高中数学第八章《立体几何初步》提高训练题 (42)(含答案解析)

第八章《立体几何初步》提高训练题（42）

一、单项选择题（本大题共2小题，共10.0分）

1.正四面体ABCQ的棱长为3,点P是平面A8C内一动点，OP=|,设异面直线。P与BC所成

的角为a,则sina的最小值为（）

2.在棱长为2的正方体中，M是的中点，点P是正方形。。。也】内的动点（含

边界），且MP〃截面则线段MP长度的取值范围是（）

A.[V2,V6]B.[V6,2V2]C.[V6,2V3]D.[V6,3]

二、多项选择题（本大题共4小题，共16.0分）

3.如图，在棱长为a的正方体—中，E,F分别是

3C,4A的中点.则下列结论正确的是（）

A.四边形片如E是菱形

B.直线4c与所成的角是90°

C.直线AO与平面片也况所成的角的正弦值为更

D.点4与平面的距离为递a

4.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD1底面A8CD,则下列结论中，正确结论的选项是（）

A.AC1SB

B.AB〃平面SCD

C.SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角

D.AB与SC所成的角等于0c与S4所成的角

5.在长方体4BC0-4当的/中，AB=2V3,AD=AAt=2,P,Q,R分别是A8,BBr,41c上

的动点，则下列结论正确的是

A.对于任意给定的点P,存在点Q使得。/1CQ

B.对于任意给定的点。，存在点R使得DiRICQ

C.当ARJL4C时，AR1DyR

D.当41c=34小时，0/〃平面BDG

6.正三棱柱ABC-4B1G的各条棱的长度均相等，。为441的中点，M,N分别是线段和线段

CG上的动点（含端点），且满足BM=C1N,当M,N运动时，下列结论正确的是（）

A.在ADMN内总存在与平面ABC平行的线段

B.平面DMN1平面BCGBi

C.三棱锥&-DMN的体积为定值

D.ADMN可能为直角三角形

三、填空题（本大题共10小题，共50.0分）

7.已知直线a,b和平面a,若a//b,且直线b在平面a内，则a与a的位置关系是.

8.如图，在三棱锥P-4BC中，点8在以AC为直径的圆上运动，平面ABC,AD1PB,垂

足为D,DE1PC,垂足为E,若P4=2K，AC=2,则普=________,三棱锥P-4DE体积

EC

的最大值是.

E

如图，点C在以AB为直径的圆周上运动（C点与A,8不重合）

P是平面ABC外一点，且PAJ_平面48C,PA=AB=2,过C

点分别作直线A8,PB的垂线，垂足分别为M,N,则三棱锥

B-CMN体积的最大值为.

10.己知直四棱柱4BC0-AiBiQ%的所有棱长均为4,且C

^ABC=120。，点E是棱BC的中点，则过点E且与BO】垂直的平面截该四棱柱所得截面的面积

为.

11.己知三棱锥P-48c外接球的表面积为100兀，P4_L平面ABC,PA=8,ABAC=W）,则三棱

锥体积的最大值为.

12.正四面体4-BCD中，P,Q,例分别是侧棱AB,AC,40上的动点（不含端点），且满足

AP<AQ<AM,分别记二面角4-PQ-M,A-QM-P,4一PM-Q的平面角为a,0,y,

则a,0,y的大小关系为（从小到大排列）

13.在三棱锥P-4BC中，尸4=PB=壁,C4=CB,E是A8的中点,F是线段AC上一点，且PFJ.F4,

2

AF=l，G是线段CE上一点，FG//AB,FG=4,M是线段P尸上的动点，N是平面PCE内的

动点，则4M+MN的最小值为.

14.如图，棱长为2的正方体力BCD-&B1C也中，E为CCi的中点，点P,夕一匕刁如

。分别为面4&GD1和线段BiC上动点，则ZPEQ周长的最小值为‘I可、\

15.已知三棱锥S-ABC的顶点都在球。的球面上,且该三棱锥的体积为2b,S41平面A8C,S4=4,

AABC=120。，则球O的体积的最小值为

16.如图，在校长为1的正方体4BCD-&B1C1D1中，点E,F分别是棱BC,CG的

中点，P是侧面B/CC1内一点，若&P平行于平面AEF,则线段&P长度的

取值范围是.

四、解答题(本大题共14小题，共168.0分)

17.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面48C3的边长是2夜的正方形，PA=PD,PA1PD,尸为

PB上的点，且平面PBD

(1)证明：PC1平面PA8；

(2)证明：平面PAD1平面A8CD；

(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.

