衔接点02 式与方程（解析版）-2024小升初数学暑假衔接讲义

衔接点02式与方程小学阶段主要学习了字母表示数（能用字母表示常见数量关系、运算定律、常见几何体的公式等）、简单的一元一次方程及解法，培养的核心数学素养是学生的符号意识和运算能力。初中阶段较小学数学在式与方程方面主要变化有：“数与式”是代数的基本语言，初中阶段重点关注代数式的运算与规律探究，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性；“方程与不等式”揭示了数学中最基本的数量关系（相等关系和不等关系），是初中应用广泛的数学工具，初中一元一次方程的解法与小学的方法有所区别。培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、推理能力等。其实小学数学与初中数学实际上是有很多关联的。只要从小六到初一的过度在老师的引导下，找出“数”与“式”之间的内在联系以及区别，在知识间架起衔接的桥梁，也为后面的更多内容打下坚实的基础，这样才能在初中众多的考试面前不乱阵脚，游刃有余。题型探究题型1、字母表示数 3题型2、探究与表达规律 5题型3、等量代换 8题型4、等式与方程的概念辨析 11题型5、等式的性质及其运用 14题型6、方程的解及其运用 17题型7、解方程 19培优精练A组（能力提升） 26B组（培优拓展） 331．用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律1）用字母表示数和数量关系（1）一班有男生a人，女生b人，一共有（a＋b）人；（2）每袋面粉重25千克，x袋面粉共重25x干克；（3）路程＝速度×时间，用字母表示s＝vt；（4）正比例：（一定），反比例：x×y＝k（一定）。2）用字母表示计算公式及运算定理长方形周长：C＝2（a＋b）；长方形面积：S＝ab；长方体体积：V＝abh或V＝Sh。加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）乘法交换律：ab＝ba乘法结合律：（ab）c＝a（bc）乘法分配律：（a＋b）c=ac＋bc注意：①数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面；②两个相同的字母相乘时，可写成这个字母的平方，如a×a可以写作a2。2．等式与方程1）等式与方程的意义及关系意义关系等式表示相等关系的式子叫作等式所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程方程含有未知数的等式叫作方程2）等式的性质（1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。（2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。3）解方程（1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。（2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。（3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。（4）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立；③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。题型1、字母表示数【解题技巧】1）字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明的将数量关系表示出来。2）用字母表示数的意义：有助于揭示概念的本质特征，能使数量之间的关系更加简明，更具有普遍意义。使思维过程简约化，易于形成概念系统。例1．（2024·辽宁·小升初模拟）学校买来20个足球，每个a元，又买来b个篮球，每个58元。20a＋58b表示()；当，，则()元。【答案】买20个足球和个篮球一共的价钱1480【分析】根据单价数量总价，确定、分别表示的意义，再根据加法的意义，得出这个代数式表示的含义；把、的值代入代数式，求出结果即可。【详解】表示买20个足球的价钱；表示买个篮球的价钱；表示买20个足球和个篮球一共的价钱。当，时，表示买20个足球和个篮球一共的价钱。当，，则元。例2．（2024·浙江·小升初模拟）已知每个人做某项工作的效率相同，个人做天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（

）。A． B． C． D．【答案】D【分析】假设每个人做某项工作的效率为1，则这项工作总量为，若增加人，现在总人数是人，用工作总量除以总人数，即可求出完成工作所需的天数。【详解】设每个人做某项工作的效率为1，则这项工作总量为，若增加人，则完成工作所需的天数为。故答案为：D例3．（2022·湖南怀化·小升初真题）小刚在测试中，语文、数学和英语三科的平均分是a分，语文和英语一共得b分，数学得（

）分。A．3a－b B．a÷3－b C．a÷3－2b【答案】A【分析】根据“平均分×科数＝总分”，用3a表示出语文、数学和英语三科的总分，用b表示出语文和英语的总分，然后用语文、数学和英语三科的总分减去语文和英语的总分，即可得出数学的分数。【详解】根据分析得，语文、数学和英语三科的总分是3a，则数学得分是（3a－b）分。故答案为：A【点睛】此题主要考查用字母表示数，根据平均数的含义进行解答。变式1．（2023·四川成都·小升初真题）夏明今年岁了，爸爸比夏明大21岁，则6年后，爸爸比夏明大（

