2021年湖北省当阳市九年级下学期学业质量监测（一模）数学试题

第1页（共1页）2021年湖北省当阳市九年级下学期学业质量监测（一模）数学试题一、选择题（本大题满分33分，共11小题，每小题3分）下列各小题都给出了四个选项，其中只有一个符合题目要求，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号.1．（3分）“十四五”时期，当阳致力建设“产业美、城乡美、生活美、生态美、人文美”的“五美”当阳．下面用黑体字书写的4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列各式结果是负数的是（）A．﹣（﹣1） B．（﹣1）4 C．（﹣1）0 D．﹣|﹣1|3．（3分）某校为举行“体育艺术节”，在各班征集了艺术作品．现从九年级7个班收集到的作品数量（单位：件）分别为38，41，40，36，42，41，39．这组数据的中位数是（）A．38 B．39 C．40 D．414．（3分）用4个完全相同的小正方体搭成如图所示的几何体，该几何体的（）A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三种视图都相同5．（3分）2020年7月23日，中国首次火星探测任务探测器“天文一号”顺利升空．并于2021年2月到达火星，实施火星捕获．截至2021年2月3日，“天文一号”探测器总飞行里程已超过4.5亿公里．若用科学记数法表示4.5亿，正确的是（）A．4.5×109 B．4.5×108 C．45×108 D．0.45×1096．（3分）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和10cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm7．（3分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（ab2）2＝ab4 C．（a+b）2＝a2+b2 D．＝8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，连接BD，若∠C＝125°，则∠ABD的度数等于（）A．35° B．40° C．45° D．50°9．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是点D，∠C＝45°，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AD于点E，若AE＝2，则AC的长是（）A．6 B．3 C．3 D．210．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝，AD＝1，点M，N分别是边BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别是线段DM，MN的中点，则线段EF长度的最大值为（）A．2 B． C．1 D．11．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，动点P从点B出发，在正方形的边上沿B→C→D的方向运动到点D停止，设点P的运动路程为x，在下列图象中，能表示△PAD的面积y关于x的函数关系的图象是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题满分12分，共4小题，每小题3分）请将下列各题的答案写在答题卡上指定的位置.12．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是..13．（3分）在一次食品安全质量检测中，发现一箱中的12瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这12瓶饮料中任取一瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是．14．（3分）如图，在综合与实践活动课上，同学们用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成了一个无底圆锥形小帽，则这个小纸帽的底面半径r等于cm．15．（3分）若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2021，则k＝．三、解答题（本大题满分75分，共9小题）请将下列各题的解答过程写在答题卡上指定的位置.16．（6分）解不等式：﹣x≤﹣1．17．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．18．（7分）如图，在△ABD中，∠ADB＝90°，∠A＝30°，AB＝10，点E是边AB的中点．分别以点B，D为圆心，以BE的长为半径画弧，两弧交于点C；连接CB，CD．