18.已知四棱锥P-4BC0,底面A8CD为菱形，PD=PB,H为PC上的点，过AH的平面分别交

PB,PD于点、M,N,且BD〃平面AM/7M

(1)证明：MN1PC；

(2)当”为PC的中点，P4=PC=%4B,与平面ABC。所成的角为60°,求二面角

P-AM-N的余弦值.

19.如图，在直三棱柱ABC-AiBiG中1平面ABC,。是AB的中点BC=AC,4B=2DC=2VL

AAt=4.

(1)求证：8G〃平面4CD；

(2)求平面BCGBi与平面力iCD所成锐二面角的余弦值.

20.如图所示，AB为圆O的直径，点E、F在圆。上，AB//EF,矩形ABC。所在平面和圆。所在

(1)求证：平面IMF_L平面CBF；

(2)求直线AB与平面C8F所成角的大小;

(3)当AO的长为何值时，二面角。一尸E-B的大小为60°?

21.如图，四棱锥P-4BCD中，底面A8C。为矩形，PAiffiABCD,E为尸。的中点.

(1)证明：PB〃平面4EC;

(2)设4P=1,AD=V3,三棱锥尸一480的体积|7=与，求A到平面P3C的距离.

4

22.如图，在三棱锥4一BCD中，△BCD是边长为4的正三角形,4B=5,E为BC的中点，平面4DE1

平面BCD,三棱锥4-BCD的体积为4遍.

(1)求证：平面AOE1平面ABC；

(2)求二面角C-AD-B的余弦值.

23.如图，在三棱柱ABC-Ai-Ci中,48_1_侧面BCC/i，AC=4%.

(1)求证：平面4BG1平面AB］。；

(2)若4B=BC=2,ZBCCX=60°,求二面角B-一当的余

弦值.

24.如图1,平面四边形ABC£>中，CD=4,AB=AD=2,^BAD=60°,/BCD=30。，将三角形

AB。沿8。翻折到三角形P8O的位置，如图2,平面PB。1平面BCD,E为PO中点.

P

D

(I)求证：PD1CE；

(II)求直线8E与平面PCD所成角的正弦值.

25.如图，在梯形ABC。中，ABHCD,AD=DC=CB=1,乙4BCEI60。，四边形ACFE为矩形,

(1)求证：平面ACFE；

(2)求二面角A-BF-C的平面角的余弦值;

(3)若点M在线段E/上运动，设平面MA8与平面FCB所成二面角的平面角为火。490。)，试

求cos。的取值范围.

26.已知矩形ABC。满足4B=2,BC=V2,4P4B是正三角形，平面P4B_L平面

ABCD.

(I)求证：PC1BD；

(n)设直线/过点C且平面ABC。，点厂是直线/上的一个动点，且与点尸位于平面488

的同侧.记直线PF与平面P48所成的角为。，若0<CFWA/5+1,求tan。的取值范围.

27.如图，在三棱锥E-ABC中，AE垂直于平面ABCNACB=90°,AC=BC=2，AE=1.

点F为平面ABC内一点,记直线£尸与平面BCE所成角为八，直线EF与平面A8C所成角为3.

(I)求证：BCJ"平面ACE；

(口)若sin。=巫，求岫"的最小值.

5

28.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABC。为直角梯形，AD//BC,/.ADC=90°,平面PAD，底

面ABCC,。为4。的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2,BC=^AD=1,CD=国.

(1)求证：平面PBCJ■平面尸。B；

(2)当的长为何值时，平面。M8与平面POC所成的角的大小为60。？

29.在如图所示的几何体中，四边形ABC。为平行四边形=90。,EBABCD,EF//AB,

AB=2,EB=V3.EF=1,BC=713,且M是3。的中点.

(II)求二面角A-FD-8的余弦值的大小.

30.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，Z-DAB=pmPADiffiABCD,

PA=PD=—1

2

p

(1)证明：PB1BC；

(2)求点A到平面PBC的距离.

【答案与解析】

1.答案：C

解析:

本题考查了异面直线所成角的计算，必要时可借助空间向量工具解决空间角的计算问题.

计算。到平面ABC的距离，得出P点轨迹，利用空面向量计算而和正所成的角，从而得出sina的

最小值.

