ME.由三角形中位线定理,得DE∥BC1.又DE⊄平面ABC1,BC1⊂平面ABC1,所以DE∥平面ABC1.因为M为A1C1的中点,所以MD∥A1B1∥AB.因为MD⊄平面ABC1,AB⊂平面ABC1,所以MD∥平面ABC1.又DE∩MD=D,DE⊂平面DEM,MD⊂平面DEM,所以平面DEM∥平面ABC1.因为N是侧面BCC1B1上一点,且MN∥平面ABC1,所以N在线段DE上.因为MB1=22-12=3,又MD=1,则线段MN的长度的取值范围为[1,22],所以线段MN的最大值为224.9解析因为平面α∥平面β,平面α∩平面PBD=AC,平面β∩平面PBD=BD,所以AC∥BD,且△PAC∽△PBD,故ACBD=PAPB=PAPA+5.证明(1)连接BD交AC于点O,则O为BD的中点.因为E为DD1的中点,则BD1∥OE.又BD1⊄平面AEC,OE⊂平面AEC,所以BD1∥平面AEC.(2)因为CC1∥DD1,且CC1=DD1,E为DD1的中点,F为CC1的中点,所以CF∥D1E,CF=D1E,所以四边形CED1F为平行四边形,所以D1F∥CE.因为D1F⊄平面AEC,CE⊂平面AEC,所以D1F∥平面AEC.又BD1∥平面AEC,BD1∩D1F=D1,BD1⊂平面BFD1,D1F⊂平面BFD1,故平面AEC∥平面BFD1.6.(1)解过点N作NE∥AC交BC于点E,过点M作MF∥AC交PC于点F,连接EF,则平面MNEF即为平行于直线AC的平面α,直线NE,EF,MF分别是平面α与平面ABC,平面PBC,平面PAC的交线.(2)证明∵NE∥AC,MF∥AC,∴NE∥MF,∴直线NE与MF共面,直线NE,EF,MF分别是平面MNEF与平面ABC,平面PBC,平面PAC的交线.∵NE∥AC,NE⊂平面MNEF,AC⊄平面MNEF,∴AC∥平面MNEF.故平面MNEF为所求的平面α.7.BD解析对于A,如图,连接BD,则BD∥PQ.又平面ABC∩BD=B,则BD⊄平面ABC,故直线PQ与平面ABC不平行,故A不正确;对于B,根据三角形中位线定理可得,PQ∥AC,PQ⊄平面ABC,AC⊂平面ABC,所以PQ∥平面ABC,故B正确;对于C,如图,取FN的中点D,连接EF,MN,CD,BD,PC,QD.由题意得,AB∥EF,PQ∥MN,EF∥MN∥CD.又AC∥DQ,CP∥BD,所以A,B,C,D,P,Q六点共面,故C不正确;对于D,如图,连接PD交AB于点O,连接OC.在正方体中,由于四边形APBD为正方形,所以O为PD中点.又C为DQ中点,所以OC∥PQ.因为PQ⊄平面ABC,OC⊂平面ABC,所以PQ∥平面ABC,故D正确.故选BD.8.43解析因为AB∥CD,AB⊂平面SAB,CD⊄平面SAB,所以CD∥平面SAB.因为平面CDMN∩平面SAB=MN,CD⊂平面CDMN所以CD∥MN,则AB∥MN,故MNAB=SMSA9.(1)证明连接BD.∵四边形ABCD为平行四边形,G是线段BD的中点,则G,H分别是线段BD,DF的中点,故GH∥BF.又BF⊂平面BFC,GH⊄平面BFC,故有GH∥平面BFC.(2)解存在,P是线段CD的中点.理由如下:由(1)可知,GH∥BF.又GH⊂平面GHP,BF⊄平面GHP,∴BF∥平面GHP.连接PG,PH,∵P,H分别是线段CD,DF的中点,则HP∥CF.又HP⊂平面GHP,CF⊄平面GHP,∴CF∥平面GHP.∵BF∩CF=F,BF⊂平面BCF,CF⊂平面BCF,故平面GHP∥平面BCF.10.解(1)MN∥BC,理由如下:因为MN∥平面ABCD,MN⊂平面PAD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以MN∥AD.又因为四边形ABCD为平行四边形,则BC∥AD,所以MN∥BC.(2)当Q是PB的中点时,AQ∥平面BDE.理由如下:取PE的中点F,连接QF.因为Q为PB的中点,所以QF∥BE.因为QF⊄平面BDE,BE⊂平面BDE,所以QF∥