海南省海口市2017-2018年高二年级下册期末监测数学试题含解析

海南省海口市重点名校2017-2018学年高二下学期期末监测数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i为虚数单位，复数z满足(1—i〉z=2i,N是复数z的共轨复数，则下列关于复数z的说法正确的

是()

A.z=l—iB.|z|-2

C.z-z=2D,复数z在复平面内表示的点在第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求出z,然后逐一核对四个选项得答案.

【详解】

(l-z)-z=2z,

2i2z(l+z)

(1-0(1+0

.1.|z|=,s/z,z=-1-i

zz=(-l+z)(-l-0=l+l=2

复数z在复平面内表示的点在第二象限，故选c.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

2.若二项式(12-3)”的展开式中二项式系数的和是64,则展开式中的常数项为

X

A.-240B.-160C.160D.240

【答案】D

【解析】

【分析】

由二项式定义得到二项展开式的二项式系数和为2"，由此得到〃，然后求通项，化简得到常数项，即可

得到答案.

【详解】

由已知得到2"=64,所以〃=6,

所以展开式的通项为=q(x2)6-r(--r=C；(-2)rx12-3r,

X

令12—3r=0,得至Ur=4,所以展开式的常数项为£=C；(—2)4=240,故选D.

【点睛】

本题主要考查了二项展开式的二项式系数以及特征项的求法，其中熟记二项展开式的系数问题和二项展开

式的通项是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

3.函数y=2国sin2x的图象可能是

【答案】D

【解析】

分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在g,兀）上的符号，即可判断选择.

详解：令/（%）=2Msin21,

因为％£R,于（一x）=2卜®sin2（-%）=-2同sin2%=-f（x），所以/（x）=2忖sin2%为奇函数，排除选项A,B；

TT

因为xe（万,兀）时，/（x）＜0,所以排除选项C,选D.

点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置,

由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶

性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复.

4.在棱长为1的正方体ABC。-44G2中，E,F分别为线段CD和44上的动点，且满足=

则四边形2F8E所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的

面积之和（）

3B.有最大值之

A.有最小值士C.为定值3D.为定值2

22

【答案】D

【解析】

【分析】

分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可.

【详解】

依题意，设四边形EHFBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D，，F',B',E',则四边形DiFBE

在上面，后面，左面的投影分别如上图.

所以在后面的投影的面积为S后=1x1=1,

在上面的投影面积S±=D'E'X1=DEX1=DE,

,,

在左面的投影面积S左=BEX1=CEX1=CE,

所以四边形DiFBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的

面积之和

S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=1.

故选D.

【点睛】

本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力.属于中档题.

5.已知定义在R上的可导函数/(尤)的导函数为尸(x),对任意实数%均有(l—x)/(x)+矿(x)>0成立,

且y=/(x+l)—e是奇函数，不等式4Xx)—e'〉0的解集是()

A.(l,+°o)B.(e,-KO)C.(-00,1)D.(-00,e)

【答案】A

【解析】

【分析】

构造函数g(x)=^利用导数和已知条件判断出g(x)在衣上递增，由此求解出不等式的解集.

【详解】

要求解的不等式等价于号口〉1,令g("=,g[x)=(i)〃：)+v(X)〉0,所以g(x)在

R上为增函数，又因为y=/(x+D-e是奇函数，故/(l)=e,所以g(l)=l,所以所求不等式等价于

g(x)>g⑴,所以解集为(1,+?),故选A.

【点睛】

本小题主要考查构造函数法解不等式，考查导数的运算，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数的奇

偶性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

6.已知复数z=、，则复数z在复平面内对应的点位于()

1+Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复数的运算法则，化简复数z=1-2。再利用复数的表示，即可判定，得到答案.