（1）根据以上尺规作图的过程，证明：四边形BCDE是菱形；（2）求菱形BCDE的面积．19．（7分）某校举行“教师基本功和课堂教学”竞赛，共有甲、乙、丙、丁、戊5位教师报名参加，需从中选取两名成绩最优者参加市级决赛．他们的竞赛成绩分别为：79，85，92，x，89，且平均分为86．（1）请通过计算帮助学校确定应派哪两名优胜者去参加市级决赛；（2）参加市级决赛的规则是：课堂教学内容由参赛教师抽签确定，每位老师从3个分别标有A，B，C内容的签中，随机抽出一个作为自己课堂教学比赛的内容．请你用树状图或列表法求出该校两位优胜者在参加市级决赛时，抽到同一内容的概率．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+b（k≠0）与双曲线C：y＝（m≠0）相交于第一、三象限内的A（a，2），B（﹣2，﹣1）两点．（1）求双曲线C和直线l的解析式；（2）若将直线l绕点A旋转得到直线l′，当直线l′与双曲线C有且只有一个交点时，直接写出此时直线l′的解析式．21．（8分）已知△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，点D是线段AB上一个动点，以BD为直径的⊙O与边BC交于点F，连接DF．（1）如图1，证明：DF∥AC；（2）如图2，当AD＝时，判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）如图3，若E是边AC上任意一点，连接DE，EF，求△DEF面积的最大值．22．（10分）背景知识城镇化是指农村人口转化为城镇人口的过程，城镇化率是指一个地区城镇人口数占该地区人口总数的比例．问题解决：截止2016年底，某市人口总数约为400万人，城镇化率为m；到2020年底，该市总人口增加了20万人，城镇人口增加了28万人，城镇化率达到（m+4%）．（1）求2016年该市的城镇化率m；（2）2016年，该市城镇居民人均可支配收入为a万元，农村居民人均可支配收入比城镇居民人均可支配收入少na万元；2020年，该市城镇居民人均可支配收入是2016年的1.5倍，农村居民人均可支配收入比2016年增长的百分率为n．这样，2020年全市居民人均可支配收入达到2016年全市居民人均可支配收入的1.5倍．①用含a，n的式子表示2016年全市居民的人均可支配收入；②求n的值．23．（11分）如图，在矩形ABCD中，AB＝11，AD＝6，点E是边AB上的点（不与点A，B重合），将∠A沿DE折叠，点A1是点A的对应点；点F是边BC上的点，将∠B沿EF折叠，点B1是点B的对应点，且点B1在直线EA1上．（1）若DE＝EF，求CF的长；（2）若点F是BC的中点，求tan∠ADE的值；（3）当点B1恰好落在边DC上时，求四边形DEBB1的面积．24．（12分）已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m与直线l1：y＝kx+b有一个交点P．（1）若点P的坐标为（2，），求m的值，并写出抛物线的顶点坐标；（2）若k＝1，点P在y轴上，直线l1与抛物线的另一交点是Q，当PQ＝3时，求抛物线的解析式；（3）设平行于直线l1且经过原点的直线l2与抛物线交于A，B两点，△PAB的面积S△PAB＝3，若对于任意x的取值，满足x2﹣2mx﹣3m≥kx+b恒成立，求b的值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题满分33分，共11小题，每小题3分）下列各小题都给出了四个选项，其中只有一个符合题目要求，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号.1．（3分）“十四五”时期，当阳致力建设“产业美、城乡美、生活美、生态美、人文美”的“五美”当阳．下面用黑体字书写的4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、“五”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；B、“美”可以看作轴对称图形，故此选项符合题意；C、“当”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；D、“阳”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．2．（3分）下列各式结果是负数的是（）A．﹣（﹣1） B．（﹣1）4 C．（﹣1）0 D．﹣|﹣1|【解答】解：A．﹣（﹣1）＝1，故此选项不合题意；B．（﹣1）4＝1，故此选项不合题意；C．（﹣1）0＝1，故此选项不合题意；D．﹣|﹣1|＝﹣1，故此选项符合题意．故选：D．3．（3分）某校为举行“体育艺术节”，在各班征集了艺术作品．现从九年级7个班收集到的作品数量（单位：件）分别为38，41，40，36，42，41，39．这组数据的中位数是（）A．38 B．39 C．