）岁。A． B．21 C． D．6【答案】B【分析】根据夏明今年岁了，爸爸比夏明大21岁，分别用含有字母的式子表示出爸爸今年的岁数、夏明6年后的岁数、爸爸6年后的岁数，用减法即可计算出爸爸6年后比夏明大的岁数。【详解】爸爸今年：（a＋21）岁；6年后，夏明（a＋6）岁；爸爸：a＋21＋6＝（a＋27）岁；爸爸比夏明大：（a＋27）－（a＋6）＝a＋27－a－6＝21（岁）故答案为：B【点睛】本题还可以根据“年龄差不变”直接得出答案。变式2．（2023·江苏·小升初模拟）如果把一个长、宽、高分别为a厘米、b厘米和h厘米的长方体的高增加3厘米，那么这个长方体的表面积比原来增加（

）平方厘米。A．3ab B．3（a＋b） C．6（a＋b） D．6ab【答案】C【分析】由题意知：增加的表面积实际上就是长为a厘米，宽为b厘米，高为3厘米的长方体的侧面积，利用侧面积＝底面周长×高，代入数据计算即可。【详解】（a＋b）×2×3＝（a＋b）×6＝6（a＋b）平方厘米表面积增加6（a＋b）平方厘米。故答案为：C。【点睛】理解增加的表面积就是长为a厘米，宽为b厘米，高为3厘米的长方体的侧面积是解答本题关键。题型2、探究与表达规律【解题技巧】观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。例1．（2024·六年级·山西·期中）根据下面图形的规律，第11个图中有（

）个。A．33 B．36 C．39【答案】B【分析】根据题意，图形1，有6个，可以写成：3×1＋3；图形2，有9个，可以写成：3×2＋3；图形3，有12个，可以写成：3×3＋3；…图形n，有（3n＋3）个，由此可知，当n＝11时，即可求出的个数。【详解】根据分析可知，图形n，有（3n＋3）个。当n＝11时：3×11＋3＝33＋3＝36（个）所以第11个图中有36个。故答案为：B例2．（2022·浙江温州·小升初真题）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。从上图中可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如4＝1＋3。把“正方形数”36写成两个相邻的“三角形数”之和，正确的是（

）。A．36＝10＋26 B．36＝12＋24 C．36＝15＋21 D．36＝16＋20【答案】C【分析】观察图形和等式，发现正方形数是1、4、9、16、25、36、49…；都是平方数；三角形数是1、3、6、10、15、21、28…；相邻两个数的差依次增加1；从“三角形数”中找出哪两个相邻的数相加，和是“正方形数”36即可。【详解】图1：正方形数是4，4＝1＋3图2：正方形数是9，9＝3＋6图3：正方形数是16，16＝6＋10图4：正方形数是25，25＝10＋15图5：正方形数是36，36＝15＋21故答案为：C【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。变式1．（2023·江苏·小升初模拟）用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：第七个图案中有白色地砖块。【答案】30【分析】第一个图案有白色地面砖6块，第二个有10块，第三个有14块……即第n个图案中白色地砖数有（2＋4n）块，利用这个规律即可求解。【详解】因为第一个图案有白色地面砖6块，第二个有10块，第三个有14块……据此总结出规律，第n个图案中白色地砖数有（2＋4n）块所以第7个图案中有白色地面砖数为：2＋4×7＝2＋28＝30（块）即第七个图案中有白色地砖30块。【点睛】此题主要考查了图形的变化规律，学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。变式2．（23-24六年级·陕西咸阳·期末）把黑色三角形按如图所示的规律拼成下列图案，其中第1个图中有4个黑色三角形，第2个图中有7个黑色三角形，第3个图中有10个黑色三角形，……，按此规律排列下去，则第6个图中有()个黑色三角形，第()个图中有100个黑色三角形。

【答案】1933【分析】看图，第一个图有4个黑色三角形，之后每幅图都在上一幅图的基础上增加3个黑色三角形。第二个图有4＋3＝7（个）黑色三角形，第三个图有4＋3×2＝10（个）黑色三角形，那么可以推测第n个图黑色三角形的个数为（4＋3×（n－1））个。将n＝6代入式子中，求出第一空。n未知，将整个式子等于100，列出方程解出n，求出第二空。【详解】4＋3×（6－1）＝4＋3×5＝4＋15＝19（个）解：设第n个图中有100个黑色三角形。4＋3×（n－1）＝1003n＋1＝1003n＋1－1＝100－13n＝993n÷3＝99÷3n＝33所以，第6个图中有19个黑色三角形，第33个图中有100个黑色三角形。【点睛】本题考查了数与形、简易方程的应用，能从图形排列变化中找出规律是解题的关键。变式3．（23-24六年级·河南·期末）为庆祝亚运会的成功召开，学校举行了“展少年英姿为亚运喝彩”的队列队形展示活动，淘气发现队列中也藏着数学秘密。队形1234…图示……(1)观察点子图，补充下面等式。2＝1×22＋4＝2×32＋4＋6＝3×42＋4＋6＋8＝()×()(2)照这样，第8个队形需要()人；第n个队形需要()人；第()个队形有56人。【答案】(1)45(2)72n（n＋1）7【分析】通过观察发现，第1个点子图是用1×（1＋1），第2个点子图是用2×（2＋1），第3个点子图是用3×（3＋1），则第4个点子图是用4×（4＋1），第8个点子图是用8×（8＋1），第n个点子图是用n×（n＋1）。也就是两个连续的自然数相乘，小的那个数就是第几个图形，56＝7×8，则56人是在第7个队形。【详解】（1）2＋4＋6＋8＝4×5（2）8×9＝72（人）56＝7×8则第8个队形需要72人；第n个队形需要n（n＋1）人；第7个队形有56人。题型3、等量代换【解题技巧】等量代换是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。．如果能应用等量代换思考问题，不仅有助于学生找到锯决问题的便捷方法，而且有助于锻炼学生的思维，提高学生解决实际问题的能力。例1．（2022·山西临汾·六年级统考期末）根据如图，＝（

