高中数学 4. 1 . 2 圆的一般方程

4.1.2圆的一般方程

(一)教学目标

1.知识与技能

(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般

方程确定圆的圆心半径，掌握方程V+/+以+/+£=0表示圆的条件.

(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的

方程.

(3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.

2.过程与方法

通过对方程V+/+以+0+尸=o表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分

析解决问题的实际能力.

3.情感态度与价值观

渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇

于探索.

(-)教学重点、难点

教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确

定方程中的系数，D、E、F.

教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.

(三)教学过程

教学

教学内容师生互动设计意图

环节

问题：求过三点力(0,0),B(1,

1),C(4,2)的圆的方程.

利用圆的标准方程解决此问题显

课题然有些麻烦，得用直线的知识解决又有设疑激趣

让学生带着问题进行思考

引入其简单的局限性，那么这个问题有没有导入课题.

其它的解决方法呢？带着这个问题我

们来共同研究圆的方程的另一种形式

——圆的一般方程.

请同学们写出圆的标准方程：(x-整个探索过程由学生完通过

概念

a)2+(y-6)1=r,圆心(a,6),半成，教师只做引导，得出圆的学生对圆

形成

径r.一般方程后再启发学生归纳.的一般方

与深

把圆的标准方程展开，并整理：圆的一般方程的特点：程的探究，

化

x+y-2ax-2by+a2+-r=0.(1)①V和4的系数相使学生亲

取。=-2a,E--2b,F-ar+同，不等于o.身体会圆

1)-d得/+y+[)x+Ey+f=0①②没有灯这样的二次项.的一般方

这个方程是圆的方程.(2)圆的一般方程中有三程的特点，

反过来给出一个形如X+/++个特定的系数D、E、F,因此及二元二

"+尸=0的方程，它表示的曲线一定只要求出这三个系数，圆的方次方程表

是圆吗？程就确定了.示圆所满

把f+/+〃¥+£>+月=0配(3)与圆的标准方程相比足的条件.

方得较，它是一种特殊的二元二次

D7.E、,D~+E~—4F/Hx/asn方程，代数特征明显，圆的标

U+y)-+(y+~)=-----------②(配

准方程则指出了圆心坐标与半

方过程由学生去完成)这个方程是不是径大小，几何特征较明显.

表示圆？

(1)当)+片-4Q0时，，方

程②表示以(-2,_马为圆心，

22

-yjD2+E2-4F为半径的圆；

2

(2)当毋+万-4/=0时，方

程只有实数解x=-2,y=-£，即只表

22

示一个点;

22

(3)当力+片-4尸<0时，方

程没有实数解，因而它不表示任何图

形.

综上所述，方程x+y+Dx+Ey+F

=0表示的曲线不一定是圆.

只有当-4Q0时，它表

示的曲线才是圆，我们把形如/+/+

Dx+Ey+F=Q的表示圆的方程称为

圆的一般方程.

例1判断下列二元二次方程是否学生自己分析探求解决途通过

应用表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆径：①用配方法将其变形化成例题讲解

举例心及半径.圆的标准形式.②运用圆的一使学生理

(1)A.x+4y-4x+12y+9=般方程的判断方法求解.但是，解圆的一

0要注意对于（1）4?+4y-般方程的

（2）4x+4/-4x+12y+114x+12y+9=0来说，这里代数特征

二0及与标准

的〃=-1,E=3,尸=3而

解析：（1）将原方程变为4方程的相

«9不是〃=-4,E=12,尸二9.互转化更

x9+y-x+3y+-=0

进一步培

9养学生探

D=-1,£=3,F=-.

4索发现及

，：If+万-=1>0分析解决

・・・此方程表示圆，圆心（,，问题的能

22力.

半径r=—.

2

（2）将原方程化为

xy-x+3y+—=0

4

D=-1,E=3,

4

〃+U-4夕=-l<0

・・・此方程不表示圆.

例2求过三点A(0,0),B(1,例2讲完后

1),C(4,2)的圆的方程，并求这个圆学生讨论交流，归纳得出

的半径长和圆心坐标.使用待定系数法的一般步骤：

分析：据已知条件，很难直接写出1.根据题设，选择标准方

圆的标准方程，而圆的一般方程则需确程或一般方程.

