四川省泸州市泸县2024-2025学年高二数学下学期期中试题理科含解析

Page212024年春期高二期中考试数学（理工类）第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某地区小学，初中，中学三个学段的学生人数分别为4800人，4000人，2400人．现接受分层抽样的方法调查该地区中小学生的“才智阅读”状况，在抽取的样本中，初中学生人数为70人，则该样本中中学学生人数为（）A.42人 B.84人 C.126人 D.196人【答案】A【解析】【分析】设中学抽取人数为，依据条件，建立比例关系进行求解即可．【详解】解：设中学抽取人数为x则，得故选：A【点睛】本题主要考查了分层抽样应用，属于基础题.2.已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】依据复数的概念及复数的除法即可求解.【详解】，所以z的虚部为.故选：A.3.已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（）A. B.（0，4）C. D.【答案】C【解析】【分析】依据命题与它的否定命题真假性相反，写出该命题的否定命题，再求实数的取值范围．【详解】解：命题“，”是假命题，则它的否定命题“，”是真命题，当时，不等式为，明显成立；所以时，应满意，解得，所以实数a的取值范围是．故选：C．4.在的二项绽开式中，的系数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出二项绽开式的通项公式令，即得解；【详解】由题意，二项绽开式的通项为：令因此二项绽开式中的系数是：；故选：B.5.执行如图所示的程序框图，输出的（）A. B. C. D.0【答案】B【解析】【分析】依据给定的程序框图，依次计算直到条件被满意即可作答.【详解】由程序框图知，第一次循环，推断不成立，，；其次次循环，推断不成立，，；第三次循环，推断不成立，，；第四次循环，推断成立，，；第五次循环，推断成立，，；第六次循环，推断成立，，，跳出循环，输出．故选：B6.某会议有来自6个学校代表参与，每个学校有3名代表.会议要选出来自3个不同学校的3人构成主席团，不同的选举方法数为（）A.816 B.720 C.540 D.120【答案】C【解析】【分析】先从6个学校中挑3个学校用来选举，然后每个学校中的三个人中选出1个即，然后利用分步乘法计算即可.【详解】先从6个学校中挑3个学校用来选举，然后每个学校中的三个人中选出1个即，则不同的选举方法数为.故选：C7.下表是某厂月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份用水量由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回来直线方程是，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】分析：先求出样本中心点，将该点的坐标代入回来方程可求得的值．详解：由题意得．∴样本中心为．∵回来直线过样本中心，∴，解得．故选A．点睛：回来直线过样本中心是一个重要的结论，利用此结论可求回来直线中的参数，也可求样本数据中的参数．由于此类问题常涉及到大量的运算，所以在解题是要留意计算的精确性．8.已知函数，若在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求得导函数，由原函数单调递增求得函数的单调递增区间，结合题意将原问题转化为子区间的问题，得到关于m的不等式组，求解不等式组即可求得实数m的取值范围.【详解】详解：因为，令可得-2≤x≤2，所以要使函数f(x）在区间上单调递减，则区间（2m，m+1）是区间的子区间，所以，求解不等式组可得：，解得-1≤m<1，所以实数m的取值范围是.故选：D9.若事务为两个互斥事务，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（）①②③④A.①③④ B.②③④ C.①②④ D.①②③【答案】A【解析】【分析】依据互斥事务的含义可推断①；依据题意可知，从而推断②；依据概率的性质可推断③④．【详解】事务为两个互斥事务，，，故①正确；事务为两个互斥事务，则，，故②错误；，故③正确；，故④正确，综上，①③④正确，故选：A．10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断削减，这种现象称为衰变．假设、在放射性同位素铯衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满意函数关系：，则铯含量在时的瞬间变更率为（）A.（太贝克/年） B.（太贝克/年）C.（太贝克/年） D.（太贝克/年）【答案】A【解析】【分析】求出函数的导函数，令即可得到含量在时的瞬间变更率．【详解】解：依题意，，所以铯含量在时的瞬间变更率为：（太贝克年），故选：．【点睛】本题考查了复合函数的导数的计算，对数函数的导数，导数与瞬时变更率，属于基础题．11.设椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为、，P是椭圆上一点，，()，，则椭圆离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，，运用椭圆的定义和勾股定理，求得，令，可得，即有，运用二次函数的最值的求法，解不等式可得所求范围．【详解】解：设，，由椭圆的定义可得，，可设，可得，即有，①由，可得，即为，②由②①，可得，令，可得，即有，由，可得，即，则当时，取得最小值；当或3时，取得最大值，即有，解得：，所以椭圆离心率的取值范围为.