40 D．41【解答】解：将数据38，41，40，36，42，41，39按照从小到大排列是：36，38，39，40，41，41，42，故这组数据的中位数是40，故选：C．4．（3分）用4个完全相同的小正方体搭成如图所示的几何体，该几何体的（）A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三种视图都相同【解答】解：如图所示：，故该几何体的主视图和左视图相同．故选：A．5．（3分）2020年7月23日，中国首次火星探测任务探测器“天文一号”顺利升空．并于2021年2月到达火星，实施火星捕获．截至2021年2月3日，“天文一号”探测器总飞行里程已超过4.5亿公里．若用科学记数法表示4.5亿，正确的是（）A．4.5×109 B．4.5×108 C．45×108 D．0.45×109【解答】解：4.5亿＝4.5×108．故选：B．6．（3分）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和10cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得：，解得：x＝5，即另一个三角形的最长边长为5cm，故选：D．7．（3分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（ab2）2＝ab4 C．（a+b）2＝a2+b2 D．＝【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误；B、（ab2）2＝a2b4，故此选项错误；C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；D、﹣＝，故此选项正确．故选：D．8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，连接BD，若∠C＝125°，则∠ABD的度数等于（）A．35° B．40° C．45° D．50°【解答】解：∵四边形ABCD内接与⊙O，∠C＝125°，∴∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣125°＝55°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣55°＝35°，故选：A．9．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是点D，∠C＝45°，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AD于点E，若AE＝2，则AC的长是（）A．6 B．3 C．3 D．2【解答】解：∵BE平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴DE＝BE，BE＝AE＝2，∴DE＝1，∴AD＝3，在Rt△ADC中，∠C＝45°，∴AC＝AD＝＝3，故选：B．10．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝，AD＝1，点M，N分别是边BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别是线段DM，MN的中点，则线段EF长度的最大值为（）A．2 B． C．1 D．【解答】解：∵点E，F分别是线段DM，MN的中点，∴ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB＝＝＝2，∴EF的最大值为1．故选：C．11．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，动点P从点B出发，在正方形的边上沿B→C→D的方向运动到点D停止，设点P的运动路程为x，在下列图象中，能表示△PAD的面积y关于x的函数关系的图象是（）A． B． C． D．【解答】解：当0≤x≤2时，如题干图，则y＝AD•AB＝×2×2＝2，为常数；当2＜x≤4时，如图，则y＝AD×PD＝×2×（2+2﹣x）＝4﹣x，为一次函数；故选：D．二、填空题（本大题满分12分，共4小题，每小题3分）请将下列各题的答案写在答题卡上指定的位置.12．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是x≠﹣5..【解答】解：根据题意得，x+5≠0，解得x≠﹣5．故答案为：x≠﹣5．13．（3分）在一次食品安全质量检测中，发现一箱中的12瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这12瓶饮料中任取一瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是．【解答】解：从这8瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率＝＝．