点的运动学课件

矢量法研究点的运动用直角坐标法研究点的运动用自然法研究点的运动点的速度、加速度在柱坐标和极坐标中的投影习题与思考题6.1矢量法研究点的运动

矢量法即用矢量来表达点的各种运动量(包括点的运动方程、运动轨迹、速度和加速度)的方法。矢量法研究点的运动，表达形式简单，适用于理论推导。一、运动方程

运动的几何点称为动点，设动点沿任一空间曲线运动，选空间任意点作为原点。则动点在空间的位置可用矢径r表示，如图6.1所示。当动点运动时，矢径r随时间t变化，是时间的单值连续矢函数。(6.1)

式(6.1)是以矢量表示的点的运动方程。不难理解这也是用参数表示的轨迹方程。当动点运动时，矢径端点所描绘的矢端曲线就是动点的轨迹。设矢径r在直角坐标轴上的三个投影分别为x、y、z(也是动点M的坐标)，i、j、k分别表示沿三个坐标轴的单位矢量。则(6.2)图6.1点M的矢径图6.2动点M的位置6.1矢量法研究点的运动二、点的速度

点的速度用v表示。当点沿曲线运动时，每一瞬时点的速度矢量的大小表示点沿轨迹运动的快慢，矢量的指向表示运动的方向。设有动点沿轨迹运动，为了确定其位置，取原点O。在瞬时t，动点的位置由矢径r所确定，如图6.2所示。6.1矢量法研究点的运动

在瞬时，即经过时间间隔△t后，动点位于M’点，由矢径r’所确定。在△t时间间隔内动点矢径的变化量用△r表示，即称为在△t时间内动点M的位移。位移△r和相应时间△t之比，称为动点在时间间隔△t内的平均速度。以v*表示。则：v*=(如图6.2所示)

当△t趋近于零，M’点趋近于M点，则v*趋近于一极限值，此极限值称为动点M在瞬时t的速度。则

v(6.3)

即“动点的速度等于它的矢径r对时间的一阶导数”。动点的速度沿轨迹在M点的切线，指向运动的一方。速度矢量也可表示为：(6.4)6.1矢量法研究点的运动三、点的加速度

点的加速度用a表示。动点运动时，一般情况下，其速度的大小和方向都随时间t而变化，用加速度表示每一瞬时点的速度对时间的变化率。设动点沿曲线变速运动，在瞬时t，速度为v，动点在M点。在t+△t瞬时，速度为v’，动点在M’点。在时间△t间隔内速度矢的增量为△v=v’-v，故动点的平均加速度，如图6.3所示。图6.3动点M的平均加速度

图6.4速度矢端图6.1矢量法研究点的运动当△t趋近于零时，a*的极限值称为动点在t瞬时的加速度，(6.5)

即“动点的加速度等于动点的速度对于时间的一阶导数；或等于其矢径对于时间的二阶导数”。任选一点O，把动点在连续不同瞬时的速度矢v，v'，v"

等都平行移到点O，并连接各速度矢的端点即得到一速度矢端图。可知瞬时加速度a的方向是沿着动点的速度矢端图的切线方向，如图6.4所示。加速度矢量a还可表示为：(6.6)6.2用直角坐标法研究点的运动

直角坐标法则是用直角坐标来表达点的各种运动量的方法。具体解题时常需应用直角坐标法。一、点的运动方程

动点M在空间运动时，任一瞬时它的位置都可用直角坐标系的中的三个坐标x、y、z来确定。其三个坐标x、y、z都是时间t的单值连续函数，即(6.7)

