沪教版 九年级数学 锐角三角比的模考汇编复习

片锐鬲三鬲比的谟考汇编复习＞

麴知识定位

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✓✓、X

昌椿分析:

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锐角的三角比相关内容作为模拟考以及中考常见知识点之一，常出现在

选择题、填空题以及解答题中，其本身知识点难度不高，因而考题较为简单。

本讲主要讲解锐角的三角比的意义、特殊锐角的三角比的值、各锐角的三角

比的关系以及解直角三角形的三种应用，即分别是关于坡度坡角、仰角俯角

和方向角问题。相关重点是会根据直角三角形中两边的长求相应的锐角的三

角比的值，熟练运用特殊的锐角的三角比的值进行相关计算，而难点是在几

何图形和直角坐标系中灵活运用锐角的三角比进行解题，以及各锐角的三角

比的关系在代数中的灵活运用。

;考试占比：

一般单纯考察锐角三角比的试题分值至少在14分左右，此外函数压轴题

以及几何压轴题中还会涉及部分的解直角三角形的应用，因而这部分的内容

显得格外重要，由于锐角三角比本身难度较小，因此同学们只要平时加强练

习，都可以完全攻克这部分内容！！！

e题型梳理

3曾三丽即精第

-：©：-题型梳理1：锐角三角比的概念辨析

【题目】

[2018徐汇区一模】在RfABC中,NC=90°,a、b、c分别是NA、NB、ZC的对边，下

列等式中，正确的是()

bcab

A.sinA=—B.cosB=—C.tanA=—D.cotB=—

caba

【题目分析】

本题考察了锐角三角函数的定义，在RfABC中，NC=90。:

(1)正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做NA的正弦，记作sinA;

(2)余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做NA的余弦，记作cosA;

(3)正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做NA的正切，记作tanA;

(4)三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做NA的锐角三角函数；

因此先根据题意画出图形，再根据三角函数的定义解答即可，属于基础概念题。

【答案】C

【解析】

解：根据三角函数的定义：

A、sinA=-,错误；B、cosB=-,错误；

CC\

C、tanA=:,正确；D、cotB=y,错误

bbix.

aR

故选:Co

【难度系数】2

俐股晡昧

【题目】

[2018浦东新区一模】如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A

的余切值（）。

A.扩大为原来的两倍B.缩小为原来的;

C.不变D.不能确定

【答案】C

【解析】

解：因为&ABC三边的长度都扩大为原来的两倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角

A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变。

总结：本题考查了锐角三角函数的定义，首先需要知道在直角三角形中，一个锐角的余切等

于它的邻边与对边的比值，其次根据△ABC三边的长度都扩大为原来的两倍所得的三角形与

原三角形相似，得到锐角A的大小没改变，从而得出答案。

【难度系数】3

题型梳理2：同角三角函数之间的计算

【题目】

[2016闵行区一模】已知a为锐角，且sina=之，那么a的余弦值为（）

【题目分析】

本题考查了同角三角函数的关系：siMA+cos2A=1.利用平方关系得到cosa

=71-sin2a,然后把sina=：代入计算即可。

【答案】D

【解析】

解:'.sin2a+cos2a=l,.-.cosa=71-sin2«=']_(*)£=.

【难度系数】2

向魅啸诵

【题目】

[2018黄浦区一模】已知锐角a,满足tana=2,则sina=。

【答案】正

5

【解析】

解：如图，由tana=2，设a=2,b=l,

由勾股定理，得c=7a2+b2=V5，sina=:=半，

故答案为：马后

5

总结：本题考查了锐角三角函数，利用锐角三角函数的定义解题关键。

【难度系数】2

题型梳理3：特殊角的三角函数值计算

【题目】

【2018长宁区一模】计算：一粤cot245°-------cos300

4sin2450-tan600

【题目分析】

本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键，其中30。、45。、

60。的正弦、余弦、正切、余切必须牢记，其次需要对简单的分母有理化有一定的了解。

【答案】2+2

2

【解析】

解:原式"尊2飞'冬点'号2+炳-冬2+堂

【难度系数】3

.口砺藤晡陈

【题目】

sin260°+sin230°

(1)【2018虹口区】计算:

cot300-cos30°

(2)【2018嘉定区一模】计算：33。。-加6。。+23、。

【答案】(1)至；(2)笆+1

32

【解析】

2,/Ix2

+字一2M.

