高中数学1.2空间向量基本定理教学设计新人教A版选择性必修第一册

1.2空间向量基本定理一、内容及内容解析1.内容空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面对量基本定理类似，区分仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了一“项”.证明的思路、步骤也基本相同．空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作打算．2.内容解析（1）内容的本质空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面对量基本定理类似，区分仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了一“项”.证明的思路、步骤也基本相同．空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作打算（2）蕴含的思想与方法教学中，要结合详细问题，引导学生类比利用平面对量解决平面几何问题的“三步曲”的思路和方法.（3）培育的数学核心素养利用基底表示其他向量，培育逻辑推理的核心素养，通过夹角与垂直的应用，提升数学运算的核心素养。（4）教学重点重点：空间向量基本定理.二、目标与目标解析1.本单元教学目标空间向量基本定理是平面对量基本定理在空间的推广，都是向量的分解，可以类比学习。1.了解空间向量基本定理及其意义，培育数学抽象的核心素养；2.驾驭空间向量的正交分解，培育数学抽象的核心素养；3.驾驭在简洁问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法，提升逻辑推理的核心素养。2.目标解析达成上述目标的标记是：学生能够类比平面对量基本定理理解空间向量基本定理；能够依据详细问题选择基底的重要性，会运用正交分解处理向量垂直和异面直线所成角的问题。三、教学问题诊断分析1.问题诊断之前学习过平面对量相关学问，可以接受类比学习法学习空间向量相关学问。2.教学难点难点：基底的恰当选择.四、教学支持条件分析1.技术支持利用电脑、互联网,可以特别便利快捷地查找到有关史料故事、拓宽视野,感悟数学的文化价值,提高学生的数学文化素养；借助计算器或电脑,可以计算较大数目的数量,获得比较精准的数值；借助实物投影或PPT，展示学生的学习成果，2.学问储备空间向量基本定理是平面对量基本定理在空间的推广，都是向量的分解，可以类比学习。五、课时教学设计1.2空间向量基本定理课时教学内容空间向量基本定理及其应用空间西安理工的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、向量共线定理）讲向量几何运算转化为代数运算2.课时教学目标了解空间向量基本定理及其意义，培育数学抽象的核心素养；驾驭空间向量的正交分解，培育数学抽象的核心素养；驾驭在简洁问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法，提升逻辑推理的核心素养。3.教学重点、难点重点：驾驭空间向量基本定理难点：用空间向量基本定理解决有关问题.4.教学过程设计环节一创设情境，引入课题问题情境我们所在的教室即是一个三维立体图,假如以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么如何用这三个向量表示空间中随意的向量呢？我们知道，平面内的随意一个向量都可以用两个不共线的向量，来表示(平面对量基本定理)．类似地，随意一个空间向量能否用随意三个不共面的向量，，来表示呢?师生活动学生独立思索、作答，老师展示探讨路径，板书空间向量及其运算，揭晓课题：下面我们类比平面对量探讨空间向量，先从空间向量的概念和表示起先．［设计意图］主要方法是类比，即类比平面对量的相关概念学习空间向量的相关概念，类比平面对量的运算学习空间向量的运算，类比用平面对量解决平面几何问题的方法利用空间向量解决简洁的立体几何问题.教，使学生亲历探讨的过程，积累基本活动阅历.环节二视察分析，感知概念我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特别状况起先探讨．问题1：空间中怎样的向量能构成基底？【提示】空间随意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．如图1.2-1，设，，是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点．对于随意一个空间向量，设为在，所确定的平面上的投影向量，则．又向量，共线，因此存在唯一的实数，使得，从而 而在，所确定的平面上，由平面对量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得 ．问题2：基底与基向量的概念有什么不同？【提示】一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．空间随意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的全部向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.从而 问题3：空间的基底唯一吗？【提示】不唯一，只要是三个向量不共面，这三个向量就可以组成空间的一个基底．一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.由于零向量与随意一个非零向量共线,与随意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量.因此，假如，，是空间三个两两垂直的向量，那么对随意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 ．我们称，，分别为向量在，，上的分向量．环节三抽象概括，形成概念问题5：探究 在空间中，假如用随意三个不共面的向量，，代替两两垂直的向量，，，你能得出类似的结论吗?类似平面对量基本定理，我们有空间向量基本定理．定理假如三个向量，，不共面，那么对随意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得．请你自己给出空间向量基本定理的证明．问题4：为什么空间向量基本定理中x，y，z是唯一的？