2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 微专题 反比例函数与一次函数综合题 教学课件

第三章微专题反比例函数与一次函数综合题

考情及趋势分析考情分析类型年份题号题型分值考查内容线段问题202218解答题10(1)求反比例函数表达式及两函数交点坐标；(2)探究线段比；(3)结合新定义，探究“完美筝形”面积问题20231810(1)求反比例函数表达式和一交点坐标；(2)已知面积求点坐标；(3)已知两三角形位似求点坐标及相似比20201910(1)求反比例函数表达式；(2)探究面积2倍20191910(1)求反比例函数表达式；(2)求三角形面积20171910(1)求反比例函数表达式；(2)探究面积定值成都8年高频点考情及趋势分析考情分析类型年份题号题型分值考查内容面积问题201619解答题10(1)求反比例函数表达式；(2)直线平移，求两函数交点坐标及三角形面积20211910(1)求反比例函数表达式；(2)探究已知底边的等腰三角形特殊图形问题201819解答题10(1)求一次函数和反比例函数表达式；(2)探究平行四边形【考情总结】1.考查频次及题位特点：反比例函数与一次函数综合题每年均有考查，近两年与圆的综合题题位互换，作为A卷最后一题考查；其余6年均在A卷解答倒数第二题考查；2.设问特点：近两年均为三问，且结合新定义和位似，难度增大，主要考查设问为求函数表达式、面积问题、线段问题.类型一线段问题(2022.18)1.(2022成都18题改编)如图①，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－2x＋6的图象与反比例函数y＝

的图象相交于A(a，4)，B两点．(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；第1题图①解：(1)将点A(a，4)代入一次函数y＝－2x＋6中，得4＝－2a＋6，解得a＝1，即点A坐标为(1，4)，∴k＝1×4＝4，∴反比例函数的表达式为y＝

，联立

解得

(舍)∴点B的坐标为(2，2)；第1题图①(2)如图②，在y轴上找一点P，使得△PAB的周长最小，请求出此时点P的坐标；第1题图②(2)如图，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，此时△PAB的周长最小．A′P由(1)可得，点A(1，4)，∴点A′(－1，4).设直线A′B的表达式为y＝k1x＋b，将A′(－1，4)，B(2，2)代入y＝k1x＋b，得

解得k1＝－

，b＝则y＝－

x＋

，当x＝0时，y＝

，∴△PAB的周长最小时，点P的坐标为(0，

)；(3)如图③，直线y＝4x与反比例函数y＝

的图象交于A，C两点，连接BC交x轴于点D，设直线AB交x轴于点E，且AB＝mBE，BC＝nBD，求n－m的值；第1题图③【思维教练】根据点到坐标轴的距离及平行线分线段成比例分别求出m，n的值，即可求解．(3)如图，过点B作y轴的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点Q，CQ交x轴于点P，过点A作AG⊥x轴于点G交BQ于点H.∟Q∟P∟GH∵直线y＝4x与反比例y＝

的图象交于A，C两点，由(1)知A(1，4)，∴由对称性得C(－1，－4)，∵BH∥EG，第1题图③∟Q∟P∟GH∴＝1＝m，同理可得，

＝3＝n，∴n－m的值为2；(4)过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1∶2的两部分时，求BC的长；【思维教练】设AC交y轴于点D，线段AC被y轴分成两部分，需分AD∶CD＝1∶2和CD∶AD＝1∶2两种情况，再结合相似三角形和勾股定理求解．第1题图④(4)如解图③，由题可知，点C只能在第三象限，∴在第三象限上取一点C，连接AC，BC，设AC交y轴于点D，过点A作平行于y轴的直线AE，过点D作AE的垂线，交AE于点F，过点C作AE的垂线，交AE于点E，则△ADF∽△ACE，∴.∵点A的坐标为(1，4)，∴DF＝1.分两种情况讨论：①AD∶CD＝1∶2，则