）克。A．50 B．48 C．64【答案】C【分析】先由图1可以得到一个较大圆＝24克，再由图2可知，一个小圆为24×2÷3＝16（克），由图3可知，最大圆为16×4＝64（克），据此解答即可。【详解】图1可以得到一个较大圆是24克由图2可知，一个小圆是24×2÷3＝48÷3＝16（克）由图3可知，最大圆是16×4＝64（克）故答案为：C【点睛】由图1可以得到一个较大圆＝24克，再求出小圆的值，是解答此题的关键。例2．（2022·重庆沙坪坝·小升初真题）某款手机充电5分钟，能够通话2小时，或者玩游戏1.5小时，某人将一部完全没电的手机充电4分钟，之后打了20分钟的电话。这部手机还能玩()分钟的游戏。【答案】57【分析】已知手机充电5分钟，能够通话2小时，也就是120分钟，如果只充4分钟，则只能通话120分钟的，根据分数乘法的意义，用120×即可求出充电4分钟后能通话的时间，减去20分钟通话时间后，即可求出剩下通话的时间；1.5小时＝90分钟，则能够通话120分钟相当于玩游戏90分钟，则通话1分钟相当于玩游戏分钟，用剩下通话的时间×即可求出剩下通话的时间相当于玩游戏多少时间。【详解】2小时＝120分钟120×＝96（分钟）96－20＝76（分钟）1.5小时＝90分钟76×＝57（分钟）这部手机还能玩57分钟的游戏。【点睛】本题主要考查了等量代换以及分数乘法的应用，注意统一单位。例3．（2023·四川成都·小升初真题）已知，求的值。【答案】3【分析】479749这个数比较大，我们可以用暂时一个字母表示这个数。，根据分数和除法的关系，＝＝k，则＝3k，同理，。通过计算发现最后的结果和这个复杂的数字没有关系。【详解】根据分析＝＝＝＝＝3变式1．（2022·湖南长沙·小升初真题）如果△＋△＋△＋△＋□＝270，□＋△＋△＋△＋□＝290，那么，□＋△＝()。【答案】120【分析】首先利用第二个式子减去第一个式子得出口和△的关系，用其中一个表示另一个，再代入任何一个式子求出一个，进一步求出另一个解决问题。【详解】△＋△＋△＋△＋□＝270①□＋△＋△＋△＋□＝290②②－①得：□－△＝290－270＝20□＝20＋△，③把③代入①得：△＋△＋△＋△＋△＋20＝270△＝50所以□＝20＋△＝70所以□＋△＝120【点睛】注意利用代换的方式把其中一个数用另一个数表示，两个未知数就成了一个未知数，进一步解决问题即可。变式2．（2022·江苏南京·小升初真题）1瓶水倒满7个大杯和6个小杯后，还余30克的水，或倒满9个大杯和4个小杯后，还余10克的水，这瓶水可以倒满()个大杯和()个小杯后，没有剩余。【答案】103【分析】把第二次倒的方法乘3，也就是说看成3瓶水，3瓶可以倒27个大杯和12个小杯还剩30克，减去第一次倒的除以2后可得：2瓶水可以倒20个大杯和6个小杯，所以1瓶可以倒10个大杯和3个小杯。【详解】倒满9个大杯和4个小杯后，还余10克的水，所以当为3瓶水时，可以倒27个大杯和12个小杯还剩30克，减去第一次倒的除以2后可得：2瓶水可以倒20个大杯和6个小杯，所以1瓶水可以倒10个大杯和3个小杯。【点睛】此题的关键是根据第二次倒完后剩的10克，乘3，也就是看成是3瓶，然后和第一次倒的进行整体相减，从而求解。变式3．（2024·山东·小升初模拟）若，则的值是()。【答案】1【分析】将先乘4，可转化出，带入24，求出结果再除以4即可。【详解】4÷4＝1【点睛】本题考查了等量代换和含有字母的式子求值，关键是将所求的式子转化出已知的算式。题型4、等式与方程的概念辨析【解题技巧】1）等式：表示相等关系的式子叫作等式。2）方程：含有未知数的等式。3）方程一定是等式，等式不一定是方程。注意：如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．例1．（2024六年级下·江苏·专题练习）等式和方程的关系可以用如图表示，下面（