【详解】

灯.3-，=(3r)(J)2-4

由题意,复数"1+z(l+z)(l-z)2=l-2i,

所以复数z对应的点(1,-2)位于第四象限.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代

数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

7.设J是服从二项分布B（”,p）的随机变量，又石片）=15,。@=彳，则〃与。的值分别为

（）

31“3”1

A.60°»—B.60°>—C.50,—D.501—

4444

【答案】B

【解析】

分析：根据二项分布的期望和方差的计算公式，列出方程，即可求解答案.

详解：由题意随机变量1B（n,p）,

451

又由石《）=7%=15,且£>C）=〃p（l-”）=丁，解得〃=60,p=“故选B.

点睛：本题主要考查了二项分布的期望与方差的计算公式的应用，其中熟记二项分布的数学期望和方差的

计算公式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.

8.六位同学站成一排照相，若要求同学甲站在同学乙的左边，则不同的站法有（）

A.180种B.240种C.360种D.720种

【答案】C

【解析】

【分析】

先作分类，甲在左边第一位，有£；甲在左边第二位，有可用；甲在左边第三位，有4尺；

甲在左边第四位，有£4；甲在左边第五位，有A：；然后直接相加求解即可

【详解】

甲在左边第一位，有6；

甲在左边第二位，有其姆；

甲在左边第三位，有段局；

甲在左边第四位，有记姆

甲在左边第五位，有A：；

不同的站法有理++8禺+其禺+A：=360种，选C.

【点睛】

本题考查排列问题，属于基础题

9.直线y=x-1的倾斜角为（）

【答案】B

【解析】

试题分析：记直线y=x-1的倾斜角为凡tane=l=>9=：,故选B.

4

考点：直线的倾斜角.

10.若z=（加2+w一6）+（口一2»为纯虚数，则实数"2的值为（）

A.-2B.2C.-3D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

本题首先可以确定复数z=（m2+m-6）+（m-2）i的实部和虚部，然后根据纯虚数的相关性质即可列出

方程组，通过计算即可得出结果.

【详解】

因为z=0/+7〃-6）+（7〃-2）i为纯虚数，

（7〃—2）（7〃+3）=0

所以cC'解得加=—3,故选C.

m-2ro

【点睛】

本题考查复数的相关性质，主要考查纯虚数的相关性质，纯虚数的实部为0且虚部不为0,考查运算求解

能力，考查方程思想，是简单题.

11.设a=A，b=^/15，c=log215,则下列正确的是

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】B

【解析】

【分析】

根据y=15'得单调性可得a>6；构造函数/■（；<）=log2X-6（x>0）,通过导数可确定函数的单调性,

根据单调性可得/（15）>/（16）=0,得到。>。，进而得到结论.

【详解】

由y=15"的单调递增可知：153〉15：'即岳>妪：.a>b

令/•（无）=log2无一6（x>。），则—=2；尸;2（x〉o）

x\n22,x2xm2

令r（%）=o,则x=p-2

lln2

、

当xe,+8时,rw<o

°］品时，广⑴"当避忌

I)

/(、2、、

/(“)在O'W上单调递增，在

即:,+00上单调递减

ln2=ln强>lne3=ln疗，即M2〉|<9

.-./(15)>/(16)=log216-V16=0,即：log215>V15--oa

综上所述：b<a<c

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查根据函数单调性比较大小的问题，难点在于比较指数与对数大小时，需要构造函数，利用导数确

定函数的单调性；需要注意的是，在得到导函数的零点x=(G-］后，需验证零点与15之间的大小关系,

Un2j

从而确定所属的单调区间.

12.已知。，人是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a-c>S-c)=0,贝!l|c|的最大值是

()

A.1B.2C.72D•史

2

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：由于垂直,不妨设a=(L0l，b—(0:1)>c—|x:yI，贝!la-c=(x—Lj)'b-c=lx,y-1)

(a-c)-(5-c)=x:+y:-x-y=0»c={x2+］二表示(x»y)到原点(0,0)的距离,./+］二一工一J=0表

示圆心(H),卓为半径的圆，因此口的最大值卢，故答案为C.

考点：平面向量数量积的运算.