(1)解:原式=

(2)解:原式存乎亨岛考g+i=年£.

总结：此题主要考查了特殊角三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键。

【难度系数】3

-：©-题型梳理4：解直角三角形

【题目】

[2018奉贤区二模】已知：如图，在AABC中，AB=13,AC=8,coszBAC=—,BD±

AC,垂足为点D,E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点Fo

(1)求NEAD的余切值；

BF

(2)求左的值。

CF

【题目分析】

本题是考察了解直角三角形的问题，在直角三角形中，根据三角函数的定义列式，如果

没有直角三角形，则将角转化到直角三角形内，或作垂线构建直角三角形。第一问中由于

BD±AC,即出现直角三角形，先根据三角函数值求AD的长,由勾股定理得BD的长，根

据三角函数定义可得结论；第二问关于线段的比例问题，一般可从相似三角形或者平行线分

线段成比例两个角度入手，本题作平行线，构建平行线分线段成比例定理可设CD=3x,

AD=5x,分别表示BF和FC的长，代入可得结论。

【答案】

5BF5

(1)cotzEAD=-;(2)—=-

6CF8

【解析】

解：(1).BD，AC,.2ADE=90°,

RbADB中,AB=13,coszBAC=-^-，二AD=5,

由勾股定理得:BD=12,/E是BD的中点,/.ED=6,

AD5

」.NEAD的余切===：;

ED6

(2)过D作DG〃AF交BC于G,.AC=8,AD=5，=CD=3,

CDCG3

•.DG//AF

ADFG5

设CD=3x,AD=5x,

BF5

•.EF//DG,BE=ED,..BF=FG=5x，二一=-.

OF8

【难度系数】4

俐藤晡哺*

【题目】

[2018奉贤区一模】已知：如图，在RfABC中，NACB=90°,BC=«,cot/ABC=g

点D是AC的中点。

(1)求线段BD的长;

(2)点E在边AB上，且CE=CB,求^ACE的面积。

【答案】(1)BD=^1；(2)立

22

【解析】

解：(1)RfABC中,NACB=90。，BC=«,cotzABC=^，,AC=V^,

•.点D是AC的中点，，二RfBCD中，BD=7BC2+CD2=4V2；

(2)如图，过C作CH^AB于H,•.BC=F，cot/ABC=容，.•.CH=«,BH=2,

：CE=CB,.-.EH=BH=1,

•.zACB=90°,BC=A/3,AC=V6，,AB=3,

，AE=3-2=1,

■.MCE的面积=^xAExCH=3xlxy=^

B

总结：此题考察了勾股定理、解直角三角形，等腰三角形的性质等知识。其中第一问求BD

的长度，由于BD是RTABCD的斜边，因而利用勾股定理即可求解；第二问中主要到〃CB

是等腰三角形，求出BE边上的高即可。

【难度系数】3

题型梳理5:解直角三角形的应用-坡度坡角问题

【题目】

【2016普陀区一模】某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将

原坡角为45。的传送带AB,调整为坡度i=l:百的新传送带AC（如图所示）.已知原传

送带AB的长是4亚米.那么新传送带AC的长是一米。

【题目分析】

此题主要考察了勾股定理以及解直角三角形应用中的坡度等知识，正确得出DC,AD

的长是解题关键，根据题意首先得出AD,BD的长，再利用坡角的定义得出DC的长，再

结合勾股定理得出答案。

【答案】8

【解析】

解：过点A作AD±CB延长线于点D,

.NABD=45°,：.AD=BD,

.•.AB=4&,.-.AD=BD=ABsin45o=4V2x^=4,

•・坡度i=l:次，♦噌,则DC=4近,

UUUUVo

故AC=〃D2+DC2=8(m),故答案为：8.