定三个系数，而条件恰给出三点坐标，2.根据条件列出关于a、

不妨试着先写出圆的一般方程.b、r或D、E、尸的方程组；

解：设所求的圆的方程为：/+/3.解出a、b、r或〃、E、

+Dx+Ey+F-QF,代入标准方程或一般方程.

,：A(0,0),B(1,1),C(4,2)

在圆上，所以它们的坐标是方程的解.

把它们的坐标代入上面的方程，可以得

到关于〃、E、尸的三元一次方程组：

F=0

即.O+E+/+2=0

4O+2E+/+20=0

解Jj七方程组，可得：场-8,京6,

尸二0

:.)斤求圆的方程为：/+/-8^

+6y=0

r=-V£>2+f2-4F=5；

2

L

-)=44,尸=-3C.

2

得L31心坐标为(4,-3).

或》$x+y-8x+6y=0左边

配方化1勺圆的标准方程，(X-4尸+(y

+3)2=25,从而求出圆的半径5,

圆心坐木示为(4,-3).

例3已知线段AB的端点8的坐标

是(4,3),端点/在圆上(x+1尸+/

=4运动，求线段的中点"的轨迹方

程.

解：设点材的坐标是(x,力，点4

的坐标是(x°,㈤由于点6的坐标是(4,

教师和学生一起分析解题

3)且“是线段48中重点，所以

思路，再由教师板书.

、二空，”三，①

分析：如图点1运动引起

点M运动,而点力在已知圆上

于是有xo-2x-4,%=2y-3

运动，点｛的坐标满足方程(x+

因为点力在圆(x+1产+/=4

I)2+/=4.建立点〃与点A

上运动，所以点力的坐标满足方程(x+

坐标之间的关系，就可以建立

1)2+y=4,B[J(9+1”+y/=4②

点M的坐标满足的条件，求出

把①代入②，得

点材的轨迹方程.

(2x-4+I)2+(2y-3)2=4,

整理得(x-$2+(),一$2=1

所以，点M的轨迹是以(3」)为圆

22

心，半径长为1的圆.

课堂练习：课堂练习P130第1、2、3题

1.圆的一般方程的特征让学

2.与标准方程的互化生更进一

3.用待定系数法求圆的方程步(回顾)

归纳

4.求与圆有关的点的轨迹教师和学生共同总结体会知识

总结

的形成、发

展、完善的

过程.

课后

布置作业：见习案4.1的第二课时学生独立完成巩固深化

作业

备选例题

例1下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径.

(1)?+y+x+1=0；

(2)x+/+2ac+/=0(aWO)；

(3)2x+2/+2ax-2ay=0(aXO).

【解析】(1)因为〃=1,E=0,F=1,

所以+/-46VO方程(1)不表示任何图形；

(2)因为D=2a,E=Q,F=a,

所以〃+6-4F—4a2-4a,=0,所以方程(2)表示点(-a,0)；

(3)两边同时除以2,得X?+_/+ax-ay=0,

所以D=a,E=-a,F=0.所以Z/+严-4Q0,

圆心为(_@:)，半径r=」j£)2+E2_4F=也lai.

所以方程(3)表示圆,

2222

点评：也可以先将方程配方再判断.

例2已知一圆过P(4,-2)、0(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为46，求

圆的方程.

【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时.，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、

弦心距、半径所构成的三角形解之.

【解析】法一：设圆的方程为：

x+y+Dx+EyF-Q①

将20的坐标分别代入①得

4D-2E+尸=-20②

D-3E-F=10③

令x=0,由①，得/+砂+尸=0④

由已知1%-y2\=4百，其中力，先是方程④的两根.

/.(yi-72)2=(yi+y2)-=片-4夕=48⑤

解②③⑤联立成的方程组，得

D=-2|D=-10

E=0或匕-8

F=-12F=4

故所求方程为：x+y-2x-12=0或/+/-lOx-8y+4=0.

法二：求得图的中垂线方程为*-y-l=0①

•••所求圆的圆心C在直线①上，故设其坐标为(a,a-1),

又圆C的半径r=1CP