二、填空题：本题共4小题

13.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且满足/(X+1)=-/(%)，当Xe［0,1］时，/(%)=-%+1,

则方程/(%)-In〉］=0的实根个数为.

【答案】4

【解析】

分析：函数y=/(九)是偶函数，还是周期函数，画出函数图像，转化为/(x)=ln|x|的图像交点问题来

求解

详解：/(x+1)=-/(%),

则〃x+2)=-/(x+l)=/(x),周期为2

当xe[—l,0)时，/(x)=x+l

由图可得，则方程/("-物国=0的实根个数为4

点睛：本题主要考查的是抽象函数的应用，关键在于根据题意，分析出函数/(九)的解析式，作出函数图

象，考查了学生的作图能力和数形结合的思想应用，属于中档题。

14.函数〃x)=l—x—L(x>0)的值域为.

X

【答案】(一1]

【解析】

【分析】

利用导数求出函数/(X)的单调性，由单调性即可得出值域.

【详解】

当f'(x)>0=>0<x<l,当f'(x)<00x>1

所以函数/(%)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,y)上单调递减

贝！l/(X)max=/Xl)=l—l—l=—l

即函数/(尤)的值域为(—8,-1]

故答案为：(-8,-1]

【点睛】

本题主要考查了利用导数求函数的值域，属于基础题.

15.直线x+百y—1=0的倾斜角为.

【答案】150

【解析】

【分析】

由直线x+J5y—1=0的斜率为左=一日，得到tana=—#,ae[0°,180°），即可求解.

【详解】

由题意，可知直线x+百y—1=0的斜率为左=一孝，

设直线的倾斜角为则tana=—日,ae[0°,180°），解得a=150°，

即换线的倾斜角为150°.

【点睛】

本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解

答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

16.若2x+*j的展开式中常数项为96,则实数。等于.

【答案】4

【解析】

2%+乎）的展开式的通项是J=C；（2x）勺（乎j=/？1玛—一2「，令4—2/=2,

2x+*j的展开式中常数项为-2髡，可得。=4,故答案为4.

【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考

命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的

通项公式7；+i=C/i7/；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二

项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.在极坐标系中，极点为0,已知曲线£：夕=2与曲线。2：夕sin]。—交于不同的两点A,3.

求：

（1）\AB\的值；

⑵过点C（l,0）且与直线AB平行的直线I的极坐标方程.

【答案】（Q2夜；⑵ps答任_可=#.

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：（1）把曲线C1和曲线C2的方程化为直角坐标方程，它们分别表示一个圆和一条直线.利用点

到直线的距离公式求得圆心到直线的距离为d的值，再利用弦长公式求得弦长|AB|的值.

（2）用待定系数法求得直线I的方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求得I的极坐标方程

试题解析：

22

(1)"=2,x+y=4,

可得夕sin粉-pcos0—,：.y=x+2,

2

圆心（0,0）到直线y=X+2的距离为d=五=0

••­\AB\=2〃—/=2,4-（何2=2A/2.

（2）•.•曲线的斜率为1，二过点。,0）且与曲线G平行的直线/的直角坐标方程为y=x-1，

即pcos^+^=^.

二直线/的极坐标为夕sin0=pcos0-1,

18.已知椭圆0:。+白=1（。〉6〉0）的离心率为当，耳E（c,0）分别为椭圆的左、右焦点,

点在椭圆上.

（1）求。的方程；

（2）若直线丁=左（％—1）与椭圆C相交于A,B两点,试问：在x轴上是否在点。，当左变化时，总有

NOQA=NOQ5?若存在求出点。的坐标，若不存在，请说明理由.

22

【答案】⑴土+匕=1⑵见解析

94

【解析】

【分析】

（1）根据离心率为半，点｝,在椭圆上联立方程组解得答案.

（2）设存在定点n（w,o）,联立方程，利用韦达定理得到关系式，ZODA=NOQ5推出kAD+kBD=0,

代入数据计算得到答案.