式(6.7)称为直角坐标形式的点的运动方程，如图6.5所示。运动方程中消去时间t，得式(6.8)称为点的轨迹方程。(6.8)6.2用直角坐标法研究点的运动

点M作平面曲线运动时，则运动方程为：(6.9)其轨迹方程为：(6.10)图6.5点的运动方程6.2用直角坐标法研究点的运动

二、点的速度v由式(6.3)知(6.11)又式中、、为速度v在三个坐标轴上的投影。所以得，，(6.12)6.2用直角坐标法研究点的运动

式(6.12)表明：“动点的速度在坐标轴上的投影，等于动点对应的位置坐标对时间t的一阶导数”。则速度的大小和方向余弦为(6.13)三、加速度a

由式(6.5)知6.2用直角坐标法研究点的运动

(6.14)又：式中为加速度在三个坐标轴上的投影。所以得式中为加速度在三个坐标轴上的投影。所以得(6.15)6.2用直角坐标法研究点的运动

上式表明：“动点的加速度在坐标轴上的投影，等于动点对应的位置坐标对于时间t的二阶导数。或等于相应的速度对时间t的一阶导数”。则加速度的大小和方向余弦为：(6.16)6.2用直角坐标法研究点的运动

【例6.1】如图6.6所示，飞轮半径R=50cm，绕O轴转动的转动轮上直线与水平线间的夹角的变化规律为，求点的运动方程、速度、加速度。解：选取直角坐标系如图6.6所示，则点的运动方程为图6.6飞轮上一点M的运动速度为加速度为6.2用直角坐标法研究点的运动

【例6.2】机构如图6.7所示，滑块作水平直线平动，滑块作铅垂直线平动。已知：,a,。求M点的运动方程，轨迹方程，M点的速度，加速度。图6.7传动机构解：建立如图所示的直角坐标系。(1)点的运动方程为：(2)M点的轨迹方程为，轨迹为椭圆。6.2用直角坐标法研究点的运动

(3)M点的速度和加速度为：6.2用直角坐标法研究点的运动

【例6.3】如图6.8所示，曲柄连杆机构，曲柄长OA=r，以匀速度绕O轴转动，。曲柄的一端用销子与长为L的连杆AB连接，连杆另一端A用销子与滑块B相连。由于连杆的带动，滑块B沿水平直线导槽作往复直线运动。求B滑块的运动方程、速度和加速度。图6.8曲柄连杆机构解：(1)滑块的运动方程。选坐标系Oxy。在任一瞬时，滑块B的位置为：和的关系从△OAB中用正弦定律，得或于是：所以6.2用直角坐标法研究点的运动

从上式可知，滑块的行程为2r。由二项式定理将展开，得通常当时，，这个数与1相比要小得多，因此展开式中从第三项起以后各项均可略去不计，于是得6.2用直角坐标法研究点的运动

则B滑块的运动方程为：(2)速度和加速度。6.3用自然法研究点的运动

自然法密切联系着轨迹的性质来分析点的运动，物理意义清晰，便于说明运动的性质。在动点的轨迹已知的情况下，采用自然法比较方便。一、运动方程

在工程实际问题中，有些点的运动轨迹往往是已知的。在轨迹上任取一固点O为作为原点，并规定在起点O某一边的弧长为正，在另一边的弧长为负，取轨迹作为参考系来确定动点位置的方法称为自然法，如图6.9所示。图6.9动点M的运动轨迹s为代数量，称为动点M的弧坐标。s是时间t的单值连续函数，可表示为

s=f(t) (6.17)这个方程称为动点沿已知轨迹的运动方程。6.3用自然法研究点的运动

二、

自然轴系

设动点运动的轨迹为一曲线AB，曲线可看成一系列极短的圆弧的连续组合，取一段微小弧段，它可看成为某一圆周上的一部分，并把它扩展成一圆。此圆称为曲线在M点的曲率圆，圆心O称为曲率中心，半径ρ称为曲率半径，所在平面称为密切面，如图6.10所示。过M点作轨迹切线，以S增大的一方为正，得切线轴，以表示其单位矢量。过M点作曲率圆法线，指向曲率中心O为正，得主法线轴n，以n表示其单位矢量。与、n相垂直的轴为副法线轴b，以b表示其单位矢量。方向为：。组成自然轴系。它是一个直角坐标系，但原点随动点运动，皆为变矢。图6.10自然轴系