解：设底面A8C的中心为0,则00_L平面A8C,取BC中点为E,连接AE,DE,如图所示：

••・正四面体棱长为3,AE=越，40=；4E=b，0D=>JAD2-AO2=V6,

2J

OP=7DP2-DO2=1,

2

故P点轨迹是以。为圆心，以;为半径的圆，

以。为原点建立如图所示的空间坐标系如图所示：

则。(0,0,A/6),B(|,今0),C(-1,今0),

设pGcos0*sbi20),pIljDP=(^cose^sind,-V6),BC=(-3,0,0),

cosa=|cos<DPfBC>|

3"

-cosOCOS0

==I—b

3X15

故sina=

yj25

・•.当cos。=1时，sina取得最小值等.

故选：C.

2.答案:B

解析：

本题考查空间几何体中点的轨迹，直线与平面的位置关系，属于中档题.

取的中点N,CG的中点心的中点”，证明平面MNRH〃平面MPu平面MNRH,

则P在NR上，通过证明MN?=NR?+MR2,说明/MRN是直角，可得线段长度的取值范围是

[MR.MN],从而得解.

解：取C。的中点N,CC]的中点R,B】Ci的中点H,

则MN〃BiC〃HR,MH//AC,

MN仁平面ABiC,B]Cu平面4B]C,

所以MN〃平面48道，同理MH〃平面4公。，

因为MN,MHu平面MNRH,MNCMH=M,

故平面MNRH〃平面4B】C,

MPu平面MNRH,则尸在NR上，

由48=2,则MN=2VLNR=V2，MR=V6,

所以MN?=NR2+MR2,

所以4MHN是直角，

所以线段MP长度的取值范围是：[MR,MN],

即：[历2a].

故选8.

3.答案：ABD

解析:

本题考查运用空间向量解决立体几何的相关问题，属于较难题.

容易证明A正确，运用线面垂直的判定定理及性质定理可以证明8正确，建立空间直角坐标系，运

用向量知识即可判断CD.

解：在棱长为a的正方体4BCD中，瓦尸分别是^。，公小的中点，

B]F=DF=DE=B]E=Ja2+(|)2=苧，且四边形名尸/用是平行四边形，故四边形/FOE是菱

形，A正确；

在棱长为〃的正方体4BCD-4B£Di中，连接CD「容易证明G。，平面直线u平面

CD14,

4C1C]。，41c与QD所成的角是90。，故8正确；

以4为原点,A8，ADi，44i分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设平面&FCE的法向量为记=(x,y,z),

同=(0,a,0),屁=(。,一泉0)，庠=(0*，a),

n-DE=0j5n-B1E=0,

解得五=(a,2a,a).

设AO与平面B]FOE所成的角为a,sina=cos<n,XD>=\-y—\=孚故C错误；

在上面空间直角坐标系中，设平面BQD的法向量为沅=(p,q,r),A^B=(a,0,-a),5D=

(—a,a,0),BC；=(0,a,a),

m•前=0jSm-BC；=0,

解得记=(a,a,-a).

设点4与平面BC1。的距离为d,

>_\m-A^B\_|a2+0+a2|_2y/3

a=~^T=V3a=~a-

故。正确.

故选ABD.

4.答案：ABC

解析：

本题考查空间几何平行与垂直，考查学生的空间想象能力，属于中档题.

A.根据SD_L底面ABC。，底面ABCD为正方形，易证AC1SB;B.根据线面平行的判定定理易证AB〃平

面SCD;C.由线面角可得结论；D根据异面直线所成的角可得结论.

解：A.■■■SD1平面ABCD,ACu平面ABCD,SD1AC.

•••四边形ABC。是正方形，AC_LBD.

又•••SDCDB=O,SD、BDu平面SZ）B.

AC1¥0SDB,58匚平面5。8,；.人（：158,故A正确.

BJ.•四边形4BC£>是正方形，AB//DC,

又AB，平面SCD,CDu平面SCD,

•••AB〃平面SCD,故8正确.

C.vSD，平面ABCD,AD,DCu平面ABCD,、二4SAD是SA与平面ABD所成的角，4SCD是SC与

平面ABO所成的角，SD1AD,SD1CD,

AD=CD,ZSDA=ZSDC,SD=SD,SAD三△SCD,：./SAD=/SCO,故C正确；

D.-.-AB//DC,•••4SCD（为锐角）是AB与SC所成的角，NSAB是。C与SA所成的角，

vSDABCD,A8在平面ABC。内，:SD1AB,又AB1AD,SD、AO为平面54。内两条相交

直线，

•••ABSAD,SA在平面SA。内，.•.AB_LSA,NSAB是直角，二NSCD片/SAB.