故答案为：．14．（3分）如图，在综合与实践活动课上，同学们用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成了一个无底圆锥形小帽，则这个小纸帽的底面半径r等于2cm．【解答】解：∵圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长＝＝4πcm，∴圆锥的底面圆的周长为4πcm，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝4π，解得：r＝2，∴圆锥的底面圆的半径为2cm，故答案为：2．15．（3分）若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2021，则k＝2022．【解答】解：，①+②得：x+y＝k﹣1，∵x+y＝2021，∴k﹣1＝2021，∴k＝2022，故答案为：2022．三、解答题（本大题满分75分，共9小题）请将下列各题的解答过程写在答题卡上指定的位置.16．（6分）解不等式：﹣x≤﹣1．【解答】解：去分母，得x+3﹣3x≤﹣3，移项，得x﹣3x≤﹣3﹣3，合并同类项，得﹣2x≤﹣6，系数化为1，得x≥3．17．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．【解答】解：原式＝＝＝＝．∵x+1≠0且x﹣1≠0且x+2≠0，∴x≠﹣1且x≠1且x≠﹣2，当x＝0时，分母不为0，代入：原式＝．18．（7分）如图，在△ABD中，∠ADB＝90°，∠A＝30°，AB＝10，点E是边AB的中点．分别以点B，D为圆心，以BE的长为半径画弧，两弧交于点C；连接CB，CD．（1）根据以上尺规作图的过程，证明：四边形BCDE是菱形；（2）求菱形BCDE的面积．【解答】（1）证明：∵∠ADB＝90°，BE＝AE，∴DE＝BE＝AE，∵BC＝DC＝BE，∴BE＝BC＝CD＝DE，∴四边形BCDE是菱形．（2）解：∵∠ADB＝90°，∠A＝30°，∴∠DBE＝60°，∵EB＝ED，∴△BDE是等边三角形，∴菱形BCDE的面积＝2S△BDE＝2××52＝．19．（7分）某校举行“教师基本功和课堂教学”竞赛，共有甲、乙、丙、丁、戊5位教师报名参加，需从中选取两名成绩最优者参加市级决赛．他们的竞赛成绩分别为：79，85，92，x，89，且平均分为86．（1）请通过计算帮助学校确定应派哪两名优胜者去参加市级决赛；（2）参加市级决赛的规则是：课堂教学内容由参赛教师抽签确定，每位老师从3个分别标有A，B，C内容的签中，随机抽出一个作为自己课堂教学比赛的内容．请你用树状图或列表法求出该校两位优胜者在参加市级决赛时，抽到同一内容的概率．【解答】解：（1）∵5位教师的竞赛成绩分别为：79，85，92，x，89，且平均分为86，∴（79+85+92+x+89）＝86，解得：x＝85，∴甲、乙、丙、丁、戊5位教师的竞赛成绩分别为：79，85，92，85，89∴应派丙、戊两名优胜者去参加市级决赛；（2）画树状图如图：共有9种等可能的结果，两位优胜者在参加市级决赛时，抽到同一内容的结果有3种，∴两位优胜者在参加市级决赛时，抽到同一内容的概率为＝．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+b（k≠0）与双曲线C：y＝（m≠0）相交于第一、三象限内的A（a，2），B（﹣2，﹣1）两点．（1）求双曲线C和直线l的解析式；（2）若将直线l绕点A旋转得到直线l′，当直线l′与双曲线C有且只有一个交点时，直接写出此时直线l′的解析式．【解答】解：（1）把B（﹣2，﹣1）代入y＝（m≠0）可得m＝﹣2×（﹣1）＝2，∴双曲线C为y＝，把点A（a，2）代入得2＝，解得a＝1，∴A（1，2）．把A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，可得，解得，∴直线l为y＝x+1；（2）当直线l′平行于x轴时，直线l′与双曲线C有且只有一个交点，此时直线l′为y＝2；当直线l′垂直于x轴时，直线l′与双曲线C有且只有一个交点，此时直线l′为x＝1；当直线l′与双曲线相切于A点时，直线l′与双曲线C有且只有一个交点，设直线l′为y＝mx+n，∵经过点A（1，2），∴2＝m+n，∴n＝2﹣m，∴y＝mx+2﹣m，令mx+2﹣m＝，整理得，mx2+（2﹣m）x﹣2＝0，则Δ＝（2﹣m）2﹣4（2﹣m）×（﹣2）＝0，解得m1＝m2＝﹣2，∴直线l′为y＝﹣2x+4，综上，直线l′的解析式为y＝2或x＝1或y＝﹣2x+4．21．（8分）已知△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，点D是线段AB上一个动点，以BD为直径的⊙O与边BC交于点F，连接DF．