图6.11点的速度6.3用自然法研究点的运动

三、点的速度

由6.1节的内容和图6.11所示，可得：(6.18)式中，方向为的极限方向，即M点轨迹的切线方向。即(6.19)

故：“速度的代数值等于动点的弧坐标对时间的一阶导数”。方向沿轨迹切线。若：＞0，点沿轨迹的正向运动；(指向与相同)。若：＜0，点沿轨迹的负向运动。(指向与相反)。6.3用自然法研究点的运动

四、点的加速度

由式(6.5)知：

式中，等号右边的第一项中表示速度大小对时间的变化率，第二项中的表示速度方向的单位矢量对时间的变化率。现作如下说明。第一项其大小：等于速度的代数值对时间的一阶导数。6.3用自然法研究点的运动

方向：沿着轨迹切线方向，称为切向加速度，以表示。若：＞0，则指向增加的一边，与方向相同。若：＜0，则指向减小的一边，与方向相反。即：

(6.20)2.第二项首先求，。设动点作曲线运动，如图6.12所示。6.3用自然法研究点的运动

图6.12点M作曲线运动

图6.13点的加速度在t瞬时，动点在M点，切线单位矢量为，经过时间，动点在M’点，切线单位矢量为。则，。所以点加速度的大小：6.3用自然法研究点的运动

方向：以与的夹角α表示，。当时，，。即沿主法线方向。故：。所以第二项称为法向加速度。以表示：即：表明速度方向随时间的变化率。

(6.21)6.3用自然法研究点的运动

3.加速度。因为α是在密切面内的，所以α在副法线方向的投影等于0。即所以a的大小为：方向为：(6.22)

(6.23)6.3用自然法研究点的运动

五、匀速和匀变速曲线运动的情况匀速运动

V=常数(6.24)2.匀变速曲线运动常数

(6.25)(6.26)由式(6.25)和式(6.26)消去时间t得：(6.27)【例6.4】用自然法求例6.1中点的运动方程，速度和加速度。6.3用自然法研究点的运动

解：A0为弧坐标原点，如图6.14所示。图6.14飞轮上一点M的运动6.3用自然法研究点的运动

【例6.5】已知点作平面曲线运动，其运动方程为：求在任一瞬时该点的切向加速度、法向加速度及轨迹曲线的曲率半径。解：由已知的运动方程求得动点在任一瞬时的速度与加速度的大小为切向加速度的大小为：法向加速度的大小为：轨迹曲线的曲率半径为：6.4点的速度、加速度在柱坐标和极坐标中的投影

如果动点的运动方程以柱坐标或极坐标表示，则点的速度和加速度可如下推导。一、运动方程柱坐标形式：

(6.28)式中

和z都是时间t的单值连续函数。式(6.28)称为柱坐标形式的运动方程。

设柱坐标的单位矢量为和k。三个矢量相互垂直，组成右手坐标系。动点M的矢径为r，即：。如图6.15所示。6.4点的速度、加速度在柱坐标和极坐标中的投影

当点作平面曲线运动时，采用极坐标表示法比较方便。取极点O与极轴，如图6.16所示。动点M的位置可用极坐标和确定。即(6.29)6.4点的速度、加速度在柱坐标和极坐标中的投影

式(6.29)称为用极坐标表示的点的运动方程。和为时间t的单值连续函数，消去时间t得极坐标表示的轨迹方程(6.30)图6.15点M运动的柱坐标

图6.16点M的极坐标表示6.4点的速度、加速度在柱坐标和极坐标中的投影

二、点的速度在柱坐标和极坐标中的投影

式中：,。在t瞬时，为；在瞬时为，如图6.17所示。图6.17点的速度在柱坐标和极坐标中的投影大小：

6.4点的速度、加速度在柱坐标和极坐标中的投影

方向：的方向，以和的夹角α表示，。当时，。即与垂直，指向旋转方向。所以动点M的速度为：(6.31)即点的速度在柱坐标中的投影为：

(6.32)6.4点的速度、加速度在柱坐标和极坐标中的投影

当动点M作平面曲线运动时，。点的速度在极坐标中的投影为：(6.33)