•••AB与SC所成的角等于£>C与SA所成的角不正确；

综上可知：ABC正确.

故选ABC.

5.答案：ABD

解析：

本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中的线面关系，训练了利用空间向量判断空间中的线面

关系，是中档题.

由线面垂直的判定分析A与C；建立空间直角坐标系，由两向量的共线与垂直判断2与。.

解：如图，

在正方形BBiGC中，连接BG，当。与当重合时，CQ1BG，

在长方体力BCD-AiBiRDi中，ABJ■平面BBiGC,则4B1CB1，

・••CBiL平面DMB,即对于任意给定的点P,

存在点Q(与Bi重合)，使得QP1CQ,故A正确；

对于B,•.•DiCi1平面BCG&,由线面垂直的性质定理和判断定理，取。与反重合，R与8重合,

则由/C，平面BC/i得到CQ1DR故B正确；

在直角三角形414c中，过A作AR1&C,若此时4RJ.D/,

则ARJ•平面45R,

得力R可得Ai。1平面力1AC,乂A】。11平面214B,

矛盾，故C错误；

对于D,以。为坐标原点，分别以ZM,DC,0历所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

贝1］。1(0,0,2),41(2,0,2)，8(2,2次,0),。(0,2旧,0)，6(0,28,2).丽=(2,2b,0)，西=(0,273,2),

设平面。8G的一个法向量为五=(x,y,z).

由《一—,「，，取y=-l，得元=(遮，-1,我)，

(n-DCr=2V3y+2z=0

由-C=3&R,得/=［砧*=(-|，争-|)，则辰=(涔,-|)，

•.•印,n=0,.•.当41c=3&R时，〃平面BDCi，故。正确.

故选ABD.

6.答案：ABC

解析:

本题考查了棱柱的结构特征，以及面面，线面垂直，三棱锥的体积，考查了空间想象能力和思维能

力，是中档题.

由直线与平面平行的定义得在^OMN内总存在与平面A3C平行的线段;由=Q/V,得线段

MN必过正方形BCGBI的中心0,由。。1平面BCCiBi，可得平面DMNJ■平面BCC/i；由

△的面积不变，N到平面4DM的距离不变，得到三棱锥&-DMN的体积为定值;利用

反证法思想说明^DMN不可能为直角三角形.

解析：

如图，当M、N分别在BBi、CG上运动时，

A.由直线与平面平行的定义得在AOMN内总存在与平面A8C平行的线段，故A正确；

B.若满足=C1N则线段必过正方形BCC/i的中心0,而。。，平面BCG/,

.♦・平面DMN1平面BCGBi,故B正确；

C当M、N分别在BBi、CG上运动时,A/liDM的面积不变,N到平面4DM的距离不变.•.棱锥N-&DM

的体积不变，即三棱锥&-。"N的体积为定值，故C正确；

D.若ADMN为直角三角形,则必是以NMDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为B6,而此时

DM,ON的长大于.•.△DMN不可能为直角三角形，故。错误。

故选：ABC。

7.答案：a〃平面a或au平面a

解析：

本题主要考查空间中直线与平面的位置关系的判断，属于基础题.

根据定理判定即可，注意考虑所有情况.

解：因为a〃b,所以a,6共面，

若此平面就是平面a,满足题意，

所以直线au平面a；

若a,匕构成的平面不是平面a,

则根据线面平行的判定定理，

可知直线Q〃平面a.

综上可知直线。与平面a的位置关系

为a〃平面a或Qu平面a,

故答案为a〃平面a或Qu平面a.

8.答案：3；|

4

解析：

本题考查线面垂直的判定与性质，考查棱锥的体积最值问题，题目较难.

由条件可得Rt^AP。〜RtABP.4,RtAEPD-RtABPC,可得P/=PE-PC,求得PE=3；

沪巫=弊£=,.*,设AB=x,"PB=a,则有=3后叱F设®十=0,则x=2cos9,

yp-ABCS&PCB4PB产ADE12+X2

于是/_血£=迹吗•令/二(。与，可求得出《出，进而可得结果.

FADb7+COS207+cu«20\2/'12

解：因为241平面ABC,4Bu平面ABC,

所以241AB.

又AD1PB,所以Rt/XAP。/RtAZJP.4,

于是”=U=2炉=p。・PB①.

