北师版九上数学1.3正方形的性质与判定（第二课时）（课外培优课件）

第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定(第二课时)

1.（2022·滨州）下列命题中，是真命题的是（

D

）A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.对角线互相平分的四边形是菱形D.对角线互相垂直的矩形是正方形D2.已知四边形

ABCD

是平行四边形，对角线

AC

和

BD

交于点

O

.

下列三个结论：①当

AB

＝

BC

时，则它是菱形；②当∠

ABC

＝

90°时，它是正方形；③当

AC

⊥

BD

时，则它是矩形.其中正确

的有（

B

）A.0个B.1个C.2个D.3个B3.如图，在△

ABC

中，点

D

是边

BC

上的一点（与

B

，

C

两点不

重合），过点

D

作

DE

∥

AC

，

DF

∥

AB

，分别交

AB

，

AC

于点

E

，

F

.

下列说法正确的是（

D

）A.四边形

AEDF

一定是矩形B.四边形

AEDF

一定是菱形C.四边形

AEDF

一定是正方形D.四边形

AEDF

一定是平行四边形（第3题图）D4.（2023·黑龙江）如图，矩形

ABCD

的对角线

AC

，

BD

相交于

点

O

，再添加一个条件，使得四边形

ABCD

是正方形，则这个

条件可以是

（写出一个条件即

可）.（第4题图）AB

＝

AD

（答案不唯一）5.如图，点

D

，

E

，

F

分别是△

ABC

三边的中点，下列判断：

①四边形

AEDF

一定是平行四边形；②若

AD

平分∠

BAC

，则四

边形

AEDF

是正方形；③若

AD

⊥

BC

，则四边形

AEDF

是菱形；

④若∠

BAC

＝90°，则四边形

AEDF

是矩形.正确的是

⁠

（填序号）.①③④

（第5题图）6.如图，在四边形

ABCD

中，

AB

＝

BC

，∠

ABC

＝∠

CDA

＝

90°，

BE

⊥

AD

，垂足为

E

.

若四边形

ABCD

的面积为12，则

BE

＝

⁠.（第6题图）

7.如图，在矩形

ABCD

中，已知

BE

平分∠

ABC

，

CE

平分∠

DCB

，

BF

∥

CE

，

CF

∥

BE

.

求证：四边形

BFCE

是正方形.证明：∵

BF

∥

CE

，

CF

∥

BE

，∴四边形

BFCE

是平行四边形.在矩形

ABCD

中，

BE

平分∠

ABC

，

CE

平分∠

DCB

，∴∠

EBC

＝∠

ECB

＝45°.∴∠

BEC

＝90°，

BE

＝

CE

.

∴▱

BECF

是正方形.8.如图，在▱

ABCD

中，已知对角线

AC

，

BD

交于点

O

，点

E

是

DB

延长线上一点，且△

ACE

是等边三角形.（1）求证：四边形

ABCD

是菱形；证明：（1）∵四边形

ABCD

是平行四边形，∴

AO

＝

CO

.

∵△

ACE

是等边三角形，∴

AE

＝

CE

.

∴

EO

⊥

AC

.

∴▱

ABCD

是菱形.（2）若∠

AEB

＝2∠

EAB

，求证：四边形

ABCD

是正方形.证明：（2）∵四边形

ABCD

是菱形，∴∠

AOE

＝90°.∴△

AOE

是直角三角形.∴∠

AEB

＋∠

EAO

＝90°.∵△

ACE

是等边三角形，∴∠

EAO

＝60°.∴∠

AEB

＝30°.∵∠

AEB

＝2∠

EAB

，∴∠

EAB

＝15°.∴∠

BAO

＝∠

EAO

－∠

EAB

＝60°－15°＝45°.又∵四边形

ABCD

是菱形，∴∠

BAD

＝2∠

BAO

＝90°.∴菱形

ABCD

是正方形.

9.如图，在四边形

ABCD

中，已知

AB

＝

AD

，∠

BAD

＝∠

BCD

＝90°，∠

B

＝80°，连接

AC

，则∠

CAD

的度数为

⁠.35°

答图

10

答图

答图11.如图，在Rt△

ABC

中，已知∠

C

＝90°，∠

BAM

和∠

ABN

是

△

ABC

的两个外角，

AD

平分∠

BAM

，交∠

ABN

的平分线

BD

于

点

D

，过点

D

分别作

DE

⊥

CM

于点

E

，

DF

⊥

CN

于点

F

.

（1）试猜想四边形

CEDF

的形状，并说明你的理由；（1）解：四边形

CEDF

的形状是正方形.理由如下：如答图，过点

D

作

DG

⊥

AB

于点

G

.

∵

DE

⊥

AC

，

DF

⊥

BC

，∠

C

＝90°，∴∠

C

＝∠

DEC

＝∠

DFC

＝90°.∴四边形

CEDF

是矩形.∵

AD

平分∠

BAE

，

BD

平分∠

ABF

，

DE

⊥

AC

，

DG

⊥

AB

，

DF

⊥

BC

，∴

DE

＝

DG

，

DF

＝

DG

.

答图∴

DE

＝

DF

.

∴矩形

CEDF

是正方形.答图

12.如图，在正方形

ABCD

中，已知

AC

与

BD

相交于点

O

，

EF

，

GH

都过点

O

，分别交

AD

，

BC

于点

E

，

F

，交

CD

，

AB

于点

G

，

H

，

EF

⊥

GH

，求证：四边形

EHFG

是正方形.

13.（选做）如图，在正方形

ABCD

中，已知

AB

＝2，点

E

为对

角线

AC

上一动点，连接

DE

，过点

E

作

EF

⊥

DE

，交射线

BC

于

点

F

，以

DE

，

EF

为邻边作矩形

DEFG

，连接

CG

.

（1）求

AC