概率论与数理统计第二章课后习题详解

概率论与数理统计第二章随机变量及其分布课后习题详解——财务0901习题2-1（P27）什么是随机变量？随机变量与普通变量有什么区别？设Ω为某一随机试验的样本空间，如果对于每一个样本点ω∈Ω，有一个实数X(ω)与之对应，这样就定义了一个Ω上的实值函数X=X(ω)，称之为随机变量。随机变量的定义域是样本空间，也就是说，当一个随机试验的结果确定时，随机变量的值也确定下来。因此，如不与某次试验联系，就不能确定随机变量的值。所谓随机变量，实际上是用变量对试验结果的一种刻画，是试验结果(即样本点)和实数之间的一个对应关系，不过在函数概念中，函数f(x)的自变量是实数x，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量是试验结果(即样本点)。随机变量的取值随试验结果而定。（上题由陈菁同学提供）一箱产品共10件,其中9件正品1件次品，一件一件无放回的抽取，直到取到次品为止，设取得次品时已取出的正品件数为X，试用X的值表示下列事件。（1）第一次就取得次品；（2）最后一次才取得次品；（3）前五次都未取得次品；（4）最迟在第三次取得次品。解：（1）第一次取得次品，即：取出0件正品，可表示为{X=0}（2）最后一次取得正品就是已取出9件正品，即{X=9}（3）前五次都未取得次品，就是至少已取出5件正品，即{X5}（4）最迟在第三次取得次品，就是最多取得两件正品，即{X2}（上题由陈莉同学提供）习题2-2（P31）3.袋中装有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，从中任取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，求随机变量X的概率分布。解：P(X=1)=0P(X=2)=0P(X=3)==0.1P(X=4)==0.3P(X=5)==0.6随机变量X的概率分布为：（上题由范秋薇同学提供）4.设随机变量X的概率分布为P{X=k}=(k=1,2,…..9)(1)求常数a(2)求概率P{X=1或X=4}(3)求概率P{-1X<}解：（1）则P{X=k}=（2）P{X=1或X=4}=P{X=1}+P{X=4}=+=（3）P{-1X<}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}==（上题由黄婷同学提供）5．一箱产品中装有3个次品，5个正品，某人从箱中任意摸出4个产品，求摸得的正品个数X的概率分布。解：X的可能取值有1,2,3,4所以X的概率分布为：X1234P1/143/73/71/14（上题由姬婷婷同学提供）6.袋中共有6个球，其中2个是白球，4个是黄球。在下列两种情况下，分别求出取到白球个数X的概率分布。（1）无放回抽取，每次抽1个，共抽3次；解：X=0时X=1时X=2时X012P1/53/51/5（2）有放回抽取，每次抽1个，共抽3次。把每次抽到白球看作一次实验，对抽到白球的个数看作3重伯努利概型，故X服从参数为n=3，p=1/3的二项分布，即X~B(3,1/3),其概率分布为：（上题由焦雅丽同学提供）7.某街道共有10部公用电话，调查表明在任一时刻T每部电话被使用的概率为0.85，求在同一时刻被使用的公用电话部数X的概率分布至少有8部电话被使用的概率至少有1部电话未被使用的概率为了保证至少有1部电话未被使用的概率不小于90%，应再安装多少部公用电话？解：（1）（2）（3）∵“至少有一部电话未被使用”的对立事件为“所有电话都被使用”∴（4）15-10=5∴应再安装5部电话。（上题由孔丽芳同学提供）8．尽管在几何教科书中已经讲过用圆规和直尺三等分一个任意角是不可能的，但每年总有一些“发明者”撰写关于用圆规和直尺将角三等分的文章。设某地区每年撰写此类文章的篇数X服从参数为6的泊松分布，求明年没有此类文章的概率。解:由题意可得：X服从参数为6的泊松分布，即=6，所以当k=0时=所以明年没有此类文章的概率为.