PAPB」

因为P41平面ABC,BCu平面ABC,

所以PA1BC.

又点B在以AC为直径的圆上运动，

所以4B_LBC,且P4nAB=4PA.ABu平面PAB,

所以BC1平面PAR.

又PBu平面PA.B,

所以BC1PB.

而DE1PC,

所以Rt^EP。/RtABPr,

于是案=蒜=P。•PB=PE•PC②.

由①②得：PA2=PEPC.

因为P4=2^3,PC=J(2bp+22=4，

所以PE=K~=3,于是詈=3.

PD

Vp-ADE_Vj-PDE_SRPDE_P°PE_三.

VP-ABCVA-PBCSRPCBPCPB4PB

设=Z.APB=a.

因为/-ABC=lPA-S^ABC=gW4-x2,

PDPAcosa212

-PA-=cosa=2

PB□12+x2'

cosa

所以k皿竦嗡・k，••盛・袁G=3V3xV4-x2

12+x2

设NB4c=8,则x=2cos。.

3V3-2cos0-2sin036sin2®

所以4-ADE=

12+4COS207+COS20

sin20

令/

7+CXJ«20

则sin2。—tcos20=73sin(20+@)=

所以|sin（26+（p）|=|^=f|<1,

解得：

所以DE=亚吗《3百X更=1

尸AUb7+COS20124

所以三棱锥P-40E体积的最大值是：.

4

故答案为：3；p

4

9.答案：交”

324

解析：

本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，三棱锥体积的计算，是较难的题.

根据题意得到CM_L平面PAB进而得到CMJ.PB,从而得到PB_L平面CMN,则三棱锥B-CMN体积

K=|SAMW.CM=[X：XBN•MN•CM,进而得到V==1J2c一玛（0<x<鱼），再利用导

数即可得到最大值.

解：因为PA1平面ABC,CMu平面ABC,

所以P41CM,

又CMJ.4B,

所以CMJL平面PAB,

又PBu平面PA.B,

所以CM1PB,

又因为CN1PB,

所以PB1平面CMN,

又MNu平面CMN,

所以PB1MN,

三棱锥B-CMN体积U=|SAJWW-CM=^X^XBN-MN-CM,

由P4=4B=2,可知APAB为等腰直角三角形，

设BN=x,则MN=x,BM=缶,在直角三角形ABC中，

又CMJ.4B,

所以CM?=AM.BM,

因为AB=2,

所以AM=2—夜x，

所以CM=小缶(2-缶)，

故V=：x：xBN.MN.CM

1

=-x2V2x(2—V2x)

6

=^-x2^2x(72—%)

=1^2%5(72-%)

=1j2(V2x5-x6)(0<%<伪，

令”=V2x5—x6>则if=5V2x4—6x5=X4(5A/2—6x)，令〃'=0,则％=—»

6

当0<x<见^时，a'>0,

6

当¥<x<&时，u'<0,

故当X=平时，”=疯》5-收取最大值，

此时V也取最大值，最大值为

15V25V2L5迎

，（丁）［0内丁Q-6工）

Knax

125Is11,25\[525%

—X—X/—X———X—X——..........

618y336183324

故答案为空更

324

10.答案:V6

解析：

本题考查立体几何中的截面问题，属于较难题。首先得找到截面，再求截面面积。

连接8£>,当劣，取AB中点F,连接尸E交80于O,过。作8劣垂线交8品与连接MF,ME,

先证明21MEF为所求截面，然后再根据题目所给条件求ZMEF面积即可。

解：连接BO,B"i，取AB中点尸，连接FE交8。于0,过。作垂线交BB］与M,连接MF,

ME。下证ZME尸为所求截面。

由题意可知底面四边形A8C£>为菱形，/ABC=120°,由菱形性质易知8。=4,4C=4g,EF=

I/IC=2^3,EF1BD,B0=^BD=1

四棱柱4BCD-4B1GD1为直四棱柱，所以BB\!平面，EF<Z平面.48。。

所以BBilEF,BB1cBD=B,BBiU平面BDRBi,BOU平面BDOiB1

所以EFJ.平面BOOiBi,因为U平面3。£）田|,所以EF18久

又0M1BD1，OMrEfO（）\h-m.SIEF.Et：：fTi.\/£F

所以8".：f".匕所以dMEF为所求截面.