）的关系也可以用这样的图来表示。A．质数和合数 B．奇数和偶数 C．四边形和三角形 D．长方形和正方形【答案】D【分析】含有未知数的等式叫方程，等式包含方程；除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数，质数和合数是并列关系；整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数，奇数和偶数是并列关系；三角形和四边形都是多边形；正方形是特殊的长方形，长方形包含正方形，据此分析。【详解】等式和方程的关系是包含与被包含的关系：A．质数和合数是并列关系，不是包含与被包含的关系；B．奇数和偶数是并列关系，不是包含与被包含的关系；C．三角形和四边形都是多边形，是并列关系，不是包含与被包含的关系；D．正方形是特殊的长方形，长方形包含正方形，是包含与被包含的关系。故答案为：D例2．（2024六年级下·辽宁·专题练习）下面的式子中，是方程的是（

）。A．3x＋5 B．3y－7＜8 C． D．81÷9＝9【答案】C【分析】含有未知数的等式叫做方程；据此解答。【详解】A．3x＋5，含有未知数，但不是等式，不是方程；B．3y－7＜8，含有未知数，但不是等式，不是方程；C．，含有未知数，是等式，是方程；D．81÷9＝9，是等式，但不含有未知数，不是方程；故答案为：C变式1．（2023春·浙江·六年级专题练习）下列各式中，不属于方程的是（

）。A．21＝y＋5 B．8＋x＝12 C．13＋6－9＝10【答案】C【分析】含有未知数的等式就是方程。据此判断即可。【详解】A．21＝y＋5含有未知数且是等式，所以是方程；B．8＋x＝12含有未知数且是等式，所以是方程；C．13＋6－9＝10是等式，但不含未知数，所以不是方程。故答案为：C【点睛】本题考查方程，明确方程的定义是解题的关键。变式2．（2024·河南·六年级统考期中）小学阶段学的很多数学知识之间有着密切联系。下面不能正确表示他们之间关系的是（

）。A． B．C． D．【答案】A【分析】平行四边形两组对边分别平行，梯形只有一组对边平行，所以梯形不属于平行四边形；三角形按角分为锐角三角形、直角三角形及钝角三角形；方程是含有未知数的等式，所以方程是等式；一个非0的自然数最大的因数和最小的倍数都是它本身。【详解】A．图一表示错误，梯形不是平行四边形；B．图二表示的是三角形的按角分类，表示方法正确；C．方程是等式，图示表示正确；D．a的最大因数和最小倍数相等，图四表示正确。故答案为：A【点睛】本题考查了四边形的分类、三角形的分类、方程的意义及因数倍数的意义。变式3．（2022·湖南湘西·统考小升初真题）小学阶段我们学习了很多知识，知识之间有着密切的联系。下图中：如果A表示长方形，那么B可以表示正方形；如果A表示等腰三角形，那么B表示()；如果B表示方程，那么A可以表示()。【答案】等边三角形等式【分析】长方形和正方形的关系是长方形包括正方形，正方形是特殊的长方形；等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包含等边三角形；方程是含有未知数的等式，等式是含有等号的式子。据此解答。【详解】根据分析得，如果A表示等腰三角形，那么B表示等边三角形；如果B表示方程，那么A可以表示等式。【点睛】此题主要考查长方形与正方形、等边三角形与等腰三角形、方程与等式之间的关系，应熟练理解并掌握它们的意义与联系。题型5、等式的性质及其运用【解题技巧】等式的性质（1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。（2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。例1．（2023春·湖南长沙·六年级统考期末）如果，根据等式的性质填空。()

()()

