人教版必修四：312两角和与差的正弦 教学案

两角和与差的正弦。教学目标

1.使学生能用两角差的余弦公式来推导出两角和的余弦公式，两角和差的正弦公式，并了解几个公式

之间的联系.

2.能灵活运用两角和差的正、余弦公式进行三角函数式的化简、求值和证明.

3.让学生了解公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力，同时渗透数学中常用的换元法、整体代换

法等重要思想.

教学重点与难点

重点：正确掌握两角和与差的正、余弦公式.

难点：能够灵活利用公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明.

教学过程

二、建立模型

1.探究

已知cos(a—p)=cosacosp+sinasinp,则sin(a+p),sin(a—p)中的角及函数名

与cos(a+p)和cos(a一时有何关系？

通过诱导公式可实现正、余弦函数的转换，即sin(a+1=

推导以上公式的方法并不是唯一的，其他推导方法由学生课后自己探索.

3.分析公式的结构特征

SgS邓中两边的加减运售符号相同，右边为占B角的异名三角函数的乘积.应特别

注意公式两边符号的差异.

三、解释应用

［例题一］

3itx

已知sina=—5,且a为第四象限角，求sin(4—a)cos(4+a)的值.

分析：本题主要训练公式S4与又+p的使用.

34

由sina=—3■及a为第四象限角，可求出cosa=H，再代入公式求值.

［练习一］

1.(1)已知sin(3O°+a)=±.6O°VaV15O°•求cosa的值.

5

194

2.在△ABC中»cosA=——tcosB=w,求cosC的值.

135

3.已知8)=1^.sin(a+0)=-3•求cos2/3的值.

L4133

4.已知sina=^»cosg=第匹(0♦殳)♦求a一夕的值.

分析：1.(1)强调公式的直接运用，寻找所求角与已知角之间的关系，a=(30°+a)-30°,再利用

已知条件求出cos(30°+a).

2.应注意三角形的内角之间的关系，C=TI—(A+B),再由诱导公式cos(7c—a)=—cosa,要求cos

C即转化为求一cos(A+B).

3.应注意分析角之间的关系，20=(a+p)—(a—p),因此，求cos20还应求出sin(a—P)和cos

(a+p).解此题时，先把a+B与a—0看成单角，然后把2(3用这两个单角来表示.

4.该题是在已有知识的基础上进一步深化，引导学生分三步进行：(1)求出a+0角的某个三角函数

值.(2)确定角的范围.(3)确定角的值.其中，求a+p的某个三角函数值时，应分清是求cos(a-p)

还是求sin(a—P).

已知向量OP=(3,4),若将其绕原点旋转45。到。一的位置，求点P(X、/)的坐标.

解：设NxOP=a,IOPI=5,

34

••cosot^n,since_3、).

叵

Vx,=5cos(a+45°)=5(cosacos45°—sinasin45°)=-2,

7巫

y，=5sin(a+45°)=5(sinacos45°+cosasin45°)=2,

a7巫

:.pf-T,"2".

已知向量OP=(4,3),若将其绕原点旋转60。，一135。到OP1，的位置，求点P1，P2的坐

标.

［例题三］

求下列函数的最大值和最小值.

1⑪

(1)y=2cosx—2sinx.

(2)y=3sinx+4cosx.

(3)y=asinx+bcosx,(ab0).

注：(1),(2)为一般性问题，是为(3)作铺垫，推导时，要关注解题过程，以便让学生充分理解

辅助角(P满足的条件.

(3)解：考查以(a,b)为坐标的点P(a,b),设以OP为终边的一个角为(p,则

a.b

cos<p=―.sma>=—.

于是工+浸尸。-)二

J$+庐(cospsinz+sinyrosx)=

J及sin(1+.

其中.sin(p=—,卜.cos(p=一,".

Va2+b2Yy/a2+h2

，函数y=asinx+AcosJT的最大值为\/a2♦最小值为一.

［练习三］

求下列函数的最大值和最小值.

(1)y=cosx—sinx.

(2)y=sinx—sin(x+4)

(3)已知两个电流瞬时值函数式分别是L=12sin(3t—45。)，L=10sin(cot+30°),求合成的正弦

波1=11+12的函数式.

四、拓展延伸

出示两道延伸性问题，引导学生独立思考，然后师生共同解决.

1.已知三个电流瞬时值的函数式分别为L=5sin(ot,12=6sin(cot—60°),I3MlOsin(rot+60°),求

它们合成后的电流瞬时值的函数式I=Il+l2+l3,并指出这个函数的振幅、初相和周期.

解i/=I1+上+八=13sinW+ZATTCOSmt=

27T-

sinutf4cosu'/=

yi8TJ

5/181sin(ivt+0.

其中.sincp=2*・ccsa>=-J』.可取cp=14°55'.