立体几何初步复习题-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第=page33页，共=sectionpages33页立体几何初步复习题单选题：1.如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则AD的长为(

)A.1 B.2 C.3 D.42.已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面，，则下列说法正确的是(

)A.若，，，则B.若，，则

C.若，，，则D.若，，，则3.如图，在正三棱柱中，若，，点D是棱的中点，点E在棱上，则三棱锥的体积为A.1B.2C.D.4.若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为且面积为的扇形，则该圆锥的高为(

)A.B.C.D.5.圆台的两个底面面积之比为，母线与底面的夹角是，轴截面的面积为，则圆台的侧面积为A. B. C. D.6.在正三棱台中，已知，，侧棱的长为2，则此正三棱台的体积为(

)A. B. C. D.7.在直三棱柱中，，，，则异面直线与BC所成角的余弦值为(

)A. B. C. D.8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑à如图，在鳖臑中，面BCD，，，，则下列选项中，不正确的是(

)A.平面平面ACDB.二面角的余弦值为

C.AD与平面BCD所成角为D.三棱锥外接球的表面积为二、多选题：9.等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为(

)A. B. C. D.10.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是(

)A. B. C. D.11.正方体的棱长为1，E、F、G分别为BC、、的中点，则(

)A.直线与直线AF垂直 B.直线与平面AEF平行

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为 D.点到平面AEF的距离为三、填空题：12.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①；②AB与CM所成的角为；③EF与MN是异面直线；④以上结论中正确结论的序号为

13.如图，正方体的棱长为a，E是棱的动点，则下列说法正确的有__________.①E为的中点时，直线平面②三棱锥的体积为定值③E为的中点时，④E为的中点时，直线与平面所成的角正切值为14.已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的四个面是全等的锐角三角形.在等腰四面体中，，，则该四面体的内切球表面积为__________.四、解答题：15．如图，边长为4的正方形中，点是的中点，点是中点，将，分别沿，折起，使，两点重合于点．（Ⅰ）求证；（Ⅱ）求三棱锥的体积．16．如图，在四面体中，平面，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．（1）证明：；（2）证明：平面．17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．（1）求证：平面；（2）求侧面与底面所成二面角的余弦值．18．在三棱锥中，，底面．（1）求证：平面平面；（2）若，是的中点．①求与平面所成角的正切值；②求二面角的大小．19.如图1，在平行四边形ABCD中，，，，E是边BC上的点，且．连结AE，并以AE为折痕将△ABE折起，使点B到达点P的位置，得到四棱锥，如图2．（1）设平面PEC与平面PAD的交线为l，证明：AD∥l；（2）在图2中，已知．①证明：平面PAE⊥平面AECD；②求以P，A，D，E为顶点的四面体外接球的表面积．立体几何初步复习题【答案】1.C

2.D

3.C

4.B

5.D

6.C

7.C

8.D

9.AB

10.BCD

11.BC

12.①③

13.④

14.4π515．【解答】解：（Ⅰ）证明：取中点，连接，，显然，，故；显然，，则，又，且都在平面内，平面，平面，；（Ⅱ）易知，，，，，，，．16.【解答】证明：（1）平面，平面，，又，且、平面，，平面，平面；（2）取的中点，在线段上取点，使得，连接，，，、分别是、的中点，为的中位线，，且，即，且，在中，，，，且，，且，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面．17．【解答】（1）证明：在正方形中，，又侧面底面，侧面底面，平面，所以平面，又平面，所以，因为是正三角形，是的中点，则，又，，平面，所以平面；（2）解：取，的中点分别为，，连接，，，则，，所以，在正中，，因为，，平面，则平面，在正方形中，，故平面，所以是侧面与底面所成二面角的平面角，由平面，，则平面，又平面，所以，设正方形的边长，则，所以，则，故侧面与底面所成二面角的余弦值为．18．【解答】证明：（1）由题意，因为面，面，，又，即，，平面，平面，平面平面；解：（2）①取的中点，连接，，，，由（1）知，平面，又平面，，而．平面，所以是斜线在平面上的射影，所以是与平面所成角，且，设，则由是中点得，，所以，即与平面所成角的正切值为；（2）取中点，过作于，连接，由可得，又面，，，，，平面，是在平面上的射影，，是二面角的平面角，在中，由可得，又，所以在直角中，故．19.（1）由题设，，而面，面，所以面，又面，面，平面PEC与平面PAD的交线为l，面所以且，综上，.（2）①若为中点，连接，由题设，，，则，，所以，故，又，平行四边形ABCD中，可得，在△中，，，故，在△中，，，即，所以，又为中点，故，在△中，，，则，所以，由，面，故面，又面，则面面.②由①知：△为直角三角形，则外接圆圆心为，故外接圆半径为，又面，则以P，A，D，E为顶点的四面体外接球球心在直线上，若外接球半径为，则，可得，所以外接球的表面积为.

