基本初等函数(I)单元教学设计

基本初等函数(I)单元教学设计

数学是日常生活和进一步学习必不可少的基础和工具，函数在高

中的数学学习中尤为重要，贯穿整个高中，为了确保教学工作的顺利

开展以及结合我所任教班级的具体情况，准确把握新课程改革的要

求，合理有序的安排课程，促使教学质量的提高，现对于必修一第二

章基本初等函数(I)这一单元进行如下设计：

本章中，学生将在第一章学习函数概念的基础上，通过三个具体

的基本初等函数的学习，进一步理解函数的概念与性质，学习用函数

模型研究和解决一些实际问题的方法。指数函数、对数函数和幕函数

是描述现实中某些变化规律的重要的数学模型，是高中阶段学习的三

类重要且常用的基本初等函数，也是进一步学习数学的基础。

一、课程总体目标

通过本章的学习，使学生了解指数函数，对数函数的实际背景，理解

指数函数、对数函数的概念与基本性质，了解五种幕函数，体会建立

和研究一个函数的基本过程和方法，同时会运用他们解决一些实际问

题。

二、学习目标细化

1.知道指数函数模型的实际背景.

2.明白有理数指数幕的意义，通过具体实例了解实数指数幕的意义,

掌握幕的运算.

3.知道指数函数的概念和意义，掌握f(x)=ax的符号、意义，能借助

计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有

关性质（单调性、值域、特别点）.

4.通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.

5.学会对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，

能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数

的发现历史及其对简化运算的作用.

6.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步

理解对数函数的概念，掌握〃x）=log,x符号及意义，体会对数函数是

一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图

象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.

7.知道指数函数y=/与对数函数/（x）=logflx互为反函数（a>O,a

Wl）0

8.通过实例，了解幕函数的概念，结合五种具体函数

y==%3,y=%2,y=的图象，了解它们的变化情况。

三、本章的重难点

重点：1.分数指数幕和根式概念的理解；

2.掌握并运用分数指数幕的运算性质；

3.运用有理指数幕性质进行化简，求值.

4.指数函数的概念和性质及其应用.

5.对数式与指数式的互化及对数的性质

6.对数运算的性质与对数知识的应用

7.理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.

8.指数函数与对数函数内在联系

9.从五个具体的幕函数中认识的概念和性质

难点：1.分数指数幕及根式概念的理解；

2.有理指数幕性质的灵活应用；

3.指数函数性质的归纳，概括及其应用；

4.对数性质的推导；

5.正确使用对数的运算性质；

6.底数a对图象的影响及对数函数性质的作用;

7.反函数概念的理解；

8.从幕函数的图象中概括其性质。

四、本章的内容安排

1.知识结构框图

2.教学过程与策略

首先引导学生看章头图并找学生读章头引言，指出章头图所蕴含

的数学模型，从而指出本章学习的基本内容为三个基本初等函数（指

数函数，对数函数和幕函数）及其基本性质，以及运用他们解决一些

实际问题。在教学时，我会充分注意从实际例子中观察、抽象概括并

建立数学模型，同时把数学模型应用到实际问题中，让学生了解数学

来自生活，数学又服务于生活，从而激发学生对于数学问题的强烈求

知欲，引发学生对数学的兴趣，为新知识的学习作铺垫。

2.1.1指数与指数幕的运算的教学

教学目标

1、知识与技能：理解根式的概念及性质，能进行根式的运算，提高

根式的运算能力。

2、过程与方法：通过由特殊到一般，由平方根、立方根，采用类比

的方法过渡到n次方根；通过对“当”是偶数时，

/—[a(a>0)

Van=||=s

〔-a(a<0)”的理解，培养学生分类讨论的意识。

3、态度情感价值观：通过运算训练，培养学生严谨的思维，一丝不

苟的学习习惯。

教学重点：对根式概念、性质的理解，运用根式的性质化简、运算。

/—[a(a>0)

\an=|〃|=(

教学难点：当〃是偶数时，〔一。(a<°)的得出及运用

教学过程

一、创设情境，新课引入：

问题1课件展示(课本P48问题1)：

引导学生逐年计算，并得出规律：

设X年后我国的国内生产总值为2000年的y倍，那么

y=1.073”(xeN*,x<20)

问题2课件展示(课本P58问题2)：

与学生共同研讨问题2,使学生体会引进分数指数幕的必要性。

二、师生互动，新课讲解：

1、问题引入：(课件)

(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根

呢？

(2)如x4=a,x5=a,x6=a,根据上面的结论我们又能得到什么呢？

(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？

⑷可否用一个式子表达呢？

引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义

的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题⑵的

结论进行引申、推广，相互交流讨论后回答，启发学生，具体问题一

般化，归纳类比出n次方根的概念，学生回答后评价学生的思维.

教师板书n次方根的意义：

一般地，如果x"=a,那么x叫做a的n次方根(nthroot),其中n

>1且n£N*.

可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.

继续追问：

⑴你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗？(多媒体显示

题目).