四棱柱4BCC-41B1GD1为直四棱柱，棱长均为4,易知四边形BD/B］为正方形，

0M1BD］，所以4M0B为等腰直角三角形，0M=迎。8=或

则截面三角形面积S4AlEF=［xEFx0M=ixV2x2V3=V6

故截面面积为历。

11.答案：18国

解析:

本题考查了正余弦定理在解三角形计算中的综合应用，三角形面积公式，棱柱、棱锥、棱台的侧面

积、表面积和体积，利用基本不等式求最值，简单组合体及其结构特征和球的表面积和体积，属于

较难题.

设底面△ABC的外接圆直径为d,利用简单组合体的结构特征和球的表面积公式得d=6,在44BC中,

利用正弦定理得BC=3A/3.利用余弦定理得(48+AC)2=3AB-AC+27,再利用利用基本不等式

求最值得力AC427,再利用锥体的体积公式，结合三角形面积公式，计算得结论.

解：设底面A/IBC的外接圆直径为d.

因为三棱锥P-力BC外接球的表面积为100兀，

所以三棱锥P-ABC外接球的直径为10.

又因为平面ABC,PA=8,

设底面AABC外接圆的直径长为d,则PD是三棱锥P-ABC外接球的直径，

所以d2+82=1。2,解得d=6.

在△ABC中，由正弦定理得一胃力；=*即与;=6,解得BC=3g.

s\n£BACsin60°

由余弦定理得=AB2+AC2_2aB-ACcosZ.BAC,

即27=AB2+AC2-AB-AC=(AB+AC)2-3AB-AC,

即G4B+AC)2=3AB-AC+27,

因此3AB-AC+27>4AB-AC,解得4BAC<27,

当且仅当AB=AC=时，等号成立，

所以三棱锥P-4BC体积为U=i-S“BC・P4=\\AB.AC.争8

=—AB-AC—x27=18^3，

33

因此三棱锥P-ABC体积的最大值为18K.

故答案为18g.

12.答案：£<y<a

解析：

本题考查二面角的大小的判断与求法，考查空间线线、线面、面面间位置关系等基础知识，考查运

算求解能力、空间想象能力，属于中档题.

作出二面角的平面角，比较A到三条直线PQ,QM,MP的距离的大小，计算三个角的正弦值，比

较大小后可得角的大小.

解：如图，作J■平面A/PQ于H,作于E，连接〃£,

由力〃_L平面”。0，。例匚平面尸0河，；.力〃10例，

又，〃n4“=/，AH,AEU平面AEH>•1•QM1平面AEH，EHu平面AEH.

AH

.••QM1HE,.•.乙4EH是二面角4—QM—P平面角,/AEH=。,sin£=",

.-.AE=AQsinZAQM,

设4到直线的距离分别为4,4,4,则4=40sinN40M,同理

4=AQsmAAQP,

由下图知，因为力。〈力M，所以40。（力0〃<90。，

di<d2,同理可得4<4<4,

.aAH0.AH.AH

又sinp———,同理sinct———,sin/=-

444

所以sina>siny>sin夕，又〃在AMPQ内部，a,£,y都是锐角，.••夕<y<a.

故答案为£<y<a.

13.答案:y

解析：

本题考查了空间距离，考查学生的逻辑推理、数学运算及直观想象的素养，先判断得4M+MN的最

小值为点A到PG的距离，再求得点A到PG的距离即可得答案

解：因为P4=PB,CA=CB,且E是AB的中点，

所以CE14B,PELAB,

CEdPE=E.CE.PEC平面PCE，

所以48_L平面PCE,

因为FG〃4B,所以FG1平面尸CE,

所以PF在平面PCE的射影为PG,平面PFG绕P尸展开，

使之与平面APF重合时，AM+MN的最小值为点A到PG的距离，

因为4尸=|,PA=",PF1FA,PF=y/PA2-AF2=5,

所以sin乙4P尸=y,cos^APF=等，

又因为FG=4,FGPCE,PGu平面PCE,

所以FG1PG,

所以siMGPF=支cos乙GPF=|,

所以sin(4APF+4GPF)=若，

所以AM+MN的最小值为度x辿=卫.

2522

故答案为葭

14.答案：V10

解析:

【试题解析】

本题考查正方体的结构特征及多面体和旋转体上的最短距离(折叠与展开图)，同时考查余弦定理的

运用，由对称点，求出最短距离，得到三角形周长的最小值.