()【答案】5m0.5【分析】等式的性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；（2）等式两边同时乘以或除以同一个不为0点数，所得结果还是等式。【详解】5

m

0.5【点睛】关键是掌握等式的性质。例2．（2023春·北京·六年级统考学业考试）根据下图天平平衡的状态，求出一杯水的质量。【答案】1.5kg【分析】1杯水为单位“1”，由图可知1杯水的重量＝杯水的重量＋kg，我们可以根据等式的基本性质，两边同时减去杯水的重量，即（1－）杯水的重量＝kg。据此一杯水的重量＝kg÷（1－）杯水。【详解】÷（1－）＝÷＝×＝1.5（kg）答：这杯水的质量为1.5kg。【点睛】此题需掌握等式的基本性质，通过数形结合的思想进行转化。例3．（22-23六年级上·陕西西安·期末）（－）÷－（□－）＝，求□内应填的数。【答案】【分析】（－）÷－（□－）＝，把□看作是未知数，先计算出小括号里的－的差，－＝，再计算除以的商；÷＝，原式化为：－（□－）＝，根据减法性质，原式化为：－□＋＝，再根据等式的性质1，算式两边同时加上□，再减去，即可解答。【详解】（－）÷－（□－）＝（－）÷－（□－）＝×－（□－）＝－□＋＝□＝＋－□＝＋－□＝－□＝变式1．（2023春·江苏南通·六年级专题练习）数学知识之间都有着有密切的联系，下面（

）与众不同。A．等式的性质 B．分数的基本性质 C．比的基本性质 D．商不变的规律【答案】A【分析】分数的分子可以看作比的前项，也可以看作除法算式的被除数；分数的分母可以看作比的后项，也可以看作除法算式的除数，所以分数的基本性质、比的基本性质、商不变的规律实质是一样的。等式的性质指等式的两边同时除以一个不为0的数，等式仍然成立，据此解题。【详解】分数的基本性质、比的基本性质、商不变的规律实质是一样的，等式的性质与它们不同。故答案为：A【点睛】熟练掌握等式的性质、分数的基本性质、比的基本性质、商不变的规律，是解答此题的关键。变式2．（2023春·天津红桥·六年级统考期末）若，则下列选项中错误的是（

）。A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等式的性质：1．在等式两边同时加或减去一个相同的数，等式仍然成立。2．在等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立。据此判断即可。【详解】A．因为，根据等式的性质1，在等式两边同时加上3，等式仍然成立，所以，原题干说法正确；B．因为，根据等式的性质2，在等式两边同时乘5，所以5a＝5b，再根据等式的性质1，在等式的两边同时加上4，则5a＋4＝5b＋4，原题干说法错误；C．因为，根据等式的性质2，在等式两边同时乘，所以a＝b，原题干说法正确；D．因为，根据等式的性质2，在等式两边同时乘，所以a＝b，再根据等式的性质1，在等式的两边同时减去5，则a－5＝b－5，原题干说法正确。故答案为：B【点睛】本题考查等式的性质，熟记等式的性质是解题的关键。变式3．（22-23六年级下·河南郑州·期末）如图，两条直线相交形成四个角。为了说明图中的∠2＝∠4，晓晓的理由是：因为：∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠4＝180°（平角等于180°），所以：∠1＋∠2＝∠1＋∠4，也就得出：∠2＝∠4。这里运用了（

）。A．加法交换律 B．等式的性质 C．减法的性质【答案】B【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式。【详解】∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠4＝180°（平角等于180°），所以：∠1＋∠2＝∠1＋∠4，两边同时减去∠1，∠1＋∠2－∠1＝∠1＋∠4－∠1（运用了等式的性质1），得∠2＝∠4。这里运用了等式的性质。故答案为：B【点睛】关键是掌握并灵活运用等式的性质。题型6、方程的解及其运用【解题技巧】1)方程的解：使方程两边相等的未知数的值；2）解方程：求方程的解的过程；3）会利用方程的解，求字母的数值。例1．（22-23六年级下·山东·期末）x＝6是下面方程（

）的解。A．24÷x＝6 B．5x＝35 C．4x＋5＝29 D．4x÷8＝6【答案】C【分析】把x＝6代入到各个方程中，若方程的左边等于方程的右边，则x＝6是该方程的解，反之则不是。【详解】A．方程的左边＝24÷x＝24÷6＝4≠方程的右边则x＝6不是方程24÷x＝6的解；B．方程的左边＝5x＝5×6＝30≠方程的右边则x＝6不是方程5x＝35的解；C．方程的左边＝4x＋5＝4×6＋5＝24＋5＝29＝方程的右边则x＝6是方程4x＋5＝29的解；D．方程的左边＝4x÷8＝4×6÷8＝24÷8＝3≠方程的右边则x＝6不是方程4x÷8＝6的解。故答案为：C【点睛】本题考查方程的检验，明确检验的方法是解题的关键。例2．（2023春·江苏·六年级小升初模拟）已知方程的解是，则k的值是（

