新疆维吾尔自治区昌吉市教育共同体四校2025届高一数学第二学期期末统考模拟试题含解析

新疆维吾尔自治区昌吉市教育共同体四校2025届高一数学第二学期期末统考模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为30°，则此圆锥的体积为（）A． B． C． D．2．已知非零向量、，“函数为偶函数”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件3．已知集合A={x︱x>－2}且，则集合B可以是（）A．{x︱x2>4} B．{x︱}C．{y︱} D．4．已知函数在上单调递增，且的图象关于对称.若，则的解集为（）A． B．C． D．5．下列事件中，是必然事件的是（）A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B．13个人中至少有两个人生肖相同C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D．明天一定会下雨6．中,，则（）A．5 B．6 C． D．87．设，函数在区间上是增函数，则（）A． B．C． D．8．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的最大值是（）A．1 B． C． D．9．与直线垂直于点的直线的一般方程是（）A． B． C． D．10．半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（）A．2 B．0 C．-2 D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知、、分别是的边、、的中点，为的外心，且，给出下列等式：①；②；③；④其中正确的等式是_________（填写所有正确等式的编号）.12．函数的值域为__________．13．把函数的图象向左平移个单位长度，所得图象正好关于原点对称，则的最小值为________.14．如图，为了测量树木的高度，在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，若米，则树高为______米.15．已知直线l在y轴上的截距为1，且垂直于直线，则的方程是____________.16．如图，正方体中，的中点为，的中点为，为棱上一点，则异面直线与所成角的大小为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知圆的圆心在线段上，圆经过点，且与轴相切.（1）求圆的方程；（2）若直线与圆交于，两点，当最小时，求直线的方程及的最小值.18．解方程:.19．在数列中，，，数列的前项和为，且．（1）证明：数列是等差数列．（2）若对恒成立，求的取值范围．20．中，D是边BC上的点，满足，，.（1）求；（2）若，求BD的长.21．如图所示，在平面四边形中，为正三角形.（1）在中，角的对边分别为，若，求角的大小；（2）求面积的最大值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

根据母线长和母线与轴的夹角求得底面半径和圆锥的高，代入体积公式求得结果.【详解】由题意可知，底面半径；圆锥的高圆锥体积本题正确选项：【点睛】本题考查锥体体积的求解问题，属于基础题.2、C【解析】

根据，求出向量的关系，再利用必要条件和充分条件的定义，即可判定，得到答案．【详解】由题意，函数，又为偶函数，所以，则，即，可得，所以，若，则，所以，则，所以函数是偶函数，所以“函数为偶函数”是“”的充要条件．故选C．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，函数奇偶性的定义及其判定，以及充分条件和必要条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3、D【解析】

A、B={x|x＞2或x＜-2}，

∵集合A={x|x＞-2}，

∴A∪B={x|x≠-2}≠A，不合题意；

B、B={x|x≥-2}，

∵集合A={x|x＞-2}，

∴A∪B={x|x≥-2}=B，不合题意；

C、B={y|y≥-2}，

∵集合A={x|x＞-2}，

∴A∪B={x|x≥-2}=B，不合题意；

D、若B={-1，0，1，2，3}，

∵集合A={x|x＞-2}，

∴A∪B={x|x＞-2}=A，与题意相符，

故选D．4、D【解析】

首先根据题意得到的图象关于轴对称，，再根据函数的单调性画出草图，解不等式即可.【详解】因为的图象关于对称，所以的图象关于轴对称，.又因为在上单调递增，所以函数的草图如下：所以或，解得：或.故选：D【点睛】本题主要考查函数的对称性，同时考查了函数的图象平移变换，属于中档题.5、B【解析】

根据必然事件的定义，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】买一张电影票，座位号可以是2的倍数，也可以不是2的倍数，故A不正确；13个人中至少有两个人生肖相同，这是必然事件，故B正确；车辆随机到达一个路口，可以遇到红灯，也可以遇到绿灯或者黄灯，故C不正确；明天可能下雨也可能不下雨，故D不正确.故选：B【点睛】本题主要考查必然事件的定义，属基础题.6、D【解析】

根据余弦定理，可求边长.【详解】，代入数据，化解为解得或（舍）故选D.【点睛】本题考查了已知两边及其一边所对角，求另一边，这种题型用余弦定理，属于基础题型.7、C【解析】