故选：B.【点睛】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的范围，同时考查不等式的解法，属于中档题．12.设函数，若不等式仅有1个正整数解，则实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由不等式，即，两边除以，则，转化函数图象上仅有1个横坐标为整数的点落在直线的下方，结合图象，即可求解．【详解】由函数的定义域为，不等式，即，两边除以，则，留意到直线恒过点，不等式仅有1个正整数解，即函数图象上仅有1个横坐标为整数的点落在直线的下方，由图象可知，这个点，可得，即，故选B．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中转化函数图象上仅有1个横坐标为整数的点落在直线的下方，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的实力，属于中档试题．第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若1，2，3，x的平均数是5，而1，3，3，x，y的平均数是6，则1，2，3，x，y的方差是________.【答案】24.56【解析】【分析】先求出x和y,再求出1，2，3，x，y的方差.【详解】由题得，所以.所以1，2，3，x，y的平均数为，所以1，2，3，x，y的方差为.故答案为：24.56【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.14.已知命题，命题.若是的充要条件，则的值是________.【答案】【解析】【分析】解不等式，依据不等式与不等式的解集相同可求得实数的值.【详解】解不等式，即，解得，由于是的充要条件，则不等式的解集为，是关于的方程的一根，则，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用充要条件求参数，考查分式不等式的解法以及利用一元二次不等式的解求参数，考查运算求解实力，属于基础题.15.已知曲线C：，直线l：．若当时，直线l恒在曲线C的上方，则实数k的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】将问题转化为恒成立，再分别出，再求函数的最小值即可.【详解】解：当时，直线l恒在曲线C的上方，等价于当时，恒成立，则.设，则.时，；时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增.所以当时，取得最小值，所以，即.故答案为：16.已知过点作抛物线的两条切线,切点分别为A、B,直线经过抛物线C的焦点F,则___________．【答案】64【解析】【分析】用字母进行一般化探讨,先求出切点弦方程,再联立化简,最终代入数据计算【详解】设,点处的切线方程为联立,得由,得即,解得所以点处的切线方程为,整理得同理,点处切线方程为设为两切线的交点,则所以在直线上即直线AB的方程为又直线AB经过焦点所以,即联立得所以所以本题中所以故答案为:64【点睛】结论点睛:过点作抛物线的两条切线,切点弦的方程为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分17.已知函数（其中）.（1）求函数的极值点；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）极大值点为，微小值点为；（2）.【解析】【分析】（1）对求导，利用导数求出函数的单调性，进而求得极值点；（2）函数有三个零点，等价于的图象与轴有三个交点，求出函数的极值，列不等式即可求得的范围．【详解】解：（1）因为函数，则定义域为，且，令，解得或.当变更时，，变更状况如下表：极大值微小值因此函数在处取得极大值；在处取得微小值，所以函数的极大值点为，微小值点为（2）函数有三个零点，等价于的图象与轴有三个交点由（1）可知，在处取得极大值；在处取得微小值，因为的图象与轴有三个交点则，解得故实数的取值范围为18.某学校为打算参与市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成果（单位：）．跳高成果在175以上（包括175）定义为“合格”，成果在175以下定义为“不合格”．鉴于乙队组队晚，跳高成果相对较弱，为激励乙队队员，学校确定只有乙队中“合格”者才能参与市运动会开幕式旗林队．（1）求甲队队员跳高成果的中位数；（2）假如将全部的运动员按“合格”与“不合格”分成两个层次，用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共5人，则各层应抽取多少人？（3）若从全部“合格”运动员中选取2名，用表示所选运动员中能参与市运动会开幕式旗林队的人数，试写出的分布列，并求的数学期望．【答案】（1）；（2）合格人数为人，不合格人数为人；（3）分布列见解析，．【解析】【分析】（1）依据中位数的定义求解；（2）首先依据茎叶图得到甲、乙两队合格人数与不合格人数，从而依据抽样比求解；（3）首先得到的全部可能取值，然后分别求出相应概率，列出分布列，求得数学期望．【小问1详解】（1）由茎叶图知，甲田径队12名队员的跳高成果从小到大排列后中间的两个成果为、，故中位数为．【小问2详解】由茎叶图可知，甲、乙两队合格人数共有12人，不合格人数18人，所以，抽取五人，合格人数为人，不合格人数为人．【小问3详解】，，，因此，的分布列如下：