）。A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】把代入到方程中，然后根据等式的性质解方程即可。【详解】当时解：故答案为：A【点睛】本题考查解方程，熟练运用等式的性质是解题的关键。变式1．（2022·四川乐山·五年级期末）是下列（

）方程的解。A． B． C． D．【答案】B【分析】根据方程的解的定义，把x＝6代入方程进行检验即可。【详解】A．把x＝6代入方程，左边＝6，右边＝0，左边≠右边，故选项错误；B．把x＝6代入方程，左边＝9，右边＝9，左边＝右边，故选项正确；C．把x＝6代入方程，左边＝1.2，右边＝3，左边≠右边，故选项错误；D．把x＝6代入方程，左边＝0.6，右边＝1.5，左边≠右边，故选项错误。故答案为：B【点睛】本题主要考查了方程解的定义，解答此题应注意采取代入法。变式2．（2022·江苏徐州·五年级期中）若x＝2是方程3x＋4a＝22的解，则a的值为（

）。A．4 B．7 C．10【答案】A【分析】将方程的解带入方程3x＋4a＝22，求出含a的式子，进而得出a的值。【详解】将x＝2带入方程3x＋4a＝22得：6＋4a＝22所以a＝（22－6）÷4＝16÷4＝4故答案为：A【点睛】本题主要考查学生依据等式的性质解方程的能力。题型7、解方程【解题技巧】1）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。2）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立；③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。例1．（2024·江苏·小升初模拟）解方程。

【答案】；；【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时加上3x，再同时减，最后同时除以3求解；（2）解比例，根据比例的性质先把比例式转化成两外项积等于两内项积的形式：，然后再根据等式的性质，方程两边同时乘，再同时除以2.5求解。（3）先计算方程左边的式子，然后再根据等式的性质，方程两边同时减去，再同时乘求解。【详解】（1）解：（2）解：（3）解：例2．（2024·重庆·小升初模拟）解方程。

【答案】；【分析】先应用乘法分配律把计算出来，方程两边再同时加减73.5，化简后得到方程，对化简后的方程两边再同时加12后除以6，可以解出未知数；把和分别看作整体，方程两边同时加和，化简后含和的项分别在等号两边，再逆用分配律，分别提出和进行化简后，方程两边同时乘6去掉分母后，运用等式的性质解方程。【详解】解：解：例3．（2023·浙江·小升初模拟）解方程或比例。

【答案】；【分析】，依据比例的基本性质，先写成的形式，根据等式的性质1和2，两边同时×，再同时＋1即可。，等式左边的部分，依据分数的基本性质，将小数化成整数，然后根据等式的形式1和2，两边同时×6，去分母，再将能合并的合并起来，解方程即可；【详解】解：解：变式1．（2024·辽宁·小升初模拟）解方程。

【答案】；；【分析】①根据等式的性质解答即可；先在方程两边同时加，再在方程两边同时减2.4，最后在方程两边同时除以4即可解答；②根据比例的基本性质，内项积等于外项积，再在方程两边同时除以4即可解答；③在比例里，两个内项之积等于两个外项之积，再在方程两边同时除以，最后在方程两边同时加1即可解答。【详解】解：解：x＝解：变式2．（2023·四川成都·小升初真题）解方程。（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）先根据带符号搬家，将变为，计算出，然后根据根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时加上0.2，再同时除以9即可；（2）先将方程左右两边分别化为分母是2的分数相加减，也就是，然后将左右两边分别合并，也就是，据此根据等式的性质2，左右两边同时乘2，可得，然后将左右两边分别合并，也就是，根据等式的性质1，将左右两边同时减去x，方程变为，再根据根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时加上1，再同时除以4即可。【详解】（1）解：（2）解：变式3．（2023·绵阳市·六年级小升初模拟）解方程或比例。

【答案】；【分析】，依据比例的基本性质，先写成的形式，根据等式的性质1和2，两边同时×，再同时＋1即可。，等式左边的部分，依据分数的基本性质，将小数化成整数，然后根据等式的形式1和2，两边同时×6，去分母，再将能合并的合并起来，解方程即可；【详解】解：解：A组（能力提升）1．（23-24六年级下·四川·期中）下面说法正确的是（

）。A．方程5x＋5＝5的解是5B．5x＋5＜5是方程C．等式一定是方程D．方程一定是等式【答案】D【分析】根据方程的概念：含有未知数的等式。所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。【详解】A．方程5x＋5＝5的解是x＝5，该选项的说法是错误的，不符合题意；B．5x＋5＜5，含有未知数，但不是等式，因此不是方程，该选项的说法是错误的，不符合题意；C．等式不一定含有未知数，只有含有未知数的等式才是方程，该选项的说法是错误的，不符合题意；D．方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式，因此方程一定是等式，该选项的说法是正确的，符合题意。故答案为：D2．（23-24六年级·江苏常州·期末）小学阶段学了很多数学知识，它们之间有密切的联系。下列不能正确表示它们之间关系的是（

