山东省滕州市2024-2025学年高二数学上学期第三次线上测试试题含解析

PAGE1-第I卷(选择题)(共60分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为等差数列的前项和，若，则的值为（）A．14 B．28 C．36 D．48【答案】D【详解】因为为等差数列的前项和，所以故选：D2.双曲线的左顶点到其渐近线的距离为（）A.2 B. C. D.3【答案】C【详解】因为双曲线的左顶点为，渐近线方程为所以双曲线的左顶点到其渐近线的距离为故选：C3.经过两点，的直线方程都可以表示为（）A．B．C．D．【答案】D4.已知矩形，为平面外一点，且平面，，分别为，上的点，且，，，则（）A．B．C．1D．【答案】B【详解】解：因为，，所以所以,因为，所以，所以，故选：B5.冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列，已知，，且满意（），则该医院30天入院治疗流感的共有（）人A.225 B.255 C.365 D.465【答案】B【详解】解：当为奇数时，，当为偶数时，，所以，是以2为首项，2为公差的等差数列，所以，故选：B6.已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【详解】解：椭圆，所以为椭圆右焦点，设左焦点为，则由椭圆定义，于是.当不在直线与椭圆交点上时，､､三点构成三角形，于是，而当在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有，在第三象限交点时有.明显当在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为.故选：A.7.在圆锥PO中，已知高PO＝2，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，依据圆锥曲线的定义，图中的截面边界曲线为抛物线，在截面所在的平面中，以M为原点．MO为x轴，过M点与MO垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则抛物线的焦点到准线的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【详解】因为，，所以，又为的中点，所以，设抛物线方程为，则，所以，解得，所以抛物线的焦点到准线的距离为.故选：B.8.已知，，其中是常数，且的最小值是，满意条件的点是双曲线一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【详解】试题分析：，由题意，所以，又，故，设弦的两端点为，则，，两式相减得，所以，选D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知数列：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【详解】对A，，，故A不正确；对B，，故B正确；对C，由，，，…，，可得，故C正确；对D，该数列总有，，则，，…，，，，故，故D正确．故选：BCD10.下列说法错误的是（

）A．若空间向量，则存在唯一的实数，使得B．A，B，C三点不共线，空间中随意点O，若，则P，A，B，C四点共面C．，，与夹角为钝角，则x的取值范围是D．若是空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面，但不共线【答案】ACD【详解】A选项，若是零向量，是非零向量，则，但不存在实数，使得，A选项错误.B选项，，，，所以P，A，B，C四点共面，B选项正确.C选项，当时，，与夹角为，C选项错误.D选项，如下图所示三棱锥，是空间的一个基底，但不共面，D选项错误.故选：ACD11.泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处找寻．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（）A.点P的轨迹曲线是一条线段B.点P的轨迹与直线：是没有交会的轨迹即两个轨迹没有交点C.不是“最远距离直线”D.是“最远距离直线”【答案】BCD【详解】由题意可得，点P到点M的距离比到直线l的距离小1，即等价于“点P到点M的距离等于到直线：的距离”，故P点轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，其方程是，故A错误点P的轨迹方程是抛物线，它与直线没交点，即两者是没有交会的轨迹，故B正确要满意“最远距离直线”则必需满意与上述抛物线有交点，把代入抛物线，消去y并整理得，因为，无解，所以不是“最远距离直线”，故C正确；把代入抛物线，消去y并整理得，因为，有解，所以是“最远距离直线”，故D正确．故选：BCD．12.如图，已知椭圆，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，连接并延长分别交于两点，连接，与的面积分别记为，则在下列结论中正确的为（）A.若记直线的斜率分别为，则的大小是定值B.