山西省吕梁市交口县多校2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

2023-2024学年第二学期八年级期末测试数学说明：共三大题，23小题，满分120分，作答时间120分钟．一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了最简二次根式的特征和应用，解答此题的关键是要明确最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．根据最简二次根式的条件，逐项判断即可．【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；B、，不是最简二次根式，不符合题意；C、，不是最简二次根式，不符合题意；D、是最简二次根式，符合题意．故选：D．2.下列点在直线y＝2x上的是（）A.（2，1） B.（1，2） C.（－1，－3） D.（1，－2）【答案】B【解析】【分析】将各选项的点代入判断即可．【详解】解：A、当x=2时，y=4≠1，点（2，1）不在直线y＝2x上；B、当x=1时，y=2，点（1，2）在直线y＝2x上；C、当x=﹣1时，y=﹣2≠﹣3，点（﹣1，﹣3）不在直线y＝2x上；D、当x=1时，y=2≠﹣2，点（1，﹣2）不在直线y＝2x上，故选：B．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．3.某书店对上季度该店中国古代四大名著的销售量统计如表，依统计数据，为更好地满足读者需求，该书店决定本季度购进中国古代四大名著时多购进一些《西游记》，你认为最影响该书店决策的统计量是（）书名《西游记》《水浒传》《三国演义》《红楼梦》销.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差【答案】B【解析】【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然想要了解哪个货种的销售量最大，那么应该关注那种货销的最多，故值得关注的是众数．【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数．故选：B．【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．4.如图，CD是的中线，E，F分别是AC，DC的中点，，则BD的长为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】先利用中位线性质求得AD，再由中线知BD=AD即可解答．【详解】解：∵点E、F分别是AC、DC的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴AD=2EF=2，∵CD是△ABC的中线，∴BD=AD=2故选：B．【点睛】本题考查了三角形的中线和中位线，熟练掌握中位线的性质是解答的关键．5.下列计算不正确是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次根式的运算．根据二次根式的运算法则，逐一进行计算判断即可．熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键．【详解】解：A、，选项正确，不符合题意；B、，选项正确，不符合题意；C、，选项错误，符合题意；D、，选项正确，不符合题意；故选：C．6.若一组数据中有个，个，个，则这组数据的平均数是（）A.20 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】考查了平均数的计算，解题关键是计算出这组数据的和及个数．先求得这组数据的和及个数，再根据平均数的定义求解．【详解】∵一组数据中有有个，个，个，∴这组数据的和，数据的个数，∴这组数据的平均数为：．故选：D．7.在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（）A.B.关于的不等式的解集是C.关于的方程的解是D.关于，的方程组的解为【答案】B【解析】【分析】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系，根据一次函数与方程、不等式的关系求解．掌握数形结合思想是解题的关键．【详解】解：A：由图象得，，，∴，∴，故A不符合题意；B：由图象得：时，∴关于的不等式的解集是，故B符合题意；C：由图象得：当时，，∴关于的方程的解是，故C是不符合题意；D：由图象得：关于，的方程组的解为，故D不符合题意；故选：B．8.《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是证明了勾股定理和对勾股算术算法进行了推广．书中的证明方法是将4个三边长分别为，，的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线，用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明：如图2，延长交_____①_____于点．用两种不同的方法表示五边形的面积：方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则_____②_____．方法二：将五边形看成是由_____③_____，正方形，，拼成，则．根据面积相等可以得到_____④_____，即．则下列说法错误的是（）A.①代表 B.②代表C.③代表正方形 D.④代表【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据题意用两种方法表示出S，然后根据两种表示方法表示的相等，即可得到结论．【详解】解：如图所示，延长交于G，方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则；方法二：将五边形看成是由正方形，正方形，，拼成，则，根据面积相等可以得到，即，故选：C．9.中经过两条对角线的交点，分别交、于点、，在对角线上通过作图得到点、，如图1，图2，图3，下面关于以点、、、为顶点的四边形的形状说法正确的是（）