（上题由罗丹丹同学提供）9.一电话交换台每分钟收到的呼唤次数X服从参数为4的泊松分布，求（1）每分钟恰有3次呼唤的概率；（2）每分钟的呼唤次数大于2的概率。解：（1）P==(2)==（上题由聂思莹同学提供）习题2-3（P36）10、设X服从参数p=0.2的0-1分布，求随机变量X的分布函数，并作出其图形。解：图示YYX0.2101（上题由邵俊同学提供）11.某射手射击一个固定目标，每次命中率为0.3，每命中一次记2分，否则扣1分，求两次射击后该射手得分总数X的分布函数。解：两次都没击中(即得-2分)的概率P1=0.7*0.7=0.49一次击中一次未中(即得1分)的概率P2=0.7*0.3*2=0.42两次都击中(即得4分)的概率P3=0.3*0.3=0.09∴其概率分布图为X-214P0.490.420.09∴X的分布函数为：（上题由邰芸同学提供）12．随机变量X的分布函数为求（1）常数A；（2）概率P{x>1/2};（3）P{-1<x≤2}解：（1）因为分布函数右连续所以1=A×1A=1（2）因为P{x>1/2}=1-P{x≤1/2}=1-F(1/2)=1-1/2=1/2(3)P{-1<x≤2}=F(2)-F(-1)=1-0=1（上题由王蓉同学提供）13．某人求得一随机变量X的分布函数为他的计算结果是否正确？试加以说明。（上题由徐潇萌同学提供）习题2-4(P43)14．设随机变量X的概率密度为求（1）系数a（2）P{0}（3）解：（1）0+=1(2)P{0x<}=F()F(0)=(3)=1==（上题由张洁芸同学提供）15．设随机变量X的概率密度为试求（1）常数A;(2)P{X>0.5};(3)P{X>1/X<2}（上题由张颖异同学提供）（上题由朱滢同学提供）（上两题由陈雪同学提供）19、设（1）求(2)求;（3）解：（1）（2）即得（与前提不符）所以（3）当(与条件不符)得所以（上题由崔颖同学提供）20、（1）(2)(3)(4)解：（1）由(2)（3）(4)（上题由崔颖同学提供）（上两题由谷玉龙同学提供）23.某校抽样调查表明，该校考生外语成绩（百分制）服从正态分布N（72，），已知96分以上的占考生总数的2.3%，求考生的外语成绩在60分到84分之间的概率。解：因为X~N(72,)所以~N(0,1)由题意得P{X96}====1-=0.023所以=0.977查表得=2.00所以=1.00因为==20.8413-1=0.6826（上题由黄纯晨同学提供）习题2-5（P48）24.设随机变量X分布为X-2-1012P0.10.30.30.20.1试分别求Y=2X+3和的概率分布。解：由题可得P0.10.30.30.20.1X-2-1012Y=2X+3-1135741014所以可知Y-11357P0.10.30.30.20.1Z014P0.30.50.2（上题由黄纯晨同学提供）25．设随机变量X的概率密度为,求的概率密度。解：（上题由金鹏程同学提供）26.设随机变量X的概率密度为，求的概率密度解：（上题由金鹏程同学提供）27.设X~N（0,1），求（1）Y=e的概率密度；（2）Y=X的概率密度。解：由题可知，X的概率密度为（1）由于Y=e>0，故当y0时，当y>0时，即从而，Y的概率密度为（2）由于Y=X0,故当y0时，当y>0时，即从而，Y的概率密度为（上题由史蓉同学提供）28.设X服从参数=1的指数分布，求Y=-1的概率密度。解：由题由于Y=-1-1,故当y-1时，当y>-1时，即从而，Y的概率密度为（上题由史蓉同学提供）29.测量球的直径，设测量值服从[a,b]上的均匀分布，求球的体积的概率密度。解：设x为球的直径，责球的体积为，已知x满足当时（上题由王海荣同学提供）复习题2（P49）30．一串钥匙共n把，只有一把能将门打开，今逐个任取一把试开，求下列两种情况下打开此门所需开门次数X的概率分布。（1）打不开门的钥匙不放回（2）打不开门的钥匙任放回解：将n把钥匙编号为1,2，……n,假设编号为1的钥匙能打开门。