勾股定理的应用

1.1直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第2课时教案主备人：审核人：本章课时序号：4课题勾股定理的应用课型新授课教学目标1.能在较复杂图形中，恰当地利用勾股定理求线段的长；2.掌握利用勾股定理的两种方法：直接利用和建立方程；3.提高看图用图、作辅助线、综合分析问题的能力；4.切实体会数学与生活的联系，激发学习数学的兴趣.教学重点1.学会利用勾股定理的两种方法：直接利用和建立方程；2.具体问题具体分析，理清解答问题的步骤和方法.教学难点1.作辅助线，构造恰当的直角三角形；2.正确分析问题中图形之间的相互关系，理清解题思路，确定解题方法.教学活动一、复习铺垫1、回答问题：关于直角三角形三边关系的性质定理是什么？PPT：勾股定理.直角三角两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方，a²+b²=c².2、在Rt△ABC中，∠C=90°，根据勾股定理填空：(1)c=a2+b(2)若a=5，c=13，则b=12；(3)若a=，b=，则c=5.二、教学新知，感悟方法1、出示问题：如图，电工师傅把4m长的梯子AC靠在墙上，使梯脚C离墙脚B的距离为1.5m，准备在墙上安装电灯.当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到C′处.那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？2、理顺思路(1)抽象出示意图.(2)在Rt△ABC中，求出AB.(3)在Rt△A′BC′中，求出A′B.(4)计算AB-A′B，即得梯子往上移动的距离A′A.3、示范讲解在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m，由勾股定理得，AB==≈3.71(m).在Rt△A′BC′中，A′C′=4m，BC′=1m，故A′B=≈3.87(m).因此A′A=3.87-3.71=0.16(m).即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是移动0.5m.三、讲解例题，学会方法例2“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”意思是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺.如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面.问水深与芦苇长各为多少？分析：(1)根据题意，画出水池截面示意图，如右图.设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分长1尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B′.(2)在Rt△AB′C中，B′C是正方形池塘边长的一半，即B′C=5尺，而AB′，AC为未知.(3)设AC为x尺，根据AB′=AB，AB=AC+BC，BC=1尺，则AB′=(x+1)尺，从而可根据勾股定理建立方程求解.解：如图，设水池深为x尺，则AC=x尺，AB′=AB=(x+1)尺.因为正方形池塘边长为10尺，所以B′C=5尺.在Rt△ACB′中，根据勾股定理，得x²+5²=(x+1)².解得x=12.则芦苇长为13尺.答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺.四、巩固练习，培养能力1、(庆阳中考)如图所示是一张三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm.现将纸片折叠，使点A与点B重合，那么折痕的长为.提示：将纸片折叠，使点A与点B重合，折痕就是线段AB的垂直平分线与AB，AC的交点之间D，E的线段.解：将纸片折叠，使点A与点B重合，折痕为AB的垂直平分线与AB，AC的交点之间的线段DE.连接BE，则BE=AE.设AE=BE=xcm，则CE=(8-x)cm.在Rt△BCE中，根据勾股定理，得CE²+BC²=BE²，即(8-x)²+6²=x²解得x=.所以AE=cm.在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，根据勾股定理，得AB=10，则AD=5.在Rt△AED中，AD=5，AE=，则DE=.因此，折痕长cm.2、(枣庄中考)如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4m，AB=8m，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD约为m(结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73).解在Rt△AMD中，AM=4m，∠MAD=45°，∴DM=4m.设CD=xm，则CM=(x+4)m.∵在Rt△BMC中，∠B=30°，∠MBC=30°，MB=MA+AB=12m，CM=(x+4)m，∴BC=2(x+4)m.根据勾股定理，得MC²+MB²=BC²，即(x+4)²+12²=[2(x+4)]²化简得(x+4)²=48.解得x=4−4或x=−4−4(舍去).即CD=4−4≈4×1.73−4≈2.9(m).因此，警示牌的高CD约为2.9m。五、课堂总结，深化理解提问：如何利用勾股定理解答实际问题？学生回答，教师用PPT展示①根据实物图画出示意图，作辅助线，构造直角三角形.②明确条件和问题，找出需要用到的直角三角形.③理清解题思路，确定解答步骤和运用勾股定理的方法：已知两边直接算；已知一边或一条线段列方程.④根据要求取近似值，写出答案.六、作业布置第13页课后练习第1、2题1、如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群.在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后，渔船行至B处，此时测得小岛C在船是北偏东30°方向.已知以小岛C为中心，周围10海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？解：作CD⊥AB于点D.∵∠BAC=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30°.∴BC=AB=30×=20(海里).又∵在Rt△BCD中，∠BCD=30°，∴BD=BC=10(海里).∴CD===10＞10(海里).因此不会有触礁的危险.2、如图，AE是位于公路边的电线杆，高为12m，为了使电线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根高为6m的水泥撑杆BD，用于撑起电线.已知两根杆子之间的距离为8m，电线CD与水平线AC的夹角为60°.求电线CDE的总长L(A，B，C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的粗细忽略不计).分析电线CDE的总长L就是CD+DE.过点D作DM⊥AE，在Rt△BDC中求出CD；过点D作DM⊥AE，在所得Rt△MED中求出DE，计算CD+DE即可求出电线总长L.解在Rt△BCD中，∵∠BCD=60°，∴∠BDC=30°.设BC=xm，则CD=2xm，而BD=6m，由勾股定理，得x²+6²=(2x)²解得x=±2(负值舍去).因此电线CD的长为4m.在Rt△MED中，ME=AE-BD=6m，DM=8m，∴DE==10(m).∴