【详解】

叵

a3

解：(1)由题可知＜又。2=廿+°2,解得。=3,6=2,。=逐

b24

Ia-3

22

所以储=9,b2=4,即所求为土+2-=1

94

(2)设存在定点。(利0),并设4(%,%)，5(々,%)

y=

由＜联立消v可得(9k2+4)X2-1Sk2x+9左之一36=0

—।——1

[94

18k29k2-36

所以％

+x2=94+4'”|X，—9.2+4

因为NOZM=NOD3,所以左陋+演o=0,即」^+」^=0

xx-mx2-m

所以-1)+M%T)=0＞整理为耳2「-(1+间(％+%)+2时=0

xi—mx2—m(%1—m)(x2—m)

所以2%42一(1+加)(玉+%2)+2加=0

可得18J—72-18公(1+间+2M9公+4)=加72=Q

‘9k~+4—9/+4—

即8m—72=0,所以机=9

所以存在定点D(9,0)满足题意

【点睛】

本题考查了椭圆离心率，定点问题，将NODA=NOQ5转化为心0+品。=0是解题的关键•

19.已知函数/(x)=lnx-±g(x)=-奴+瓦

X

(1)若函数f(x)与g(x)相切于点(1,-1),求a,匕的值;

(2)若g(x)是函数/(X)图象的切线，求b-2a的最小值.

【答案】(1)a=-2,b=—3；(2)ln2--

2

【解析】

【分析】

(1)利用函数/(x)与g(x)相切于点(LT)，切线即g(x)可求。,匕的值.

(1)

(2)若g(%)是函数/(x)图象的切线，设切点%,In%—-,表达函数/(力的切线方程，表达

X。7

22

/?-2<7=Inx0-1+—,构造新函数%(%)=inx-l+F(x>0),求其最小值即可.

/X2

【详解】

(1)由函数/(x)=lnx—工，则/(为二1+二,

XXX

f(1)=2,y+1=2(%—1),y=2x—3.

所以，a=-2,b=-3.

(1)1-11、

(2)设切点后,In%——,则切线方程为y—lnx——+

0~~

%)X。Xo.

(

(11)(11)(1)11、<2)

,亦即

即y=------1----2冗------1----,2%+lnx0-----y=一+二x+InXg-------1,

X

I九0X。J\0入0JX。%.7\

11.21

由题意得_q=—+二■力7=In叫)——_1

工0%0元0

，c，,2

:.b—2。=Inx0—1H--

2

令/z(x)=lnx-l+—(x>0)

x

4X2-4

h'(x)=-3

XX3X

当x£(0,2)时h'(x)<0,h(x)在(0,2)上单调递减;

当xw(2,y)时h'(x)>0,h(x)在(2,+8)上单调递增;

：.h(x)>/z(2)=In2—g二b—2a的最小值为ln2-1.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的最值，解题的关键是熟记基本初等函数的导数，属于

中档题.

20.已知函数/(x)=sinxcosx+J^cos?x.

(I)求/(%)的最小正周期;

(II)若/(%)在［0,加］上单调递增，求机的最大值.

【答案】(I)»；(II)占

12

【解析】

【分析】

（I）利用二倍角的正弦与余弦公式以及辅助角公式化简函数〃幻，由周期公式求解即可；

57r7i

（II）由正弦函数的性质求出/（X）的单调递增区间，由题设条件得出［O,/n］c——,即可得出m的

L1212J

最大值.

【详解】

解：（I）因为/（AOnsinxcosx+GcosZ%

1.〜rrl+cos2x

=一$1112尤+5/3-------------

22

——sin2xH-----cos2x-\------

222

71y/3

—sin(2xH—)H-----•

所以f(x)的最小正周期为T=q="

(II)由(I)知,0)=sin++孚.