的面积是定值C.设，则D.为定值【答案】BC【详解】A，由题意，，设直线的方程为，，联立方程组，得，所以，得，所以，故A错误；B，设直线的方程为，则直线的方程为，联立方程组，得，不妨设点在第三象限，则，可得，所以点到的距离，又，所以，故B正确；C，联立方程组，可得，故，所以，可得，所以到直线的距离，所以，当且仅当，即时取等号.所以，故C正确；D，又，，所以，故D错误；故选：BC.第II卷(非选择题)(共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（1）已知等比数列中，则______．【答案】32详解】试题分析：（2）.在数列中，，，则______．【答案】【详解】由题意，得，，，，，故数列是以4为周期的周期数列，则．故答案为：（3）.如图，已知正三棱柱的全部棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为______．【答案】【详解】在正三棱柱中，在平面内过A作，明显射线两两垂直，以点A为原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，因正三棱柱的全部棱长均为1，则，，因动点P在线段上，则令，即有点，，，，因此点P到直线的距离，当且仅当时取等号，所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为.（4）.设为抛物线的焦点，、、为抛物线上不同三点，且，为坐标原点，若、、的面积分别为、、，则___________.【答案】3【解析】如图，连接设、、三点的坐标分别为,，,，,，则抛物线的焦点的坐标为，，，，，，点是的重心．．．故答案为：3．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.14.（满分10分）已知圆C的圆心在直线上，圆心到x轴的距离为2，且截y轴所得弦长为．（1）求圆C的方程；（2）若圆C上至少有三个不同的点到直线的距离为，求实数k的取值范围．【详解】（1）设圆心为，半径为r，依据题意得，解得，所以圆C的方程为或．（2）由（1）知圆C的圆心为或，半径为，由圆C上至少有三个不同的点到直线l：的距离为，可知圆心到直线l：的距离．即，所以，解得所以直线l斜率的取值范围为．15.（满分12分）已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）取出数列的偶数项，并按从小到大的依次排列构成新数列，写出的通项公式．【详解】（1）当时，，当时，由.不适合，所以数列的通项公式为；（2）数列的偶数项从小到大排列为：、、、、，所以，数列的偶数项成以为首项，以为公差的等差数列，则的通项公式为．16.（满分12分）如图，在四棱锥中，底面，，M为线段上一点，，N为的中点．（1）证明：平面；（2）若平面与平面所成的锐二面角的正弦值为，求直线与直线所成角的余弦值．【详解】（1）证明：由已知得，取的中点T，连接，由N为的中点知，．又，故，且，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面．（2）取的中点E，连接，由知，从而，．以A为坐标原点，的方向为x轴的则正方向，建立如图所示的空间坐标系．设，则，所以设平面的法向量为，则，可取，又平面的法向量为且平面与平面所成的锐二面角的正弦值为，∴，解得．所以，，所以，设直线与直线所成角为，则．所以直线与直线所成角的余弦值为．17.（满分12分）已知数列的前n项和是，数列的前n项和是，若，再从三个条件：①；②，；③，中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答（假如选择多组条件解答，则以选择第一组解答记分）．（1）求数列，的通项公式；（2）定义：，记，求数列的前n项和．【详解】解：（1）由，得，又，则，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，即．若选①，当时，，当时，，∴．若选②由得，所以数列是以20为首项，为公差的等差数列，∴．若选③，则．（2）由（1）知，∴当时，，当时，，∴18.（满分12分）在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F垂直于x轴的直线与C相交于A、B两点，△AOB的面积为2．（1）求抛物线C的方程；（2）若过P（，0）的直线与C相交于M，N两点，且2，求直线l的方程．【详解】（1）易知直线AB的方程为，将该直线方程代入抛物线C的方程得，∴、，且|AB|＝2p，∴△AOB的面积为，∵p＞0，解得p＝2．因此，抛物线C的方程为y2＝4x；（2）设直线MN的方程为，设点M（x1，y1）、N（x2，y2），y2﹣4my+4＝0△＝16m2﹣16＞0，解得m＜﹣1或m＞1．，，∵，∴y1＝2y2，由韦达定理得y1+y2＝3y2＝4m，则，，得，因此，直线l的方程为，即或．19.已知椭圆的左、右焦点分别是、，其长轴长是短轴长的2倍，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线、的斜率分别为、，若，