0

1

2

∴.19.如图，直三棱柱，.（1）证明：；（2）设为的中点，，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）依据与证明平面.（2）以为原点，分别为非负半轴建立直角坐标是，用空间向量法解决.【小问1详解】直三棱柱，平面，并且平面，又，且，平面平面，又平面，.【小问2详解】，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图，则，所以的中点，则，，，设平面的一个法向量，则，可取，设平面的一个法向量，则，可取，则，因所求角为钝角，所以二面角的余弦值为.20.已知椭圆:的左、右焦点分别为,,过点且斜率为k的直线与椭圆交于A,B两点.当A为椭圆E的上顶点时,.（1）求椭圆的标准方程;（2）当时,试推断以AB为直径的圆是否经过点,并说明理由.【答案】（1）（2）以为直径的圆不经过点,理由见解析【解析】【分析】(1)将直线方程求出来,再带入向量等式即可求出椭圆方程;(2)联立计算出值,即可推断是否经过.【小问1详解】由题意,得椭圆的半焦距,当为椭圆的上顶点时,,设,则,.由,得,,∴,将点的坐标代入椭圆的方程,得，解得.又,∴,∴椭圆的标准方程是.【小问2详解】以AB为直径的圆不经过点,理由如下:依题意,知直线的方程为.联立,消去,并整理得.设,,则由根与系数的关系,得,.易知,直线,的斜率都存在且不为0.若以为直径的圆经过点,则，所以直线,的斜率之积为-1,即,而,所以以为直径的圆不经过点.21.已知，，（其中e为自然对数的底数）.（1）求函数的单调区间；（2）若，函数有两个零点，，求证：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导函数，探讨参数的取值范围即可求解单调区间；（2）解法一：先证：，即证：，令函数，通过求导推断单调性可证明，从而得；解法二：由，令利用导数推断单调性，再构造，求导分析单调性即可证明，从而有．【详解】（1）解：∵，∴时，，∴时，增区间为：，减区间为：；时，，∴时，增区间为：；时，，，∴时，增区间为：，减区间为：；（2）解法一：由（1）知，时，增区间为：，减区间为：；且时，，，函数的大致图像如下图所示因为时，函数有两个零点，，所以，即，不妨设，则；先证：，即证：因为，所以，又在单调递增，所以即证：又，所以即证：，令函数，，则因为，所以，，故函数在单调递增，所以因为，所以，，即所以．（2）解法二：因为时，函数有两个零点，，则两个零点必为正实数，（）等价于有两个正实数解；令（）则（），在单调递增，在单调递减，且令，，则所以在单调递增，又，故，又，所以，又，所以，，又在单调递增，所以所以．【点睛】关键点点睛：本题的其次问关键在于构造新函数，通过求导，层层地分析单调性，从而证明，再结合均值不等式求得结果．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.假如多做，则按所做的第一题计分.（选修4-4极坐标与参数方程）22.已知曲线的方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极