由2人"一X会也x+工2k7i+—{kGZ)

232

2k7C-—^x2k7i+-(^eZ)

66

得M^+―(^eZ)

1212

57rJi

所以了(尤)的单调递增区间为k7v-—,k7v+—,伏eZ).

57r7i

要使得函数”尤）在［0,机］上单调递增，只需［0,加］N.

L1212J

所以0,—,〃，的最大值为£.

（12」12

【点睛】

本题主要考查了求正弦函数的最小正周期以及正弦型函数的单调性，属于中等题.

21.某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在某学院大一年级100名学生中进行了抽样调查，发现喜

欢甜品的占70%.这100名学生中南方学生共80人。南方学生中有20人不喜欢甜品.

（1）完成下列2x2列联表：

喜欢甜品不喜欢甜品合计

南方学生

北方学生

合计

(2)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差

异”；

(3)已知在被调查的南方学生中有6名数学系的学生，其中2名不喜欢甜品；有5名物理系的学生，其中

1名不喜欢甜品.现从这两个系的学生中，各随机抽取2人，记抽出的4人中不喜欢甜品的人数为X,求X

的分布列和数学期望.

n(ad-be)"

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.150.1000.0500.0250.010

k。2.0722.7063.8415.0246.635

【答案】(1)列联表见解析.

(2)有95%的把认为“南方学生和北方学生在选甜品的饮食习惯方面有差异”.

(3)分布列见解析；E(X)=*.

【解析】

分析：(1)根据数据填写表格，(2)根据卡方公式得K?，再与参考数据比较得可靠率，(3)先列随机变

量可能取法，再利用组合数求对应概率，最后根据数学期望公式求期望.

详解：(1)

喜欢甜品不喜欢甜品合计

南方学生602080

北方学生101020

合计7030100

(2)由题意,

100x(60x10-20x10)2

2

K=士4.762>3.841，

70x30x80x20

...有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选甜品的饮食习惯方面有差异”.

(3)X的所有可能取值为0,1,2,3,

6

i7c/25

c：c：+c：c；c：12

P(X=1)=

c；c；25

GGG+c219

p(X=2)=

篌c；75

P(X=3)=生L2,

(JC：C；75'

则X的分布列为

X0123

612192

P

25257525

,如皿.八1238616

所以X的数学期望E(X)=0+—+—.

25757515

点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、

互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值

时的概率；

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的

概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.

22.甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区一模

考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分

布统计表如下：

分组[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)

甲校频数231015

乙校频数1298

分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)

甲校频数15X31

乙校频数1010y3

（1）计算x,y的值；

（2）若规定考试成绩在［120,150］为优秀，请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率；

（3）若规定考试成绩在［120,150］内为优秀，由以上统计数据填写下面2x2列联表，若按是否优秀来判

断，是否有95%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.

甲校乙校总计

优秀

非优秀

总计

附：K2=-__―二__,

[a+b)[c+d)[a+c)(b+d)n=a+b+c+d

P(K2>k)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

【答案】(1)x=6,y=7；(2)40%；(3)有95%的把握认为两个学校数学成绩有差异

【解析】

【分析】

(1)由分层抽样的知识及题中所给数据分别计算出甲校与乙校抽取的人数，可得X,7的值;

(2)计算样本的优秀率，可得乙校的优秀率；

(3)补全2x2列联表，计算出K?的值，对照临界表可得答案.

【详解】

解：(1)由题意知，

甲校抽取105x照=55人，则x=6,

2100

乙校抽取105x黑=50人，则y=7.

(2)由题意知，乙校优秀率为1°7*I。。％=40%.

(3)填表如下表(1).

甲校乙校总计

优秀102030

非优秀453075

总计5550105

用坨函*“2105x(10x30—20x45)2336。。一

根据题意K2=--------------------------—=——»6.109>3.841,

55x50x30x7555

由题中数据得，有95%的把握认为两个学校数学成绩有差异.

【点睛】

本题主要考查了分层抽样及频率分布直方图的相关知识、独立性检验及其应用，属于中档题，注意运算准

确.