）。A． B． C．【答案】A【分析】合数：除了1和它本身，还有其它因数的数是合数；偶数：能被2整除的数是偶数；等腰三角形：两条边相等的三角形是等腰三角形；正三角形：三条边相等的三角形是正三角形；正三角形是特殊的等腰三角形；方程：含有未知数的等式就是方程；方程是等式，等式不是方程，据此即可逐项分析。【详解】A．偶数和合数不是包含关系，2是偶数，但不是合数，所以选项A不能表示它们之间的关系。B．等腰三角形两腰相等，两个底角相等，当三条边都相等时，就变成了正三角形，所以B能表示它们之间的关系。C．方程是等式，是含有未知数的等式，所以选项C能表示它们之间的关系。故答案为：A【点睛】解答本题需熟练掌握分类标准，明确分类方法。3．（2022春·广东梅州·六年级统考期末）是下面方程（

）的解。A． B． C．【答案】A【分析】根据等式的性质，分别计算3个选项里方程的解，即可选择出正确的答案。【详解】A．2x＋9＝15解：2x＋9－9＝15－92x＝62x÷2＝6÷2x＝3B．3x＝4.5解：3x÷3＝4.5÷3x＝1.5C．3x÷2＝18解：3x÷2×2＝18×23x＝363x÷3＝36÷3x＝12所以，解是x＝3的方程是：2x＋9＝15。故答案为：A【点睛】本题主要考查方程的解，关键是利用等式的性质解方程。4．（2022·河南三门峡·小升初真题）鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，换算关系是：b＝2a－10（b表示码数，a表示厘米数）。37码的鞋用厘米作单位是（

）厘米。A．64 B．23.5 C．28.5【答案】B【分析】根据题意，“b＝2a－10（b表示码数，a表示厘米数）”，37码的鞋，可把“b＝37”带入“b＝2a－10”，利用等式的性质，据此可以求出a的值。【详解】把b＝37带入b＝2a－10中可得，37＝2a－10解：37＋10＝2a＋1047＝2a2a÷2＝47÷2a＝23.5所以37码的鞋用厘米作单位是23.5厘米。故答案为：B【点睛】本题考查了含有字母式子的求值以及利用等式的性质解方程，关键是弄清楚字母所表示的意义，再解答。5．（2024·四川成都·小升初真题）（比较大小）（）是一个真分数，下面各分数中最大的一个是（

）。A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分数的基本性质：分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。所以选项A、C的分数与原分数相等。假设真分数是，分别写出选项B、D的分数，并比较大小（分子除以分母化成小数，从高位到低位比较每个数位的数字大小），据此解答。【详解】根据分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，所以；假设真分数是，，；因为，所以，最大的分数是。故答案为：D【点睛】本题考查分数的基本性质，及比较分数的大小。6．（2022·山东济宁·小升初真题）4a＋8错写成4×（a＋8），结果比原来（

）。A．多4 B．少4 C．多24【答案】C【分析】将算式4（a＋8）去括号，计算出结果，再求与4a＋8的差即可。【详解】4（a＋8）－（4a＋8）＝4a＋32－4a－8＝32－8＝24则结果比原来多24。故答案为：C【点睛】本题考查了用乘法分配律计算含字母的算式，要熟记运算律并能灵活使用。7．（2022·陕西西安·小升初真题）某水果店运来苹果x千克，运来梨的质量是苹果的1.5倍，该水果店运来苹果和梨一共()千克。如果该水果店运来的梨比苹果多50千克，那么运来苹果()千克，运来梨()千克。【答案】2.5x100150【分析】根据运来的梨的质量＝苹果的质量×1.5，运来的梨和苹果的总质量＝运来的梨的质量＋苹果的质量；根据梨比苹果多的质量＝运来的梨的质量－苹果的质量，列方程，即可苹果、梨的重量。【详解】1.5x＋x＝2.5x（千克）该水果店运来苹果和梨一共2.5x千克。如果运来的梨比苹果多50千克，则：解：1.5x－x＝500.5x＝50x＝100100＋50＝150（千克）运来苹果100千克，运来梨150千克。【点睛】考查了用字母表示数，本题的关键是得到运来的梨的质量。8．（2023·四川成都·小升初真题）王恒出生于20世纪，他把他出生的月份乘2后加上5，把所得的结果乘50后加上出生年份再减去250，最后得到2088，则王恒出生在()年()月。【答案】19881【分析】王恒出生于20世纪，出生的年份在1901年到2000年所有的整数，月份在1到12之间。根据题目的要求可以设王恒出生在x年y月，则。将式子进行化简。得出当y＝1时，x＝1988符合条件。【详解】设王恒出生在x年y月。当y＝1时，则王恒出生在1988年1月。9．（2023·四川成都·小升初真题）（图形找规律）观察下图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色的三角形有()个。【答案】121【分析】用n表示第几个三角形时，当n＝1时，白色的三角形有1个；当n＝2时，白色的三角形有（1＋3＝4）个；当n＝3时，白色的三角形有（1＋3＋3×3＝13）个观察发现：当n＝4时，白色的三角形有（1＋3＋3×3＋3×3×3＝40）个；当n＝5时，白色的三角形有（1＋3＋3×3＋3×3×3＋3×3×3×3＝121）个；【详解】据分析：1＋3＋3×3＋3×3×3＋3×3×3×3＝1＋3＋9＋27＋81＝121（个）所以第5个三角形中白色的三角形为121个。10．（2023·湖北·小升初模拟）求未知数x。（1）