以点为圆心，的长为半径作弧，交于点、分别作、中、边上的中线、分别作、中、的平分线、A.都为矩形 B.都为菱形C.图1为平行四边形，图2、图3为矩形 D.图1为矩形，图2、图3为平行四边形【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了矩形的判定和平行四边形的性质和判定，熟练掌握矩形和平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的性质易证，可得OE=OF，由图1作图可知，即可得证；在图2中证，即可得证；在图3中证明，可得，即可得证．【详解】解：：在平行四边形中，，∴，在和中，，∴，∴，由图1作图可得，∴图1以点，，，为顶点的四边形为矩形；由图2作图可得，，∵，∴，又∵，∴图2以点，，，为顶点的四边形为平行四边形；由图3作图可得，，∵，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴图3以点，，，为顶点的四边形为平行四边形；故选：D．10.如图，矩形纸片，，，点在边上．将沿折叠，点落在点处．、分别交于点、，且．则的长为（）A2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据折叠的性质及已知，可证得，所以有，，进而得，若设，则，，由此得，在直角△DAF中由勾股定理得方程并解之，即得AF的长．【详解】∵四边形ABCD是矩形∴，，根据折叠的性质，得：，，在与中∴∴，∴设，则∴∴在中，由勾股定理得：解得：即故选：B【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、图形折叠的性质，关键是归结到中，通过勾股定理建立方程解决．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11.计算的结果为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，根据平方差公式直接计算即可．【详解】解：，故答案为：2．12.一组数据由4个数组成，其中3个数分别为2，1，4，且这组数据的平均数为2，则这组数据的众数为___________．【答案】1【解析】【分析】先根据算术平均数的概念求出另外一个数，再由众数的定义求解即可．【详解】解：由题意知，另外一个数为2×4（2+1+4）=1，所以这组数据为1、1、2、4，所以这组数据的众数为1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查众数和算术平均数，解题的关键是掌握众数和算术平均数的定义．13.勾股定理在《九章算术》中的表述是“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦．”即（为“勾”，为“股”，为“弦”），若“勾”为3，“股”为5，则“弦”最接近的整数是__________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查勾股定理，无理数的估算．先根据勾股定理计算出“弦”长，再估算出其取值范围即可．【详解】解：∵“勾”为3，“股”为5，∴“弦”为又∵，∴∴“弦”最接近的整数是,故答案为：．14.如图，正方形的周长为，顺次连接正方形各边中点、、、，得到四边形的面积等于__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时利用三角形的中位线的性质求解是关键．连接，，根据三角形的中位线的性质，可以得出四边形为正方形，勾股定理求得，进而即可求解．【详解】解：连接，，∵点、、、是正方形各边的中点，∴是中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，∴，，，，又∵，∴，∴四边形是菱形，又∵，，，∴，∴四边形是正方形∵正方形的周长为，，∴，在中，由勾股定理，得，，∴∴四边形面积．故答案为：．15.在平面直角坐标系中，过点向直线作垂线，则垂线的最大长度为_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，合理作出辅助线是解题的关键．由，可得出直线过定点，连接,当直线与垂直时，垂线的长度最大，构造直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，即可求解．【详解】解：∵，∴直线过定点，连接，当直线与垂直时，垂线的长度最大，过点作轴的平行线，过点B作，如图：∵点的坐标为，点的坐标为，∴，，∴，∴垂线段的最大长度为；故答案为：．三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（1）计算：．（2）计算：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本题考查根式的性质，完全平方公式，合并同类二次根式的法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则是解决问题的关键．（1）先根据根式的性质化简，再利用合并同类二次根式的法则求解即可得到答案；（2）先根据二次根式的混合运算，完全平方公式及根式性质展开，再利用合并同类二次根式的法则求解即可得到答案．【详解】解：（1）；（2）．17.2024年5月19日，2024稷山马拉松赛燃情开跑，来自全国各地的4000余名选手在赛道上尽情奔跑，释放生命活力．一批大学生报名做赛事志愿者，他们经过层层测试．下面是甲、乙两人的测试成绩（10分制）．项目沟通能力综合素质形象礼仪赛事服务经验甲乙（1）如果依据四项成绩的平均分计算最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将入选．（2）如果将沟通能力、综合素质、形象礼仪、赛事服务经验按的比例确定最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将入选．【答案】（1）乙（2）甲【解析】【分析】本题考查了算术平均数和加权平均数，并利用算术平均数和加权平均数作决策，（1）利用算术平均数公式计算出两人的平均分，根据两人的平均分即可判断；（2）利用加权平均数公式计算出两人的平均分，根据两人的平均分即可判断；【小问1详解】解：甲的平均分为，乙的平均分为，∵，∴乙将入选；【小问2详解】解：甲的平均分为，乙的平均分为，∵，∴甲将入选．18.如图，在矩形中，点在边上，点在边上，点与点关于所在直线对称，，垂足为．（1）求证：．