海南省海口市重点名校2018-2019学年高二下学期期末监测数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列函数中既是奇函数又在区间(-8,0)上单调递增的函数是()

|x1

2rn1

A.y=2v-2"rB.y=x2+lC.y=-D.y=-

【答案】A

【解析】

【分析】

由函数的奇偶性的定义和常见函数的单调性，即可得到符合题意的函数.

【详解】

对于A,y=f(x)=2X-21定义域为R,且f(-x)=-f(x),可得f(x)为奇函数，当x<0时，由y

=2*,y=-2-递增，可得在区间(-8,o)±f(x)单调递增，故A正确；

y=f(X)=x2+l满足f(-x)=f(x),可得f(X)为偶函数，故B不满足条件；

y=f(x)=(1)冈满足f(-x)=f(x),可得f(x)为偶函数，故C不满足题意；

y=!为奇函数，且在区间(-8,o)±f(x)单调递减，故D不满足题意.

x

故选：A.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用常见函数的奇偶性和单调性，考查判断能力，属于基础

题.

2.定义在(0,+8)上的函数/(九)，若对于任意X都有“耳+2/'(力>—靖(X)且"1)=0则不等式

3(司+2/(力>0的解集是()

A.(0,1)B.(2,+oo)C.(1,2)D.(1,+co)

【答案】D

【解析】

【分析】

令8(幻=4'("+2”可,求导后根据题意知道且(无)在(0,+8)上单调递增，再求出g⑴=0,即可找到

不等式4⑴+2/⑺>0的解集。

【详解】

令g(x)=4a)+2〃x)

则g'(x)=f(x)+xf'(x)+2f(x)>0

所以g（x）在（0,+8）上单调递增，又g⑴=/（1）+2/（1）=0

所以g(x)=4(%)+2于(x)>0的解集(1,+8)

故选D

【点睛】

本题考查利用导数解不等式，属于中档题。

3.下列关于回归分析的说法中，正确结论的个数为（）

（1）回归直线亍=%+6必过样本点中（乱歹）；

（2）残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精度越高;

（3）残差平方和越小的模型，拟合效果越好；

（4）用相关指数R2来刻画回归效果，&越大，说明模型的拟合效果越好.

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

【分析】

利用回归分析的相关知识逐一判断即可

【详解】

回归直线》=晟+&必过样本点中（无用，故（1）正确

残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精度越高，故（2）错误

残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故（3）正确

用相关指数长来刻画回归效果，后越大，说明模型的拟合效果越好，故（4）正确

所以正确结论的个数为3

故选：B

【点睛】

本题考查的是回归分析的相关知识，较简单.

4.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是

911

A.3B.4C.—D.

22

【答案】B

【解析】

【详解】

解析：考察均值不等式x+2y=8-x-（2y）28-,整理得(x+2y)2+4(x+2y)—3220即

(x+2y-4)(x+2y+8)>0,又x+2y>0,/.x+2y>4

5.函数/(%)=5皿％+85%在点(0"(0))处的切线方程为()

A.x-y+l=OB.x-y-l=Oc.x+y-1=0D.x+y+l=0

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出f’(x),再利用导数求出在x=l处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率即可.

【详解】

*.'f(x)=sinx+cosx,.'.f(x)=cosx-sinx,f(1)=1,

所以函数f(x)在点(1,f(D)处的切线斜率为1；又f(1)=1,

二函数f(x)=sinx+cosx在点(1,f(1))处的切线方程为：y-l=x-1.HPx-y+1=1.

故选A.

【点睛】

本题考查利用导数求曲线上在某点切线方程的斜率，考查直线的斜率、导数的几何意义等基础知识，属于

基础题.

6.在二项式［«+乡］的展开式中，各项系数之和为A,二项式系数之和为3,若A+5=72,则”=

()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

分析：先根据赋值法得各项系数之和，再根据二项式系数性质得3,最后根据+6=72解出几

详解：因为各项系数之和为(1+3)"=4",二项式系数之和为2",

因为4+5=72,所以4"+2"=72;.2"=8;.〃=3,

选A.

