高三数学二轮培优微专题36讲26.蝴蝶定理背景下的解析几何与应用

蝴蝶定理背景下的解析几何与应用1.蝴蝶定理：是二次曲线Ω的一条弦，是的中点，过作Ω的两条弦和，其中位于的同一侧，直线和分别交于点，则有.2.斜率形式结论1:分别为椭圆的左、右顶点，为轴上确定点，过直线交椭圆于两点，连接，那么.证明：过作轴，交椭圆于交于由椭圆对称性可知：：进而据蝴蝶定理可知：，于是可得：.结论2[1]：设抛物线的弦过定点，过点作非水平线交于两点，若直线与轴交于定点，直线的斜率存在且非零，则3坎迪定理如图，过圆的弦上随意一点引随意两条弦和，连接交于和，则.坎迪定理的推广设是二次曲线的随意一条弦，为上随意一点，过作随意两条弦和，连接、交直线于和.若位于两侧，则；若位于同一侧，，则.二．典例分析例1（2024一卷）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.解析：依上述蝴蝶定理的内容：由于过作轴，交与点，交椭圆于.明显为椭圆弦的中点，由蝴蝶定理：，，例2．在平面直角坐标系中，已知圆，点，是圆上随意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，设点的轨迹为曲线。（1）求曲线的方程；（2）若，设过点的直线与曲线分别交于点，其中，求证：直线必过轴上的确定点。(其坐标与无关)解析：（1）曲线的方程为：。（2）点的坐标为直线方程为：，即，直线方程为：，即,分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：.当时，直线方程为：令，解得：.此时必过点；当时，直线方程为：，与轴交点为.综上所述，直线必过轴上的确定点.注：依题，我们可以得到例3．已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点，斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程．（2）设，延长，分别与椭圆交于，两点，直线的斜率为，求证：为定值．解析：（1）由题意，得解得，∴，故椭圆的方程为．（2）设，，由已知，直线的方程为，即．由消去并整理，得．则，∵，∴，∴．∴，同理．，∵，，∴，∴为定值．注：可以看到，椭圆中的蝴蝶构型在证明过程中会出现非对称韦达结构.例4.（2024年重庆预赛）设椭圆的左、右顶点为,过右焦点作非水平直线与椭圆交于两点,记直线的斜率分别为,试证:为定值,并求此定值(用的函数表示).证明：设，代入椭圆方程得，设,则，.两式相除得,.由题意知,.从而..因为，所以.四．逆向思索：斜率之商为定值，是否恒过定点？前面我们围绕抛物线与椭圆中的“蝴蝶定理”，着力在证明斜率之商为定值！那么倘如，已知斜率之积为定值，又会出现什么样的情形呢？此时我们主要留意，在二次曲线中，斜率乘积为定值的模型是很重要的一类，而斜率之商在确定条件下可以转化为斜率之积，于是我们可以看到，在一些问题中，斜率之商为定值是可以得到一类定点问题！参考文献：[1].陈学忠.对一道斜率比为定值试题的拓展探究.[J].中学数学探讨.2024.02.[2].吴宏考.蝴蝶定理的妙用及变式推广.[J].中学数学教与学.练习.（2024甲卷）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．（1）求C的方程；（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．解析：（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时，所以，所以抛物线C的方程为.（2）设，直线，由可得，，，，，代入抛物线方程可得，，所以，同理可