解：・•・由题意得：/PEQ周长最小时，P在BiG上，

•••在平面BCGBi中，设E关于BiC的对称点为M,

关于当6的对称点为N,

则^PEQ周长的最小值为MN,

：.EMv/2,EN=2,NMEN=1353

...MN=j4+2-2x2xV2x(-y)=VlO-

故答案为“u.

15.答案：竺陋

3

解析：

本题考查三棱锥外接球体积的求法，综合利用了正弦定理、余弦定理以及基本不等式，属于较难题.利

用体积公式推出48•BC=6,再利用余弦定理求出AC的最小值，再求出外接球半径R的最小值，

由此可得答案.

P

解：由三棱锥S-ABC的体积为2百，且54=4,

得到y=^SA-^BA-fiCsinl20°=2取，：,AB•BC=6,

设三角形ABC的外接圆的半径为r,则2r=-^,

sinl20

2

则由余弦定理=AB2+BC2_2AB.BC.cosl20°=AB+BC2+AB-BC>3AB-BC=18,当且

仅当4B=BC=n成立，

故AC的最小值为3近，

所以"2著=2区，r的最小值为历，

2

设球。的半径为R，球心。在平面ABC的投影Oi为△.43L外心，

则R2=72+（第2>6+4=10,R>V10.

..“=加3》"®,

33

故答案为竺2国.

16.答案：呼总

解析：

本题考查空间中距离的最值问题，线面平行及轨迹问题，属中档题.

分别取棱SB】、&G的中点例、N,连接MM易证平面4MN〃平面AE凡由题意知点P必在线段

MN上,由此可判断P在M或N处时&P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即

可求得.

分别取棱BBi、BiG的中点M、N,连接MMaM、&N,连接BG，

•••M、N、E、尸为所在棱的中点，

MN//BCX,EF“B£,

MN//EF,

乂MN仁平面AEF,EFu平面AEF,

■.MN〃平面AEF

AAJ/NE,AAr=NE,

四边形AENa为平行四边形，

AXN//AE,

又&N仁平面AEF,AEu平面AEF,

&N〃平面AEF,

又A/CMN=N,A/、MNu平面A]MN,

二平面4MN〃平面AEF,

•••P是侧面BCQBi内一点，且①尸〃平面AEF,

则P必在线段MN上，

在RtAaBiM中，=y.

同理，在RtA&BiN中，求得&N=在，

又MN=，

—2

为等腰三角形，

当尸在MN中点。时为P1MN,

此时41P最短，P位于M、N处时41P最长，

Ar0=J&M2_0M2=乎，

41M=&N=争

所以线段力iP长度的取值范围是呼，争.

故答案为[乎,g].

17.答案：证明：（1）•・•力F_L平面PB。，PBPBD,

•••PDLAF,"PA1PD,PAQAF=A,：.PD_L平面尸AB；

AB

(2)1••48CD是正方形，•••ABLAD,

•••PD1AB,ADCPD=D,ABPAD,

■：ABu平面ABCD,

平面PAD_L平面ABCD.

解：(3)取AD的中点“，连结P4,BH,

PA1PD,•••PH1AD,

•••平面24。1平面ABCD,PHu平面PAD,

平面PA。C平面ABCD=AD,

PH1平面ABCD,

..BH是PB在平面ABCD内的射影，

乙PBH是PB与平面ABCD所成角,

在等腰RtABAO中，AD=2,，是4力中点，二PH=1,

^.RtBAH"AH=1,AB=2,

•••BH=V5)•••PB=7PH2+BH?=V6.

.PH1V6

•••smzZnD.PUBH=—===—.

PBV66

故直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为它.

6

解析：【试题解析】

本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面

间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思

想，是中档题.

(1)推导出PD1AF,PA1PD,从而PD，平面PAB；

(2)推导出4B1AD,PD1AB,从而ZBJL平面由此能证明平面PAD1平面4BCO；

(3)取A。的中点“，连结P”，BH,推导出NPBH是PB与平面ABC。所成角，由此能求出直线PB

与平面A8CQ所成角的正弦值.

18.答案：(1)证明：连结AC交于点O,连结P0.因为ABCQ为菱形，所以BOL4C,且。为AC、

的中点，因为PO=PB,所以POJ.BD,

H

因为4cnP。=OSLAC,POu平面PAC,

所以BD_L平面PAC,

因为PCu平面PAC,所以BD1PC.

因为BD〃平面AMHN,BDu平面PBD,

且平面4MHNfl平面P8。=MN,

所以BD〃MN,所以MN1PC.

