线性代数及应用（第2版）课件 -5 初等变换与初等矩阵

第1章矩阵及应用1.5初等变换与初等矩阵初等变换求解线性方程组引例对应的增广矩阵

后一个方程组有唯一解，它和原方程组是同解方程组，所以原方程组有唯一解：

对方程组反复进行了三种变换，即：（1）互换两个方程的位置；（2）用一个非零数

k乘某个方程；（3）把一个方程的

k倍加到另一个方程上．这三种变换称为线性方程组的初等变换．初等变换下列三种变换称为矩阵的初等行变换：对调两行，记作；以非零常数

k乘某一行的所有元素，记作；某一行加上另一行的

k倍，记作．把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义．矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．定义1初等变换若矩阵

A经过一系列初等行(列)变换化为矩阵

B，若矩阵

A经过一系列初等变换化为矩阵

B，则称

A与

B123定义2则称

A与

B行(列)等价，记作等价，记作自反性：任意矩阵

A

与自身等价；对称性：若矩阵A与矩阵

B等价,则矩阵B与矩阵A等价；传递性：若矩阵A与矩阵B等价，矩阵B与矩阵

C等价，则矩阵A与矩阵C等价.初等变换求解线性方程组解对应方程组为例1初等变换行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素．行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为1；这些非零元所在的列的其它元素都为零．初等变换满足下列两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵

(简称阶梯形)（1）若有零行，则零行位于非零行的下方；（2）每个首非零元（非零行从左边数起第一个不为零的元）前面零的个数逐行增加．例如初等变换首非零元为

1，且首非零元所在列的其它元都为零的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵，简称最简形．例如定理1推论初等变换用初等行变换将矩阵

A化成阶梯形和最简形．解阶梯形最简形练习初等变换左上角为单位矩阵，其它元素均为零的矩阵称为标准形矩阵，简称标准形．注初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵．定义3由单位矩阵经过一次初等变换而得到的方阵称为初等矩阵．

初等矩阵（1）交换单位阵

的第

行和第

行，或交换

第

列和第

列，得到的初等矩阵记为（2）用非零的数

乘单位阵的第

行或第

列得到的

初等矩阵记为初等矩阵（3）以

k

乘单位阵第

j行加到第

i行，记作

Em(i,j(k))．以

k

乘单位阵第

i列加到第

j列．

两种理解！初等矩阵初等矩阵结论把矩阵

A的第

i行与第

j行对调，即.把矩阵

A的第

i列与第

j列对调，即.以非零常数

k乘矩阵

A的第

i行，即

.以非零常数

k乘矩阵

A的第

i列，即

.把

A第

j行的

k倍加到第

i行，即

.把

A第

i

列的

k倍加到第

j列，即

.初等矩阵设

A是一个

m×n矩阵，——左行右列定理2

对

A施行一次初等行变换，相当于在左边乘以相应的

m阶初等矩阵；

对

A施行一次初等列变换，相当于在右边乘以相应的

n阶初等矩阵．初等矩阵均是可逆矩阵，且其逆矩阵还是初等矩阵．说明初等矩阵例2解可看成是先对矩阵

A实施一次交换第

2

行和第

3行的变换，再实施一次第

1行乘以数

k加到第

2行的变换所得到的.这相当于先后用初等矩阵左乘矩阵，初等矩阵由定理1和定理2可知，以下结论成立设

A是任意

m×n矩阵，必存在行最简矩阵

U和设

A是任意

m×n矩阵，必存在

m阶可逆矩阵

P定理m阶初等矩阵定理和

n阶可逆矩阵

Q，使得其中初等矩阵n阶方阵可逆的充要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积．(必要性)可见A

表示成了一些初等矩阵的乘积．因为可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵，故

A可逆．证明

(充分性)定理3初等矩阵123m×n

阶矩阵

A与

B等价的充要条件是存在m阶定理下面命题互相等价：n阶方阵

A

可逆；方阵A可表为有限个初等矩阵的乘积.方阵A行等价于n阶单位矩阵；推论可逆矩阵

P与

n阶可逆矩阵

Q，使初等矩阵首先构造分块矩阵

；01OPTION02OPTION对矩阵

实施初等行变换，将

化为行最简形矩阵；03OPTION

如果

不能行等价于

，则矩阵

不可逆；若

能行等价于

，

则

可逆，且