(2)平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方

根的指数是什么数，有什么特点？

⑶问题⑵中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，还有

零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？

⑷任何一个数a的偶次方根是否存在呢？

提示学生切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的n次方根，就是求

出的那个数的n次方等于a,及时点拨学生，从数的分类考虑，可以

把具体的数写出来，观察数的特点，对问题⑵中的结论，类比推广

引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学

生提示引导考虑问题的思路.

得出结论：(1)一个正数的偶次方根有两个，这两个数互为相反数;

负数没有偶次方根。

(2)一个正数的奇次方根是一个正数，一个负数的奇次方根是一个

负数。

(3)0的任何次方根都是0。

「〃为奇数，a的〃次方根有一个为后

即口为正数.为偶数，。的几次方根有两个为土立

〃为奇数，。的九次方根只有一个为石

口为负数.〃为偶数，a的九次方根不存在

零的n次方根为零，记为丽=°

注意：正数。的正的〃次方根加叫做。的〃次算术根

指出：式子后叫做根式，这里〃叫根指数，。叫被开方数。

探究L⑴(6=；(d=.；(旧尸=.

(2)从(1)你有何发现？

(3)啦¥=a一定成立吗？为什么？

得出结论：(后)”=a,学生小组讨论，合作探究，提高学生团结协作

能力。

探究2：书中50页

通过探究得到结论：

由此得出：当〃是奇数时，◎=a

a(a>0)

''\la"=|a|=<

当〃是偶数时,-a(a<0)

(1)若Y=a,贝叫。的平方。如：±2是4的平方根

一个正数的平方根有个，它们互为数；负数没有平方根;

零的平方根是.

(2)若/=a,则x叫a的.如：2是8的立方根，一2是一8的

立方根。

一个正数的立方根是一个数，一个负数的立方根是一个数，0

的立方根是.

(3)类比平方根、立方根的定义，你认为，一个数的四次方等于。

则这个数叫。的；一个数的五次方等于J则这个数叫，

的；一个数的六次方等于。，则这个数叫。的；…；

一个数的n次方等于则这个数叫。的；

一般地，如果工"=。，则％叫。的n次方根，其中”>1且〃eN*.

问：(1)16的四次方根是.32的五次方根

是.一32的五次方根是.

(2).一个正数的n次方根有几个？一个负数的n次方根有几个？0

的n次方根是多少？（给学生留点时间进行探究）

得出结论：

（1）一个正数的偶次方根有两个，这两个数互为相反数；负数没有

偶次方根。

（2）一个正数的奇次方根是一个正数，一个负数的奇次方根是一个

负数。

（3）0的任何次方根都是Oo

<〃为奇数，a的〃次方根有一个为后_’

即a为正数：1〃为偶数’"的"次方根有两个为土爪

”为奇数，a的九次方根只有一个为日

a为负数..〃为偶数，。的九次方根不存在

零的n次方根为零，记为次=°

注意：正数。的正的〃次方根。叫做。的〃次算术根

指出：式子也叫做根式，这里〃叫根指数，。叫被开方数。

探究L：（1）（6:；（口）:,；（萌）4=.

（2）从（1）你有何发现？

（3）碗”=a一定成立吗？为什么？

得出结论：（板）"=。

探究2：（1）.疔=；将了=；疔=；"

（2）由（1）你发现了什么结论？

（3）5=,；疔=；VF=

.7（=3）?=.=

9，9

（4）由（3）你发现了什么结论?

由此得出：当〃是奇数时，晤=。

I—\a（a>0）

Van=|〃|=《

当〃是偶数时，i（。<°）

例1（课本P50例1）求值或化简：

（1）N（~8）3；Q）［（T。）?；（3）,（3_乃）4；（4）*a—b）2（a〉b）

变式训练L化简：

例2:求值或化简：

（］）（2）N（~2）3+/（、-2六+/（2一乃）3（3）+yj（m-n）4

变式训练2：（1）玳。"）4；（2）而犷；（3）5・鹿了.（4）（归）\

（5）（亦）1（6）E,（7）疗

例3：若5〈a〈8,则式子J（0一J（a-七的值为

（答：2a-13）

变式训练3：若J〃—2a+l=a-1,求。的取值范围。

（答:a>l）

三、课堂小结，巩固反思:

（1）根式：如果x"=。，那么》叫做。的〃次方根.

⑵根式性质：%）'=。5>1”N*）.

商Ja"为奇数

（3）0。］〃为偶数.

四、布置作业：

A组：

1、（课本P59习题2.1A组NO：1）

4+3"YY"

2、已知：五二3求（1）x；⑵/；⑶%3.（4）%3,

的值。

3、

（1）V3+2V2+73-272=（答：2&）

⑵，5+2庭+，5-2&=（答:26）

提出问题

(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根

呢？

(2)如x4=a,x5=a,x6=a,根据上面的结论我们又能得到什么呢？

(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？

⑷可否用一个式子表达呢？

活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方

根是如何定义的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，

对问题⑵的结论进行引申、推广，相互交流讨论后回答，教师及时

启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生

的思维.