（2）由（1）知BD1AC且P。J.BD,因为P4=PC,且。为AC

的中点，

所以P。J.AC,所以P。JL平面ABC。，所以PA与

平面ABC。所成的角为“4。，

所以4。=Zp4,p。=-^P4，因为24=6AB，所以B0=-^P4

226

分别以后，而,而为％%Z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设PA=2,则

0（0,0,0）,4（1,0,0）,B（0,等,0）,C（-l,0,0）,P（0,0,⑹，”（一［,0,子）所以

DB=（0,d,0）,筋=（一|,0,雷）,/=（一1,等,0）,晶=（-1,0,V3）.

则L0法:产7。

记平面AMHN的法向量为元=(ayMi)，

.AH=_|x]+^Zi=0

令X1=0,则yi=o,Zi=痘,所以元=(1,0,6),

记平面PAB的法向量为信=(x2,y2,Z2).则:.竺=一冷+丁，2=0

tn2•AP=-x2+A/3Z2=0

=

令％2=1，则力=V3,z2所以九2=(1，

两

则880=|c(>s<n>>|：

记二面角P-AM-N的大小为仇TT,

所以二面角的余弦值为普

解析：本题主要考查了线面垂直的判定与性质、线面平行的性质、向量法求二面角的余弦值，涉及

线面角的运用，属于较难题.

(1)根据菱形的性质及等腰三角形的性质判定BO_USPAC,进而得到BDJ.4C,由线面平行的性质

得到BD〃MN,从而得证；

(2)建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出相关向量的坐标，再求出平面APB,AMN的法

向量后即可求二面角的余弦值.

19.答案：解：(1)证明：连结力Ci交4c于点E,连结DE,则E为ZG中点，DE为△力8G中位线，

所以DE〃BC、.

又DEu平面&CD,BG仁平面4修。.所以8。1〃平面&。。.

(2)解法一：因为BC=4C,。是4B的中点，所以48J.DC.

又因为48=2DC=2vL所以4c=BC=2,贝ijAC?+鸟。2=AB2,即4c1BC,所以4ACB=90°.

又因为力4_L平面ABC,所以建立如图所示空间直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),。(一1,0,1),公(0,4,

2),CD=(-1,0,1).可=(0,4,2).

平面8CGB1的法向量为沆=(0,0,1).

设平面4CD的法向量为元=(x,y,z),则由有，方，元1两

得(元•CD——x+z=0

寸［道•CAX=4y+2z=0'

令y=-1,则％=z=2,五=(2,—1,2).

所以平面4CD与平面BCGBi所成的锐二面角。的余弦值为

cos"I后而I=而吞布一

解法二：延长&£)、当8交于Q,连接QC,过。作DH1BC于H,过”作H/J.QC于J,连接川，

则CH_1平面8。681，DH1CQ,又HJCDH=H,所以CQJ_平面。9=印/H为平面BCgB1与

平面4CD所成锐二面角的平面角.

Rt△BDC^p,BD=DC,所以高OH为中线，DH=1,BH=HC=1,

QBBD1

vBD/1A[B],:.OB=BBi=4,

QB1一A1B1-2’

在Rt△CBQ中，QC=A/42+22=2V5,

.HJBQ12

smZBCQ=—=—忑'

RSDHJ中,D/=J"+（哥=+cosf

所以平面BCCiG与平面AR。所成锐二面角的平面角的余弦值为|.

解析：本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、二面角的求法及空间向

量在立体几何中的应用，本题可以利用空间向量来解题从而降低了题目的难度，属于中档题.

(1)连结4G交41c于点E,连结。E,可证明DE〃BG，进而证明BG〃平面4CD：

(2)解法一：利用空间向量法求解二面角；

解法二：利用综合法求解二面角.

20.答案：解：(1)证明：•.•平面4BCD_L平面ABEF,CBLAB,

平面ABCDn平面4BEF=AB,

CB1平面ABEF.

...4Fu平面A8EF,二4F1CB,

又•••4B为圆。的直径，AF1BF,BFCCB=B,8F和CF都在平面CBF内

AF平面CBF.

•：AFu平面ZMF,.•.平面D4F1平面CBF.

(2)根据(1)的证明，有4FL平面CBF,

FB为AB在平面CBB上的射影，

因此，乙4BF为直线AB与平面C8尸所成的角.

"AB//EF,••・四边形ABEF为等腰梯形，

过点