【解析】1.【分析】根据题意，作出原图矩形ABCD，分析原图中BC的值即可．

本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题．【解答】解：由题意知O′B′=1

，

B′C′=1,∴O′C′=2如图，将直观图复原为四边形

ABCD

，则四边形

ABCD

为平行四边形，

因为

A′B′=2

，

O′

是

A′B′

的中点，故

OB=1

，且

OC=22故

BC=OB2+OC故选：C．2.【分析】

本题考查空间中的线、面位置关系，属于基础题．

利用空间中线、面平行、垂直关系逐个判断即可．

【解答】

解：对于A、若α/​/β，m⊂α，n⊂β，则m/​/n或m与n异面，故A错误；

对于B、若m⊥α，n⊥m，则n//α或n⊂α，故B错误；

对于C、若α⊥β，α∩β=n，n⊥m，只有当m⊂α，才能得到m⊥β，故C错误；

对于D、若α∩β=n，m⊂α，m/​/β，由线面平行的性质可知m/​/n，故D正确3.【分析】本题考查三棱锥的体积，属于中档题．

利用等体积法结合体积公式解出即可．【解答】

解：过点A作BC的垂线，垂足为M，

因为在正三棱柱ABC−A1B1C1中，

AA1 //平面B1BD，

故点E到平面B1BD的距离等于点A到平面B1BD的距离，

因为AM⊥BC，AM在平面ABC内，

且平面ABC⊥平面B1BD，且平面ABC∩平面B1BD=BC，

所以AM⊥平面B1BD，

故A4.【分析】本题考查圆锥的结构特征，是基础题，解题时要认真审题，注意圆锥的性质的合理运用．

设圆锥的母线为l，底面半径为r，由已知条件求出l=3，r=1，从而求出圆锥的高．【解答】

解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，

∵3π=13πl2，∴l=3，

∴120∘=r5.【分析】本题考查圆台的轴截面，属于基础题．

设圆台的上、下底面半径为2r，3r，高为ℎ，结合已知可得答案．【解答】解：因为圆台的两个底面面积之比为4:9，

所以圆台的两个底面半径之比为2：3，

设圆台的上、下底面半径为2r，3r，高为ℎ，

又母线与底面的夹角是60∘，则ℎ=由4r+6r得r=6，则l=2r=12．

则圆台的侧面积为π(2r+3r)l=360π，故选D.