讨论结果：(1)若x2=a,则x叫做a的平方根，正实数的平方根有

两个，它们互为相反数，如：4的平方根为±2,负数没有平方根，

同理，若x3=a,则x叫做a的立方根，一个数的立方根只有一个，

如：一8的立方根为一2.

⑵类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a,则这个数

叫a的四次方根.一个数的五次方等于a,则这个数叫a的五次方根.一

个数的六次方等于a,则这个数叫a的六次方根.

⑶类比⑵得到一个数的n次方等于a,则这个数叫a的n次方根.

⑷用一个式子表达是，若xn=a,则x叫a的n次方根.

教师板书n次方根的意义：

一般地，如果xn=a,那么x叫做a的n次方根(nthroot),其中n

>1且n£N*.

可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.

提出问题

(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗？(多媒体显示

以下题目).

①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；@32的5次方根;

⑤一32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根.

(2)平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方

根的指数是什么数，有什么特点？4,±8,16,—32,32,0,a6分

别对应什么性质的数，有什么特点？

⑶问题⑵中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，还有

零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？

⑷任何一个数a的偶次方根是否存在呢？

活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的n次方

根，就是求出的那个数的n次方等于a,及时点拨学生，从数的分类

考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题(2)中的结论,

类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不

准确的学生提示引导考虑问题的思路.

讨论结果：(1)因为±2的平方等于4,±2的立方等于±8,±2的4

次方等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于一32,0的7次方

等于0,a2的立方等于a6,所以4的平方根，±8的立方根，16的

4次方根，32的5次方根，一32的5次方根，0的7次方根，a6的

立方根分别是±2,+2,±2,2,一2,0,a2.

⑵方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总的来看，这

些数包括正数，负数和零.

(3)一个数a的奇次方根只有一个，一个正数a的偶次方根有两个，

是互为相反数.0的任何次方根都是0.

⑷任何一个数a的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存

在，因为没有一个数的偶次方是一个负数.

类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得

到n次方根的性质：

①当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n

次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用一na表示，正的n

次方根与负的n次方根合并写成土na(a>0).

②n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个

负数，这时a的n次方根用符号na表示.

③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零.

上面的文字语言可用下面的式子表示：

a为正数：n为奇数，a的n次方根有一个为na,n为偶数，a的

n次方根有两个为土na.

a为负数：n为奇数，a的n次方根只有一个为na,n为偶数，a

的n次方根不存在.

零的n次方根为零，记为n0=0.

可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例.

思考

根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况？

活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握，即正数的奇偶次方根,

负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡视学生,

随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根，四次方根等，看是

否有意义，注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题.

解：答案不唯一，比如，64的立方根是4,16的四次方根为±2,-

27的5次方根为5—27,而一27的4次方根不存在等.其中5-27

也表示方根，它类似于na的形式，现在我们给式子na一个名称一一

根式.

根式的概念：

式子na叫做根式，其中a叫做被开方数，n叫做根指数.

如3-27中，3叫根指数，一27叫被开方数.

思考

nan表示an的n次方根,式子nan=a一定成立吗？如果不一定成立,

那么nan等于什么？

活动：教师让学生注意讨论n为奇偶数和a的符号，充分让学生多举

实例，分组讨论.教师点拨，注意归纳整理.

(如3(—3)3=3—27=—3,4(—8)4=|—81=8).

解答：根据n次方根的意义，可得：(na)n=a.

通过探究得到：n为奇数，nan=a.

n为偶数，nan=|a|=a,—a,a20,a<0.

因此我们得到n次方根的运算性质：

①(na)n=a.先开方，再乘方(同次)，结果为被开方数.

②n为奇数，nan=a.先奇次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数.

n为偶数,nan=|a|=a,~a,a20,a〈0.先偶次乘方，再开方(同

次)，结果为被开方数的绝对值.

应用示例

思路1

例求下列各式的值：

⑴3(—8)3；(2)(-10)2；(3)4(3—))4；(4)(a-b)2(a>b).

活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什

么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目

仔细分析.观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题

过程中出现的问题并对症下药.求下列各式的值实际上是求数的方

根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被

开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无

需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数.

解：(1)3(—8)3=—8；

(2)(-10)2=10；

(3)4(3-“)4=n-3；

(4)(a—b)2=a—b(a>b).

点评：不注意n的奇偶性对式子nan的值的影响，是导致问题出现

的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用.

变式训练

求出下列各式的值：

⑴7(—2)7；

(2)3(3a-3)3(a<l)；

(3)4(3a-3)4.

解：⑴7(—2)7=—2,

(2)3(3a-3)3(a<l)=3a—3,

(3)4(3a-3)4=

点评：本题易错的是第⑶题，往往忽视a与1大小的讨论，造成错

解.

思路2

例1下列各式中正确的是()

A.4a4a

B.6(-2)2=3-2

C.aO=l

D.10(2-1)5=2-1

活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查n次方根的运算性质，

应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解，既要考虑被开方数，又

要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体会方根运算的实质，学生先

思考哪些地方容易出错，再回答.

解析：(l)4a4=a,考查n次方根的运算性质，当n为偶数时，应先

写nan=|a|,故A项错.

⑵6(—