，解得CE＝3.∵点E的横坐标为1，∴点C的横坐标为－2，第1题解图③将x＝－2代入y＝

，解得y＝－2，∴点C的坐标为(－2，－2)，∴BC＝

＝4；②CD∶AD＝1∶2，则

，解得CE＝

.∵点E横坐标为1，∴点C的横坐标为－

，将x＝－

代入y＝

，解得y＝－8，∴点C的坐标为(－

，－8)，∴BC＝

，综上所述，BC的长为4或

；第1题解图③【思维教练】根据“完美筝形”的定义及待定系数法分别求出直线BP，AP，BQ的表达式，即可求解．(5)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q是平面内一点，当四边形ABPQ是完美筝形时，求P，Q两点的坐标．第1题图⑤(5)如解图④，设AP与BQ交于点H，由题可知AP⊥BQ，∴只有∠PQA＝∠PBA＝90°符合题意，∴PB⊥AB.∵直线AB的表达式为y＝－2x＋6，∴可设直线BP的表达式为y＝

x＋b，将点B(2，2)代入，得2＝

×2＋b，解得b＝1，∴直线BP的表达式为y＝

x＋1.第1题解图④∴P(－4，－1).∵点A(1，4)，P(－4，－1)，∴可求得AP的表达式为y＝x＋3.∵QB⊥AP，∴设直线QB的表达式为y＝－x＋t，将点B(2，2)代入，得2＝－2＋t，解得t＝4，∴直线QB的表达式为y＝－x＋4.联立

解得

或

(舍)，第1题解图④∴H(，

).∵H为点Q，B的中点，∴，

，解得xQ＝－1，yQ＝5，∴Q(－1，5).综上所述，点P的坐标为(－4，－1)，点Q的坐标为(－1，5).联立

解得第1题解图④类型二面积问题(8年5考：2023.18，2020.19，2019.19，2017.19，2016.19)2.(2023成都18题改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋5与y轴交于点A，与反比例函数y＝

的图象的其中一个交点为B(a，4)，过点B作AB的垂线l.(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；第2题图①解：(1)令x＝0，则y＝5，∴点A的坐标为(0，5)，将点B(a，4)代入y＝－x＋5，得4＝－a＋5，解得a＝1.∴B(1，4)，将点B(1，4)代入y＝

，得4＝

，解得k＝4.∴反比例函数的表达式为y＝

；第2题图①(2)若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；第2题图②(2)如解图①，设直线l与y轴交于点M，直线y＝－x＋5与x轴交于点N，第2题解图①令y＝－x＋5＝0，解得x＝5，∴N(5，0)，∴OA＝ON＝5.又∵∠AON＝90°，∴∠OAN＝45°.∵A(0，5)，B(1，4)，∴AB＝

＝

.又∵直线l是AB的垂线，即∠ABM＝90°，∴∠AMB＝∠OAN＝45°，∴AB＝BM＝

，∴AM＝

＝2，∴M(0，3).设直线l的表达式是y＝k1x＋b1，将点M(0，3)，点B(1，4)代入y＝k1x＋b1中，第2题解图①得

解得∴直线l的表达式是y＝x＋3.设点C的坐标是(t，t＋3)，连接AC，∵S△ABC＝

AM·|xB－xC|＝

×2×|1－t|＝5，解得t＝－4或6，当t＝－4时，t＋3＝－1；当t＝6时，t＋3＝9，∴点C的坐标为(6，9)或(－4，－1)；第2题解图①(3)[2019成都19(2)题改编]如图③，设直线AB与反比例函数y＝

的图象交于另外一点C，交x轴于点D，连接OB，OC，求△OBC的面积；第2题图③(3)如图，分别过点B，C作x轴的垂线，垂足记为E，F.∟F∟E联立得

解得

或∴点B的坐标为(1，4)，BE＝4，点C的坐标为(4，1)，CF＝1，令y＝－x＋5＝0，解得x＝5，∴点D的坐标为(5，0).∴DO＝5，∴S△BOC＝S△BOD－S△COD＝