（2）（3）

（4）

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）x＝1【分析】（1）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时减去7，再同时减去5x，最后同时除以2即可；（2）先按照比例的基本性质变为，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以，再同时减去2即可。（3）运用乘法分配律化为，然后根据等式的性质，在方程两边同时减去4，再在方程两边同时除以5即可；（4）根据等式的性质，在方程两边同时乘6，再在方程两边同时加12，再在方程两边同时减去x，最后在方程两边同时除以5即可。【详解】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：B组（培优拓展）1．（23-24六年级上·江苏徐州·期末）将图①正方形做如下操作：分别连接对边中点如图②，得到5个正方形（1个大正方形加上4个中等正方形）；第2次，将图②左上角的正方形按上述方法再分割如图③，得到9个正方形…像这样操作8次，可以得到（

）个正方形。A．29 B．30 C．32 D．33【答案】D【分析】根据题意可知，将图①操作1次得到个正方形，操作2次得到个正方形，每操作1次增加4个正方形，由此得到规律，操作次得到个正方形，据此解答。【详解】由分析可知，像这样操作8次，可以得到个正方形，（个）即像这样操作8次，可以得到33个正方形；故答案为：D2．（2023·四川成都·小升初真题）A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A，B，C，D，E五队分别比赛了5，4，3，2，1场球，则还没有与B队比赛的球队是（

）。A．C队 B．D队 C．E队 D．F队【答案】C【分析】可以画图分析，六个点代表六个队，两点之间的线段代表1场比赛。A分别和B、C、D、E、F比赛了5场，E队只比赛了1场就是和A进行比赛的。B比赛了4场，那么除了和A比赛，分别和C、D比赛了2场，还有一场是和F赛的。这样D就分别是A、B赛了2场。C比赛了3场，分别已经和A、B赛了2场，还有1场是和F赛的。【详解】根据分析画出图。所以还没有与B队比赛的球队是E队。故答案为：C3．（2022·浙江宁波·小升初真题）按照下面的方式堆放小球，第5堆有()个小球，第n堆有()个小球。【答案】15（1＋n）×n÷2【分析】第一堆1层1个；第二堆2层3个；第三堆3层6个；第四堆4层10个；根据每一堆的层数和个数，发现可以用梯形的面积公式来计算出个数，上底是1，下底与它的堆数相同，高与底相同，据此求出第5堆和第n堆小球的个数即可。【详解】第五堆小球共有：（1＋5）×5÷2＝6×5÷2＝15（个）第n堆小球共有：[（1＋n）×n÷2]个【点睛】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。4．（2023·四川成都·小升初真题）小敏购买4种教学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数如下表：品名件数计算器圆规三角板量角器总钱数第一次购买件数134578第二次购买件数157998则4种教学用品各买一件共需要()元。【答案】58【分析】根据题意可知，计算器×1＋圆规×3＋三角板×4＋量角器×5＝78元；计算器×1＋圆规×5＋三角板×7＋量角器×9＝98元；据此可知，圆规×（5－3）＋三角板×（7－4）＋量角器×（9－5）＝圆规×2＋三角板×3＋量角器×4＝（98－78）元，再用78－（98－78）即可求出计算器×1＋圆规×1＋三角板×1＋量角器×1。【详解】98－78＝20（元）78－20＝58（元）4种教学用品各买一件共需要58元。【点睛】本题主要考查了等量代换，通过等式间数量上的加减找到对应要求的数量。5．（2023·四川成都·小升初真题）数轴上10个点所表