（1）如图1，证明：DF∥AC；（2）如图2，当AD＝时，判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）如图3，若E是边AC上任意一点，连接DE，EF，求△DEF面积的最大值．【解答】（1）证明：∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵BD是⊙O直径，∴∠DFB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴DF∥AC；解：（2）AC与⊙O相切，理由如下：如图1，∵，∴BD＝AB﹣AD＝，∴BO＝DO＝，∵DF∥AC，∴，即，∴BF＝，过O作OM⊥AC于M，ON⊥BC于N，则BN＝FN＝，∴，∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴∠OMC＝∠ACB＝∠ONC＝90°，∴四边形OMCN为矩形，∴OM＝CN＝，∴OM＝BO，又OM⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（3）如图2，∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴，设BF＝x，∴，∴DF＝，∵DF∥AC，CF＝BC﹣BF＝3﹣x，∴＝，∴当x＝时，S△DEF最大值为，即△DEF的面积最大值为．22．（10分）背景知识城镇化是指农村人口转化为城镇人口的过程，城镇化率是指一个地区城镇人口数占该地区人口总数的比例．问题解决：截止2016年底，某市人口总数约为400万人，城镇化率为m；到2020年底，该市总人口增加了20万人，城镇人口增加了28万人，城镇化率达到（m+4%）．（1）求2016年该市的城镇化率m；（2）2016年，该市城镇居民人均可支配收入为a万元，农村居民人均可支配收入比城镇居民人均可支配收入少na万元；2020年，该市城镇居民人均可支配收入是2016年的1.5倍，农村居民人均可支配收入比2016年增长的百分率为n．这样，2020年全市居民人均可支配收入达到2016年全市居民人均可支配收入的1.5倍．①用含a，n的式子表示2016年全市居民的人均可支配收入；②求n的值．【解答】解：（1）由2016年总人数400万，到2020年底，该市总人口增加了20万人，以及2016年城镇化率为m，可得城镇人口为：（400+20）×（m+4%）；由题意知2016年城镇人口为400m，加上2020年底增加的28万人，可得城镇人口为：400m+28；从而列出方程：（400+20）×（m+4%）＝400m+28；解之得：m＝56%；（2）①2016年城镇居民人均可支配收入为a万元，农村居民人均可支配收入比城镇居民人均可支配收入少na万元，则农村居民人均可支配收入为a﹣na故2016年全市居民的人均可支配收入为：a+a﹣na，即2a﹣na；②∵2020年全市居民人均可支配收入为2016年全市居民人均可支配收入的1.5倍，∴2020年全市居民人均可支配收入为：1.5×（2a﹣na），又∵2020年，该市城镇居民人均可支配收入是2016年的1.5倍∴2020年，该市城镇居民人均可支配收入为：1.5a，∵2020年，农村居民人均可支配收入比2016年增长的百分率为n，∴2020年，农村居民人均可支配收入为：（a﹣na）（1+n），故2020年全市居民人均可支配收入还可以为：（a﹣na）（1+n）+1.5a，从而列出方程：1.5×（2a﹣na）＝（a﹣na）（1+n）+1.5a，解之得：n＝0.5，或n＝1（舍）．故答案为：①2a﹣na；②n＝0.5．23．（11分）如图，在矩形ABCD中，AB＝11，AD＝6，点E是边AB上的点（不与点A，B重合），将∠A沿DE折叠，点A1是点A的对应点；点F是边BC上的点，将∠B沿EF折叠，点B1是点B的对应点，且点B1在直线EA1上．（1）若DE＝EF，求CF的长；（2）若点F是BC的中点，求tan∠ADE的值；（3）当点B1恰好落在边DC上时，求四边形DEBB1的面积．【解答】解：（1）将∠A沿DE折叠，点A1是点A的对应点，∴△AED≌△A1ED，∴∠DEA＝∠DEA1，∵将∠B沿EF折叠，点B1是点B的对应点，∴△EFB≌△EFB1，∴∠BEF＝∠B1EF，∴∠DEF＝90°，∵∠EDA+∠DEA＝∠DEA+∠FEB＝90°，∴∠DEA＝∠FEB，∵DE＝EF，∴△DAE≌△EBF（AAS），∴BF＝AE，DA＝BE，∵AB＝11，AD＝6，∴EB＝6，AE＝BF＝5，∴CF＝1；（2）由（1）知，△DAE∽△EBF，∴＝，∵点F是BC的中点，∴BF＝3，∴＝，∴AE＝2或AE＝9，在Rt△ADE中，tan∠ADE＝或tan∠ADE＝；（3）连接BB'，交EF于M点，∵点B1恰好落在边DC上，∴EF是BB'的垂直平分线，∴BM⊥EF，∴∠FEB＝∠FBB'，∵∠ADE＝∠FEB，∴∠ADE＝∠CBB'，∵AD＝BC，∠A＝∠C＝90°，∴△ADE≌△CBB'（AAS），∴AE＝B'C，∴BE＝DB'，∵BE∥DB'，