首先比较自变量与的大小，然后利用单调性比较函数值与的大小.【详解】因为，函数在区间上是增函数，所以.故选C.【点睛】已知函数单调性比较函数值大小，可以借助自变量的大小来比较函数值的大小.8、D【解析】由图象性质可知，，解得，故选D。9、A【解析】由已知可得这就是所求直线方程，故选A.10、C【解析】

将转化为，利用向量数量积运算化简，然后利用基本不等式求得表达式的最小值.【详解】画出图像如下图所示，,等号在，即为的中点时成立.故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量加法运算，考查平面向量的数量积运算，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①②④.【解析】

根据向量的中点性质与向量的加法运算,可判断①②③.【详解】、、分别是的边、、的中点,为的外心,且,设三条中线交点为G,如下图所示:对于①,由三角形中线性质及向量加法运算可知,所以①正确;对于②,,所以②正确;对于③,,所以③错误;对于,由外心性质可知,所以故正确.综上可知,正确的为①②④.故答案为:①②④.【点睛】本题考查了向量的线性运算,三角形外心的性质及应用,属于基础题.12、【解析】

本题首先可通过三角恒等变换将函数化简为，然后根据的取值范围即可得出函数的值域．【详解】因为，所以.【点睛】本题考查通过三角恒等变换以及三角函数性质求值域，考查二倍角公式以及两角和的正弦公式，考查化归与转化思想，是中档题．13、【解析】

根据条件先求出平移后的函数表达式为，令即可得解.【详解】由题意可得平移后的函数表达式为，图象正好关于原点对称，即，又，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了函数图像的平移以及三角函数的图像与性质，属于基础题.14、【解析】

先计算，再计算【详解】在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为则在中，故答案为【点睛】本题考查了三角函数的应用，也可以用正余弦定理解答.15、；【解析】试题分析：设垂直于直线的直线为，因为直线在轴上的截距为，所以，所以直线的方程是.考点：两直线的垂直关系.16、【解析】

根据题意得到直线MP运动起来构成平面，可得到面，进而得到结果.【详解】取的中点O连接，，根据题意可得到直线MP是一条动直线，当点P变动时直线就构成了平面，因为MO均为线段的中点，故得到，四边形为平行四边形，面，故得到，又面，进而得到.故夹角为.故答案为.【点睛】这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）的方程为，最小为【解析】

（1）设圆的方程为，由题意可得，求解即可得到圆的方程；（2）过定点，当直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦最小，求解即可.【详解】解：（1）设圆的方程为，所以，解得所以圆的方程为.（2）直线的方程可化为点斜式，所以过定点．又点在圆内，当直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦最小．因为，所以的斜率，所以的方程为，即，因为，，所以．【点睛】求圆的弦长的常用方法几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；②代数方法：运用韦达定理及弦长公式：＝＝.18、或或【解析】

由倍角公式可将题目中的方程变形解出来【详解】因为所以或由得由得所以所以或所以或综上：或或【点睛】，我们在解题的时候要灵活选择.19、（1）见解析（2）【解析】

（1）根据已知可变形为常数；（2）首先求数列的通项公式，然后利用裂项相消法求，若满足对恒成立，需满足，，求的取值范围.【详解】（1）证明：因为，所以，，则．又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）可知，则．因为，所以，所以．易知单调递增，则．所以，且，解得．故的取值范围为．【点睛】本题考查了证明等差数列的方法，以及裂项相消法求和，本题的一个亮点是与函数结合考查数列的最值问题，涉及最值时，需先判断函数的单调性，可以根据函数特征直接判断单调性或是根据的正负判断单调性，然后求最值.20、（1）（2）【解析】

（1）由中，D是边BC上的点，根据面积关系求得，再结合正弦定理，即可求解.（2）由，化简得到，再结合，解得，进而利用勾股定理求得的长.【详解】（1）由题意，在中，D是边BC上的点，可得，所以又由正弦定理，可得.（2）由，可得，所以，即，由（1）知，解得，又由，所以.【点睛】本题主要考查了三角形的正弦定理和三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记解三角形的正弦定理，以及熟练应用三角的面积关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21、（1）；（2）.【解析】

（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式