（2）若为的中点，求的值．【答案】（1）证明过程见解析（2）【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理的运用，熟练掌握相似三角形判定方法是解题的关键；（1）根据是矩形，，证明，即可证明；（2）运用勾股定理可得，即可求出的值．【小问1详解】证明：∵四边形是矩形，，；【小问2详解】点与点关于所在直线对称，为的中点在中，故19.北京时间2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．为培养学生的探索精神，投身航天科学事业，某学校七、八年级举行了航天知识问答活动，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析．数据整理如下：（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．）七年级20名学生的成绩：99，81，95，90，85，100，86，87，92，79，90，93，94，95，87，95，75，95，84，98．八年级20名学生的成绩在组中的数据：90，91，94，92，92．七、八年级抽取的学生成绩统计表年级平均数中位数众数七年级9091八年级9096根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中__________，__________，__________．（2）通过以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级成绩更好？请说明理由（写出一条即可）．（3）该校七、八年级共有1200人参加此次知识问答活动，请你估计参加此次问答活动成绩优秀（）的学生有多少人？【答案】（1）45，93，95（2）八年级成绩相对更好，理由见解析（3）1300人【解析】【分析】本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．（1）用1分别减去其它三组所占百分比即可得出的值，根据中位数和众数的定义即可得出、的值；（2）可从众数、中位数角度分析求解；（3）利用样本估计总体即可．【小问1详解】解：由题意可知，，故；八年级20名学生的成绩从小到大排列，、有（人），∴排在中间的两个数分别为92、94，故中位数为分，七年级抽取的学生竞赛成绩出现最多的是95分，故众数分；故答案为：45，93，95；【小问2详解】八年级成绩相对更好，理由如下：八年级测试成绩的中位数和众数都大于七年级；【小问3详解】八年级成绩优秀（）的学生有（人），（人），答：估计参加此次问答活动成绩优秀（）的学生有1300人．20.2024年4月24日是第九个“中国航天日”，八年级某班组织40名同学到航天展览馆参观，已知展览馆分为，，三个场馆，场馆门票的价格是每张50元，场馆门票的价格是每张40元．由于场地原因，要求每位同学只能选择一个场馆参观，参观当天刚好有优惠活动：每购买1张场馆门票就赠送1张场馆门票，且购买场馆的门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用．设到场馆参观的人数为人，此次购买门票所需总金额为元．（1）求关于的函数解析式．（2）若到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，求此次购买门票所需总金额的最小值．【答案】（1）（2）此次购买门票所需总金额的最小值为1210元【解析】【分析】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，关键是求出函数解析式．（1）购买场馆门票张，则购买场馆门票张，根据此次购买门票所需总金额等于购买，两个场馆门票之和，列出函数解析式；（2）根据“到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数”求出的取值范围，再用函数的性质求最值．【小问1详解】解：设购买场馆门票张，则购买场馆门票张，依题意得：，∴关于的函数解析式为；【小问2详解】依题意得：，解得：，且为整数，在中，∵，∴随的增大而减小，∴当时，取得最小值，最小值．答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元．21.【特例感知】如图1，在矩形中．（1）若，，则__________．（2）若，，则__________（用含、的式子表示）．【拓展延伸】如图2，在中，若，，则（2）中的结论是否仍然成立？并说明理由．

【答案】特例感知：（1）200；（2）；拓展延伸：结论依然成立，理由见解析【解析】【分析】此题考查了勾股定理、平行四边形的性质、矩形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和数形结合是解题的关键．特例感知：（1）在中由勾股定理得：，在中由勾股定理得：，由此可得的值；（2）在中由勾股定理得，在中由勾股定理得，由此可得的值；拓展延伸：作于点E，作交的延长线于点F，则，证明，，利用勾股定理进行计算即可得到答案．【详解】解：特例感知：（1）∵四边形为矩形，，，∴，，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，∴，故答案为：200．（2）∵四边形为矩形，，，∴，，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，∴，故答案为：；拓展延伸：结论依然成立，理由如下：作于点E，作交的延长线于点F，则，∵四边形为平行四边形，若，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．22.如图，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，设运动时间为秒，的面积为．（1）求出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围．（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象．（3）当时，直接写出的取值范围．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值，从函数图象获取信息等等，正确列出对应的函数关系式是解题的关键．（