2024安徽中考数学二轮专题复习 微专题 利用截长补短解决线段和差关系 （课件）

方法解读1.遇角平分线构造对称图形【条件】如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.①截长法：在AB上截取AE＝AC.【结论】①BE＝DE＝DC；②AB＝AC＋CD；微专题利用截长补短解决线段和差关系②补短法：延长AC到点F，使得AF＝AB，连接DF.【结论】①CD＝CF；②AB＝AC＋CD.2.遇垂线构造对称图形【条件】在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＋BD＝CD.①截长法：在BC上截取CE＝AB.【结论】BD＝DE，AE＝EC＝AB；②补短法：延长DB至点E，使BE＝BA，连接AE.【结论】DE＝CD，AE＝AC.3．题干中若无角平分线或垂线，需进行线段的等量转化例例1如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C.求证：AC＝AB＋BD.【自主作答】证明：如解图，在AC上截取AE＝AB，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD，∵AB＝AE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED(SAS)，∴BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，例1题图E∵∠AED＝∠C＋∠EDC，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∴BD＝EC，∴AC＝AE＋EC＝AB＋BD.例1题图E例2题图例2如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D.求证：CD＝BD＋AB.【自主作答】证明：【解法一】如解图①，在CD上截取DP＝BD，连接AP，P∵AB＝AP，∠B＝∠APB＝2α，∠APB＝∠C＋∠CAP＝α＋∠CAP，∴∠C＝∠CAP＝α，∴AP＝PC，∴AB＝AP＝PC，∴CD＝DP＋PC＝BD＋AB.2α2αα∵AB＝BP，∴∠P＝∠PAB＝α，∴∠P＝∠C，∴AP＝AC，∵AD⊥PC，∴DP＝DC，∴CD＝DP＝BD＋PB＝BD＋AB.【解法二】如解图②，延长DB至点P，使BP＝AB，连接AP，P例2题图2αααα【解法三】如解图③，延长DB至点P，使DP＝DC，P例2题图∵DP＝DC，AD⊥PC，∴AP＝AC，∴∠C＝∠P＝α，又∵∠ABC＝2α，∠ABC＝∠APB＋∠PAB＝α＋∠PAB，∴∠P＝∠PAB＝α，∴AB＝PB，∴CD＝DP＝DB＋BP＝BD＋AB.2αα∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∴2∠DAE＋∠AED＝180°，∵∠DAE＋∠B＝90°，∴2∠DAE＋2∠B＝180°，例3题图例3如图，四边形ABCD中，点E是BC上一点，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE＋∠B＝90°，求证：BE＝DC＋CE.【自主作答】证明：如解图，在EB上截取EF，使得EF＝DC，连接AF，F∴∠AED＝2∠B＝∠DCB，∵∠BED＝∠CDE＋∠DCE，∴∠AEB＝∠CDE，∴△AEF≌△EDC，∴EC＝AF，∠AFE＝∠DCB＝2∠B，∵∠AFE＝∠B＋∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF，∴BF＝AF，∴BF＝CE，∴BE＝EF＋BF＝DC＋CE.例3题图F安徽近年真题精选1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°.(1)求证：△PAB∽△PBC;第1题图【思维教练】已知∠APB＝∠BPC，要证△PAB∽△PBC，则需证∠PBC＝∠PAB或∠PCB＝∠PBA，根据题干得到△ABC是等腰直角三角形，根据三角形内角和以及角度之间的转换即可求证．证明：(1)∵在△ABP中，∠APB＝135°，∴∠ABP＋∠BAP＝45°.又∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，第1题图即∠ABP＋∠CBP＝45°，∴∠BAP＝∠CBP.∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△PAB∽△PBC；(4分)第1题图(2)求证：PA＝2PC；【思维教练】已知∠APB＝∠BPC＝135°，可得∠APC＝90°，要证PA＝2PC，观察图形可得如下简化后的图形，在AP上取一点D，使得AD＝CP，证明CP＝DP即可第1题图(2)由(1)知△PAB∽△PBC，∴∴，∴PA＝2PC；(9分)第1题图∵∠CAP＋∠ACP＝90°，∠ACP＋∠PCB＝90°，∴∠CAD＝∠BCP.

∵∠APB＝∠BPC＝135°，∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°，∴∠APC＝90°.∵∠CAP<45°，∴AP>CP.D如解图①，在线段AP上取一点D，使AD＝CP，连接CD.第1题图一题多解∵AC＝CB，∴△ADC≌△CPB(SAS)．∴∠ADC＝∠CPB＝135°.∴∠CDP＝45°，又∵∠APC＝90°，∴△PDC为等腰直角三角形，∴CP＝PD.∵AD＝CP，∴PA＝2PC;(9分)D第1题图一题多解(3)若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证：＝h2·h3.

第1题图【思维教练】分别作出三边上的高，根据相似三角形对应角相等的性质，可列出关于正切值的等式，进而求解．(3)如解图②，过点P作边AB，BC，CA的垂线，垂足分别为Q，R，S，则PQ＝h1，PR＝h2，PS＝h3.在Rt△CPR中，由(2)知

＝tan∠PCB＝tan∠