OD·BE－

OD·CF＝

×5×4－

×5×1＝

；(4)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m.若点D，E恰好都落在反比例函数y＝

的图象上，求点P的坐标及m的值．第2题图④【思维教练】根据位似图形的性质确定D，E的位置，再根据平行线的性质及待定系数法分别求出直线DE，AD的表达式，联立方程组求出点P，再求出相似比m即可．(4)∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，且D，E在反比例函数图象上，∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，∴点E是直线l与反比例函数y＝

图象的另一个交点．如解图③，将直线l与反比例函数的表达式联立得

解得

(舍)或∴E(－4，－1).又∵△PAB∽△PDE，∴∠PAB＝∠PDE.∴AB∥DE.∴直线AB与直线DE的表达式中的一次项系数相等，设直线DE的表达式是y＝－x＋b2，第2题解图③将点E(－4，－1)代入y＝－x＋b2中，得－1＝－(－4)＋b2，解得b2＝－5，∴直线DE的表达式是y＝－x－5.∵点D在反比例函数y＝

的图象上，∴点D是直线DE与反比例函数y＝

图象的另一个交点，∴D(－1，－4).设直线AD的表达式为y＝k3x＋b3，将点A(0，5)，D(－1，－4)代入，得

解得联立得

解得

或

(舍)第2题解图③∴直线AD的表达式是y＝9x＋5.将直线AD的表达式与直线l的表达式联立得

解得∴点P的坐标为(－

，

).∴BP＝

，EP＝

.∴m＝

＝3.第2题解图③反比例函数与一次函数综合题中的面积问题常见图形有：图形1面积计算：方法1：S△AOB＝

OD·|xB－xA|＝

OC·|yA－yB|；方法2：S△AOB＝S△AOC＋S△COD＋S△BOD；方法3：作AE⊥y轴于点E，BF⊥x轴于点F，延长AE与BF相交于点N，则S△AOB＝S△ANB－S△AOE－S△BOF－S矩形OENF.满分技法图形2面积计算：方法1：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD；方法2：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，则S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S四边形AEFB.3.(2021成都19题改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝

x的图象与反比例函数y＝

的图象交于A(a，－2)，B两点．(1)求反比例函数的表达式和B点的坐标；第3题图解：(1)∵点A(a，－2)在正比例函数y＝

x的图象上，∴－2＝

a，解得a＝－4，∴点A(－4，－2)，将点A(－4，－2)代入反比例函数y＝

中，得k＝－4×(－2)＝8，∴反比例函数的表达式为y＝

，联立

解得

(舍)∴点B的坐标为(4，2)；第3题图(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．【思维教练】由一次函数、反比例函数表达式设出P，C点坐标，结合两点间距离公式和三角形面积公式即可求解．第3题图(2)设点P的坐标为(m，

)，∴点C的坐标为(m，

m)，∴PC＝|－

m|，∴S△POC＝

PC·xP，即3＝

×|

－

m|·m，整理为|8－

m2|＝6，解得m＝±2或±2

，∵点P在第一象限，∴m＞0，∴点P(2，4)或(2，

).第3题图类型三特殊图形问题(8年2考：2021.19，2018.19)4.(2021成都19题10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝

x＋

的图象与反比例函数y＝

(x>0)的图象相交于点A(a，3)，与x轴相交于点B.(1)求反比例函数的表达式；第4题图解：(1)∵点A(a，3)在一次函数y＝

x＋

的图象上，∴a＋

＝3，解得a＝2，∴A(2，3).∵点A在反比例函数y＝

(x>0)的图象上，∴k＝2×3＝6，∴反比例函数的表达式为y＝

；第4题图【思维教练】结合等腰三角形的性质和对称性求出点D的坐标，根据待定系数法和联立方程组即可求解．(2)过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标；第4题图