6.【分析】

本题考查棱台的体积，属于基础题．

求出棱台的高，由棱台的体积公式即可求解．

【解答】

解：由题意，得棱台的高为22−37.【分析】本题考查异面直线所成的角，利用余弦定理解三角形，棱柱的结构特征，属于中档题．

根据异面直线所成的角的定义，取AC中点M，CC1中点N，AB中点T，

则有BC//MT，AC1//MN，连接NT，所以∠TMN(或其补角)即为异面直线

【解答】

解：取AC中点M，CC1中点N，AB中点T，

则有BC//MT，AC1//MN，连接NT，

所以∠TMN(或其补角)即为异面直线

AC1与

BC所成角，

因为AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2，

所以MT=12BC=22，MN=12AC1=8.【分析】本题考查球的表面积、线面垂直的判定及性质、面面垂直的判定、直线与平面所成角、二面角，属于中档题．

对于A，证明CD⊥平面ABC，利用面面垂直的判定定理可得面ABC⊥平面ACD；

对于B，由AB⊥平面BCD得AB⊥BD，AB⊥BC，可得∠CBD就是二面角D−AB−C的平面角，解三角形BCD即可；

对于C，AB⊥平面BCD易得AD与平面BCD所成角为∠ADB；

对于D，取AD的中点为M，则MA=MB=MC=MD=1，可得外接球的半径为1，即得表面积．【解答】

解：对于A，AB⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，所以AB⊥BC，AB⊥BD，

可得AC=AB2+CB2=3，AD=AB2+BD2=2，

则有AC2+CD2=AD2，∴AC⊥CD．

∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，

又AB∩AC=A，AB,AC⊂平面ABC，

∴CD⊥平面ABC，又CD⊂平面ACD，

∴平面ABC⊥平面ACD，故A正确；

对于B，∵AB⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，

∴AB⊥BD，AB⊥CB，

∴∠CBD就是二面角D−AB−C的平面角，

又∵AB=CD=1，BC=2，BD=3，

∴BC2+CD2=BD2，∴BC⊥CD，

在直角三角形BCD中，

cos⁡∠CBD=BCDB=23=63，故B正确；

对于C，∵AB⊥9.【分析】本题考查旋转体的表面积，属于基础题．

如果是绕直角边旋转，形成圆锥，如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，分两类即可得解．【解答】

解：如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，

母线就是直角三角形的斜边2，

所以所形成的几何体的表面积是S=πrl+πr2=π×1×2+π×12=(2+1)π．

如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，

圆锥的半径是直角三角形斜边的高22，

两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是10.【分析】本题考查了简单多面体(棱柱、棱锥、棱台)及其结构特征，平行公理与等角定理，空间中直线与平面的位置关系和线面平行的判定，属于基础题．

连接BC，取D为BC的中点，利用平面几何知识得QD // AB，再利用空间中直线与平面的位置关系，结合QD与平面MNQ相交，对A进行判断，连接CD，利用正方体的结构特征得AB // CD，再利用平面几何知识得CD // MQ，再利用平行公理AB // MQ，再利用线面平行的判定，对B进行判断，同理对C、D进行判断，从而得结论．【解答】

解：A选项：如图：

连接BC，取D为BC的中点，而Q是AC的中点，

因此QD // AB．

∵QD∩平面MNQ=Q，∴QD与平面MNQ相交，

因此直线AB与平面MNQ相交．所以A项错误；

B选项：如图：

连接CD，在正方体中，AB // CD．

因为M、Q分别为所在棱的中点，所以CD // MQ，因此AB // MQ．

又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，

所以AB //平面MNQ，因此B项正确．

C选项：如图：

连接CD，在正方体中，AB // CD．

因为M、Q分别为所在棱的中点，所以CD // MQ，因此AB // MQ．

又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，

所以AB //平面MNQ，因此C项正确；

D选项：如图：

连接CD，在正方体中，AB // CD．

因为N、Q分别为所在棱的中点，所以CD // NQ，因此AB // NQ．

又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，

所以AB //平面MNQ，因此D项正确．

故选BCD．11.【分析】本题考查空间线线关系，线面关系，考查空间距离的计算，属于困难题．对选项A，取DD1中点M，连接AM，MF，运用反证法即可判断，对选项B，取B1C1的中点N，连接A1N，GN，得出平面平面AEF.由性质定理即可判断，对选项C，连接AD1，FD1，得到平面AD【解答】

解：对选项A，如图所示：

取DD1中点M，连接AM，MF，即D假设DD1⊥AF，

因为AF∩FM=F，AF，FM⊂平面AFM，

所以DD1⊥平面AFM，

又AM⊂平面AFM，

所以AM⊥DD1，

由于AM与DD1不垂直，所以AF与DD1不垂直，故A错误．

对选项因为A1N//AE，GN//EF，

A1N,GN⊂平面A1GN，A1N∩GN=N，

AE,EF⊂平面AEF，因为A1G⊂平面A1GN，

所以平面AEF，故B正确．

对选项C，连接AD1因为，

所以平面AD1FE为平面又AD1D1F=AE=12高为52故C正确．

对选项D，连接A1F,A1E，如图所示：

则VE−A1AF=VA1−AEF，

可求得S故选BC．12.【分析】本题考查异面直线及其所成的角，直线与直线的位置关系，属于基础题．

先把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，再根据所给结论进行