法一：因钥匙已编号，将用过的钥匙依次排列，则n把钥匙的每个排列就是一个基本事件，所以基本事件总数为数码1,2，……n的全排列：！因为在第k个位置上排列的钥匙一定是编号等于1的钥匙的个数只有一种排法，在其他n-1个位置上钥匙的排列种数为（n-1）!,即事件的基本事件数等于（n-1）!法二：只关心第k次取到什么编号的钥匙，不考虑其他因素。所以，样本空间的基本事件总数就是第k次可能摸到球的个数为n.的基本事件数为n,编号为1的钥匙的个数为1，而第k次首次摸到编号为1的钥匙只有一种结果。（上题由王海荣同学提供）31．甲、乙两人独立地轮流投篮，直至某人投中为止，让甲先投，若甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，求甲、乙投篮次数X，Y的概率分布。解：甲投篮次中止游戏，则伴随前面甲与乙都有一次未投中，所以乙投篮次中止游戏，则伴随前面甲有n次与乙有n-1次未投中，所以（k=1，2，3…）所以，X的分布律：（k=1，2，3...）Y的分布律：当时，（k=1，2，3…）（上题由王琪琪同学提供）32.设X~P（），且，求。解：因为X~P（），所以（k=1，2，3…）因为，所以所以所以（上题由王琪琪同学提供）33．已知随机变量x的概率密度为且p{x>}=求常数a,b计算p{x<}求常数c，使p{xc}=解：(1)=1\*GB3①∴a+b=11)=2\*GB3②∵p{x>}=∴p{x}=又p{x}=∴即a+4b=32)由1）、2）式得a=1,b=(2)p{x<}=F()-F()=*[+--]=(3)由p{xc}=5/32得即（4c-1）(4c+5)=0C=或c=∵当x0或x1时,F(x)=0∴c=舍去∴c=（上题由张宇莲同学提供）34.在区间[0，a]上任意投掷一个质点，用X表示该质点的坐标。设这个质点落在[0，a]中任何小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求X的分布函数和概率密度。解：由题意知X满足正态分布，则有X的分布函数X的概率密度（上题由张宇莲同学提供）35.设连续型随机变量X的分布函数为求（1）常数A，B；（2）X的概率密度f(x)；（3）。解：（1）（2）（3）（上题由赵洁同学提供）36.设X~N（），X的概率密度为试确定常数的值，并写出的概率密度函数。解：（1）（上题由赵洁同学提供）37.设,且P{2<X<4}=0.1,不查表计算P{X<0}。解：由题意得：（上题由庄严同学提供）38.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(单位：min)服从指数分布，其概率密度为某顾客在窗口等待服务，若超过10min,他就离开。他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P{Y1}。解：由题意得：（上题由庄严同学提供）39.某种型号的电子元件的寿命X（单位：h）的概率密度为：现有一大批此种元件（设各元件损坏与否相互独立），任取5只，求其中至少有2只寿命大于1500h的概率。解：任取一只元件，其寿命大于1500h的概率为P(X>1500)=以Y记所取5只中寿命大于1500h的元件的数目，则Y服从二项分布B(5,),故所求概率为（上题由史蓉同学提供）40.设X~B(3,0.4)，求Y=和Z=sin的概率分布。解：由题，X服从二项分布，即P{X=k}=P{X=0}==0.216P{X=1}==0.432P{X=2}==0.288P{X=3}==0.064X0123P0.2160.4320.2880.064Y=0110Z=sin010-1故Y的概率分布为Y01P0.280.72故Z的概率分布为Z-101P0.0640.5040.432（上题由史蓉同学提供）41.证明：随机变量X在（0,1）上服从均匀分布的充要条件是Y=_ln(1-X)服从参数为2的指数分布。证明：充分性：Y=由可得又当时，当x<0时，当x>1时，即