【难度系数】3

俐强啸在

【题目】

[2015闸北区二模】如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为

1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米.求

放水后水面上升的高度是（）O

A.0.55B.0.8C.0.6

【答案】D

【解析】

解：如图；过点E作EM±GH于点M,

..水渠的横断面是等腰梯形，二GM=《x(GH-EF)=\x(2.1-1.2)=0.45,

,.斜坡AD的坡度为1:0.6,/.EM:GM=1:0.6,

.-.EM:0.45=1:0.6,.-.EM=0.75,故选：D。

AB

总结：此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度、等腰三角形的性质，关键

是根据题意画出图形，由于水渠的横断面是等腰梯形，通过构造直角三角形，解出相应边长

即可。

【难度系数】3

题型梳理6：解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【题目】

[2018长宁区一模】如图，一栋居民楼AB的高为16米，远处有一栋商务楼CD,小明在

居民楼的楼底A处测得商务楼顶D处的仰角为60。，又在商务楼的楼顶D处测得居民楼的

楼顶B处的俯角为45°.其中A、C两点分别位于B、D两点的正下方，且A、C两点在同

一水平线上，求商务楼CD的高度。（参考数据：1.414,

1.732,结果精确到0.1米）

【题目分析】

本题考查了解直角三角形的应用，关键是理解仰角和俯角的概念，通过过点B作BE±

CD与点E,解直角三角形得出方程，求出方程的解即可。

【答案】37.9（米）

【解析】

解：过点B作BE±CD与点E,由题意可知NDBE=45°,NDAC=60°,CE=AB=16,

设AC=x,则CD=V3x，BE=AC=X,贝UDE=CD-CE=«x-16,

•.zBED=90°,NDBE=45°,..BE=DE,

D

CD=@=24+8后37.9（米）,

答：商务楼CD的高度为37.9米.

【难度系数】3

【题目】

[2017闵行区一模】如图，电线杆CD上的C处引拉线CECF固定电线杆，在离电线杆

6米的B处安置测角仪（点B,E,D在同一直线上）,在A处测

米,BE=2.3\

得电线杆上C处的仰角为30。,已知测角仪的高AB=1.5

米，求拉线CE的长,（精确到0.1米）参考数据、历引L-41,V3~BED尸

1.73。

【答案】6.2（米）

【解析】

解：过点A作AMLCD于点M,

贝11四边形ABDM为矩形，AM=BD=6米，

在RbACM中，・「NCAM=30°,AM=6米，

..CM=AM・tanNCAM=6x@=2百（米），

3

BED尸

..CD=2市+1.5*4.96（米），

在RfCDE中,ED=6-2.3=3.7（米），

CE=2262

••7DE+CD--（*）­

总结：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利

用三角函数解直角三角形。

【难度系数】3

题型梳理7：解直角三角形的应用-方向角问题

【题目】

【2018金山区一模】如图，MN是一条东西方向的海岸线，

在海岸线上的A处测得一海岛在南偏西32。的方向上，向东

走过780米后到达B处，测得海岛在南偏西37。的方向，求

小岛到海岸线的距离。（参考数据：tan37°=cot53%0.755,

cot37°=tan53°«1.327,tan32°=cot58°~0.625,cot32°

=tan58°~1.600)

【题目分析】

此题考查了解直角三角形应用中的方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解

直角三角形的问题，解决的方法就是作高线。本题中先过点C作CD^MN,垂足为D,设

CD=x米，根据AB=BD-AD,然后代值计算即可求出小岛到海岸线的距离。

【答案】6000米

【解析】

解：过点C作CD^MN,垂足为D,设CD=x米，

,.AB=BD-AD,.〔xtan37°-xtan32°=780,

解得：x=6000,

答：小岛到海岸线的距离6000米

【难度系数】3

【题目】

[2018青浦区二模】如图，海中有一个小岛A,该岛四周11海里范围内有暗礁.有一货

轮在海面上由西向正东方向航行，到达B处时它在小岛南偏西60。的方向上，再往正东方向

行驶10海里后恰好到达小岛南偏西45。方向上的点C处.问：如果货轮继续向正东方向航

行，是否会有触礁的危险？（参考数据：72^1.41,73^1.73）

4北

【答案】不会有触礁的危险书存

【解析】///

解：过点A作AHLBC,垂足为点H.Bc"

由题意，得NBAH=60°,zCAH=45°,BC=10.

设AH=x，则CH=x，在RfABH中，《北

'''tanZBAH^TU-,•'-tanSO0，，我x=10+x,\

AHJ。x+'/

解得乂=5愿+5=13.65,/J

BcH

.13.65>11」货轮继续向正东方向航行，不会有触礁的危险.

总结：本题考察了解直角三角形的应用-方向角问题，实则是解直角三角形的问题。

【难度系数】3

■课后炼习

【题目】四习1

[2018金山区一模】在RfABC中,zC=90°,sinA=1,那么cosA=。

【答案】—

2