你能证明唯一性吗?【提示】平移向量a，b，c，p使它们共起点，如图所示，以p为体对角线，在a，b，c方向上作平行六面体，易知这个平行六面体是唯一的，因此p在a，b，c方向上的分解是唯一的，即x，y，z是唯一的．由此可知，假如三个向量，，不共面，那么全部空间向量组成的集合就是．这个集合可看作由向量，，生成的，我们把叫做空间的一个基底(base)，，，都叫做基向量(basevectors)．空间随意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．环节四辨析理解深化概念特别地，假如空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．由空间向量基本定理可知，对空间中的随意向量，均可以分解为三个向量，，，使．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．由空间向量基本定理可知，假如把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么全部空间向量都可以用三个基向量表示出来．进一步地，全部空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算，这为解决问题带来了便利．1．已知是空间的一个基底，从，，中选哪一个向量，确定可以与向量，构成空间的另一个基底?1．解：向量确定可以与，构成另一个基底，因为，与，共面，只有不与，共面．2．已知为空间的四个点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点是否共面?解：，，不构成空间的一个基底，，，共面，四点共面．3．如图，已知平行六面体，点是侧面的中心，且，，．（1）是否构成空间的一个基底?（2）假如构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：，，，．解：（1），，不共面，是空间的一个基底．（2），，，．环节五概念应用，巩固内化例1如图1.2-2，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示．分析：，，是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底，可以用基底表示出来．解：．例2如图1.2-3，在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点．求证：．分析：要证，只需证明．由已知，可构成空间的一个基底．把和分别用基底表示，然后计算即可．证明：设，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底，我们用它们表示，，则 ， 所以．所以．［设计意图］例2是利用空间向量基本定理证明平行六面体中两条线段相互垂直的例子.学生已经会用向量的数量积运算推断两直线是否具有垂直关系，教学时要留意引导学生构造适当的基底，并把相关向量用基底表示.例3如图1.2-4，正方体的棱长为1，分别为，，的中点．（1）求证：；（2）求与所成角的余弦值．分析：（1）要证明，只需证明与共线．设，则构成空间的一个单位正交基底，把和分别用基向量表示，作相应的运算证明它们共线即可．（2）要求与所成角的余弦值，只需求所成角的余弦值即可．（1）证明：设，则构成空间的一个单位正交基底．所以 ， ．所以．所以．（2）解：因为 ， ，所以所以与所成角的余弦值为．［设计意图］例3是利用空间向量基本定理证明正方体中两条线段相互平行和计算两条线段所成角的余弦值的例子.立体几何中有关两宜线平行的问题一般可以转化为两向量共线的问题，对于问题（D,教学中应留意引导学生利用正方体的结构特征构造正交基底，并用基向量表示相关的向量.对于问题（2）,教学中要留意引导学生用基向量表示向量数量积运算中涉及的向量.练习（第14页）1．已知四面体，，．求证：．1．证明：如图，，，，，．2．如图，在平行六面体中，，，，．求与所成角的余弦值．2．解：设，，．又，．．．所以与所成角的余弦值为0．3．如图，已知正方体，和相交于点，连接，求证：．证明：设，且，，，，，．环节六归纳总结,反思提升用基底表示向量的三个步骤(1)定基底：依据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，须要依据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最终求出结果．(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间全部向量．表示要彻底、结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．环节七 目标检测，作业布置完成教材：第12页练习第1，2，3题第14页练习第1，2，3题第15页习题1.2第1,2,3,4,5,6,7,8题问题7请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：1.本节课学习的概念有哪些？2.在解决问题时，用到了哪些数学思想？1.学问总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么学问？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括实力,提高学生的数学运算实力和逻辑推理实力。作业布置：教科书习题1.2（第15页）1．假如向量，与任何向量都不能构成空间的一个基底，那么，间应有什么关系?解：，与任何向量不能构成空间一组基底，说明，，确定共面．∵任何两个向量必共面，又是随意向量，，必共线．2．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是()A．，，B．，，C．，，D．，，2．答案：C解析：因为构成空间的一个基底，所以向量，，不共面．对于A，因为，所以，，三个向量共面；对于B，因为，所以，，三个向量共面；对于C，若，，共面，则，则，，共面，这与向量，，不共面冲突，所以，，不共面，所以C正确；对于D，因为，所以，，三个向量共面．故选C．3．已知四面体，分别是棱的中点，且，用表示向量．3．解析：如图，．4．如图，在空间平移到，连接对应顶点．设，是的中点，是的中点，用基底表示向量，．4．解析：．．综合运用5．如图，在长方体中，是与的交点．若，，求的长．