称为径向速度，称为横向速度。由这两个速度分量可求出速度的大小和方向。三、点的加速度在柱坐标和极坐标中的投影

将式(6.31)代入该式得6.4点的速度、加速度在柱坐标和极坐标中的投影

根据上一小节的讨论可得出在平面内旋转的单位矢量对时间取一次导数的结论：“单位矢量对时间的一次导数是在旋转平面内的另一矢量，其大小等于矢量的转角对时间的一阶导数的绝对值，其方向与原矢量垂直，指向旋转方向”。所以上式中，将代入上式，并整理得(6.34)6.4点的速度、加速度在柱坐标和极坐标中的投影

则点的加速度在柱坐标中的投影为(6.35)当动点M作平面曲线运动时，αZ=0。那么点的加速度在极坐标中的投影为(6.36)6.4点的速度、加速度在柱坐标和极坐标中的投影

，称为径向加速度。，称为横向加速度。由这两个分量可求出加速度的大小和方向。6.5习题及思考题

一、思考题1.平均速度与瞬时速度有什么不同？在什么情况下，它们是一致的？2.点作直线运动，某瞬时的速度为v=6m/s，问这时的加速度是否为。为什么？点作匀速曲线运动，是否加速度等于零？3.当=常数，常数，则点作什么运动？4.设动点作曲线运动，速度和加速度的情形如图6.18所示，哪几种是可能的，哪几种是不可能的？为什么？图6.18第4题图6.5习题及思考题

5.点沿螺旋线自内向外运动，如图6.19所示，它走过的孤长与时间的一次方成正比，问点的加速度是越来越大，还是越来越小？这点越跑越快，还是越跑越慢？图6.19第5题图6.作曲线运动的两个动点，初速度相同，运动轨迹相同，运动中两点的法向加速度也相同。则任一瞬时两动点的切向加速度必相同，对吗？7.在什么情况下，点的切向加速度等于零？什么情况下，点的法向加速度等于零？什么情况下，两者都为零？8.点作曲线运动时，若切向加速度为零，则速度为常矢量。对吗？9.点作曲线运动时，点的位移、路程和孤坐标是否相同？10.当点作曲线运动时，点的加速度a是恒矢量，问点是否作匀变速运动？6.5习题及思考题

二、习题1.已知点的运动方程，求其轨迹方程，并自起始位置计算孤长，求出点的运动规律。(2)(3) (4)2.如图6.20所示曲线规尺的各杆长为OA=AB=20cm，CD=DE=AC=AE=5cm。如杆OA以等角速度绕O轴转动，并且当运动开始时，杆OA水平向右，求尺上点D的运动方程和轨迹。3.如图6.21所示，动点M沿轨迹OABC运动，OA段为直线，AB和BC段分别为四分之一圆孤。已知M点的运动方程为，求t=0、1、2和4s时的加速度。6.5习题及思考题

图6.20曲线规尺图6.21题6.3图4.已知动点的加速度在直角坐标轴上的投影为：，。当t=0时，x=40，y=50，(长度以mm计，时间以s计)，试求其运动方程和轨迹方程。5.如图6.22所示，偏心凸轮半径为R，绕轴转动，转角(ω为常量)，偏心距OO1=e，凸轮带动顶杆AB沿铅垂直线作往复运动。试求顶杆的运动方程和速度。6.5习题及思考题

6.已知点的运动方程为：x=500t，y=500-5t2，x、y的单位为m，t的单位为s；求t=0时，点的切向加速度、法向加速度及轨迹的曲率半径。7.如图6.23所示，OA和O1B两杆分别绕O和O1轴转动，用十字滑块D将两杆连接。在运动的过程中，两杆始终保持相交成直角。已知：OO1=L，y=500-5t2，(其中k为常数)。试写出：(1)滑块D的运动方程和速度方程；(2)滑块D相对于OA杆的运动方程和速度方程。图6.22凸轮顶杆机构图6.23题6.7图6.5习题及思考题

8.