点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如3+6)〃,(奴2+6x+c)"(a/eR)的

式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=l即可；对形如("+办)"(a,beR)的式子求

其展开式各项系数之和，只需令％=y=l即可.

7.在棱长为1的正方体ABC。-44GA中，E,F分别为线段CD和A4上的动点，且满足=

则四边形QEBE所围成的图形(如图所示阴影部分)分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的

面积之和()

35

A.有最小值一B.有最大值一C.为定值3D.为定值2

22

【答案】D

【解析】

【分析】

分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可.

【详解】

依题意，设四边形DiFBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D，，F,B',E',则四边形DiFBE

在上面，后面，左面的投影分别如上图.

所以在后面的投影的面积为S后=1X1=1,

在上面的投影面积Si=D'E'X1=DEX1=DE,

在左面的投影面积S左=B'E'X1=CEX1=CE,

所以四边形DiFBE所围成的图形(如图所示阴影部分)分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的

面积之和

S=S后+S上+Ss=l+DE+CE=l+CD=l.

故选D.

【点睛】

本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力.属于中档题.

032

8.已知函数/(x)=-必-3x+2sinx,^<7=2,/?=0.3^=^20.3,贝(!

A./(Z?)</(«)</(c)B./(/?)</(c)</(«)

C./(c)</(&)</(a)D./(«)</(Z?)</(c)

【答案】D

【解析】

【分析】

对函数y=/(x)求导，得出函数y=/(x)在火上单调递减，利用中间值法比较。、b、c的大小关系,

利用函数y=/(九)的单调性得出/(a)、/⑼、〃c)三个数的大小关系.

【详解】

Q/(x)=—V—3%+2sinx,/'(x)=—3x2—3+2cosx4—3x2—3+2=—3x2—1<0,

所以，函数y=/(x)在尺上单调递减，

2

Qa=2°3>2°=l,0<0,3<0.3°,即0<b<l,c=log20.3<log21=0,则a>6>c,

函数y=/(%)在尺上单调递减，因此，/(。)</(〃)</(c),故选D.

【点睛】

本题考查函数值的大小比较，这类问题需要结合函数的单调性以及自变量的大小，其中单调性可以利用导

数来考查，本题中自变量的结构不相同，可以利用中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题.

9.以下几个命题中：

①线性回归直线方程§=队+»恒过样本中心(京亍)；

②用相关指数心可以刻画回归的效果，值越小说明模型的拟合效果越好；

③随机误差是引起预报值y和真实值V之间存在误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差；

④在含有一个解释变量的线性模型中，相关指数R2等于相关系数r的平方.

其中真命题的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】

由线性回归直线恒过样本中心可判断①，由相关指数的值的大小与拟合效果的关系可判断②，由随机误差

和方差的关系可判断③，由相关指数和相关系数的关系可判断④.

【详解】

①线性回归直线方程§=乳+%恒过样本中心（工亍）,所以正确.

②用相关指数尺2可以刻画回归的效果，值越大说明模型的拟合效果越好，所以错误.

③随机误差是引起预报值y和真实值丁之间存在误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差；所以正

确.

④在含有一个解释变量的线性模型中，相关指数R2等于相关系数r的平方,所以正确.

所以①③④正确.

故选：C

【点睛】

本题考查线性回归直线方程和相关指数刻画回归效果、以及与相关系数的变形，属于基础题.

10.设集合4={#2-％-12>0},5={%力—6<%<6},则43的元素的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】

分析：分别求出A和B,再利用交集计算即可.

详解：4={小）4曲<—3},B={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},

则Ac5={-6,—5,-4,5,6},交集中元素的个数是5.

故选：C.

点睛：本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

11.函数〃％）=（2%—1），（e为自然对数的底数）的