高考数学知识方法大全-(理科)

一、集合与简易逻辑、不等式

1.集合的有关概念

（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.

（2）集合与元素的关系：若a属于集合A,记作aeA：若b不属于集合A,记

作Z?eA.

（3）集合的表示方式：列举法、描述法、图示法.

2.常用数集及记法

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

记法NN*或N+ZQR

3.集合间的』底本关系

表示文字语言记法

关系'「一

集合间的了集集合A中任意一个元素都是

ARB或33A

基本关系集合8中的元素

集合是集合的子集，并且

真子集A3AUB或6丫A

B中至少有一个元素不属于

A

相等集合A中每一个元素都是集

4工5且5口4<=>4=8

合8中的元素，集合8中每一

个元素也都是集合A中的元

素，

空集空集是任何集合的子集

空集是任何非空集合的真子集

0U5且8丰0

集合子集个数的判定

含有〃个元素的集合，其子集的个数为2"；真子集的个数为2"-1（除集合

本身）；非空真子集的个数为2"-2（除空集和集合本身，此时〃21）.

（1）注意空集的特殊性：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

（2）任何集合的本身是该集合的子集，在列举时千万不要忘记.

4.集合的三种基本运算

符号表示图形表示符号语言

集合的并集AuB8

集合的交集AnB

Ac6={xIX£A,且X£母

集合的补集若全集为

u,dA={%1x£U,MxeA}

则集合A的补

集为11

5.集合的三种基本运算的常见性质

⑴AcA=A,Ac0=0,AuA=A,Au0=A.

⑵Ac赧=0,Au〃A=U，膜uA)=A.

(3)AqBoAcB=Ao=QoAc(”)=0

6.命题的概念

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为

真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.

7.四种命题及相互关系

8.四种命题的真假关系

⑴两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

⑵两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.

判断命题真假的思路方法

⑴判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别

是什么，把它写成“若P，则4”的形式，然后联系其他相关的知识，经过逻辑

推理或列举反例来判定.

⑵一个命题要么真，要么假，二者必居其一.当一个命题改写成“若〃，则

4”的形式之后，判断这个命题真假的方法：

①若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p,则q”是真命题;

②判定“若〃，则4”是假命题，只需举一反例即可.

写一个命题的其他三种命题时的注意事项

⑴对于不是“若p,则q”形式的命题，需先改写为“若p,则〃形式.

(2)若命题有大前提，需保留大前提.

判断四种命题真假的方法

⑴利用简单命题判断真假的方法逐一判断.

⑵利用四种命题间的等价关系：当一个命题不易直接判断真假时，可转化为

判断其等价命题的真假.

9.充分条件与必要条件的概念

若pnq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

〃是q的充分不必要条件pnq且44p

p是q的必要不充分条件且“4q

poq

〃是4的充要条件

p是9的既不充分也不必要条件P靠q且qp

10.充分条件与必要条件和集合的关系

p成立的对象构成的集合为A,q成立的对象构成的集合为3

A^B

〃是q的充分条件

B^A

〃是9的必要条件

〃是q的充分不必要条件AUS

p是q的必要不充分条件BVA

A=B

〃是4的充要条件

充分、必要条件的三种判断方法

⑴定义法：根据进行判断.

(2)集合法：根据p应成立对应的集合之间的包含关系进行判断.

⑶等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化

为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“孙

是“户1或k1”的何种条件，即可转化为判断"x=l且y=l"是"个=1"的何种条

件.

11.命题夕人/pvq、r?的真假判定

Pqp^qprq-P

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假!'C

简记为“pAq两真才真，一假则假；pvq一真则真，两假才假；力与p真假相

反”.

判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤

(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含

义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断.

⑵判断命题真假的步骤

确定复合命题判断其中简单判断复合命题

=i>

的构成形式命题的真假的真假

根据复合命题真假求参数的步骤

⑴根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）；

（2）求出每个命题是真命题时参数的取值范围；

⑶根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况，从而求出参数的

取值范围

12.全称量词和存在量词

量词名称常见量词符号表示

全称量词所有、一切、任意、全部、V

每一个、任给等

存在量词存在一个、至少有一个、3

有一个、某个、有些、某

些等

13.全称命题和特称命题

名称全称命题特称命题

形式

结构对M中的任意一个x,

存在M中的一个公,使

有p（x）成立

p（『）成立

简记

VxeM,/?(x)

否定

玉0w〃，r?(xo)VXGM,-IP(X)

对全（特）称命题进行否定的方法

全（特）称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题

时：

⑴改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；

（2）否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.

［提醒］对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词

的完整形式，再写出命题的否定.

全（特）称命题真假的判断方法

⑴全称命题真假的判断方法

①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x,

证明p（x）成立.

②要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合"中的一个特殊值X=

使〃（X。）不成立即可.

⑵特称命题真假的判断方法

要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x=x0,

使〃(尤°)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.

14.比较两个实数大小的方法

\i-h>□<=>«>b(a,bGR)

(1)作差法<a-b=0<=>a=b(a,be/?)

<a-b<0<^>a<b(a,beR)

">1=a>b(ae/?,/?>0)

b

(2)作商法—=1<=>tz=b(aGR.b>0)

b

—<1<=>tz<b(awR,b>0)

b

15.不等式的基本性质

性质性质内容特别提醒

对称性a>b<^>b<aQ

传递性=>

a>b,b>c^>a>c

可加性a>h<^>a-^-c>h+c=

注意的符号

可乘性a>bc

>nac>be

c>0

a>b

>=>ac<he

c<0

同向可加性a>b'=

>na+c>b+d

c>dj

今

同向同正可乘性a>b>0

>^>ac>hd>0

c>d>0

可乘方性

a>b>0na">b'\ne7V,n>1)a力同为正数

可开方性

a>h>0=>\[a>y[h(nGN,n>2)

16.不等式的一些常用性质

⑴倒数的性质

®a>b,ab>U=L<一.

ah

®a<O<b=>-<-.

ah

®a>b>0,0<c<d=>—>—

cd

④0<a<x<〃或。<x<Z?<0=>—<—.

bxa

(2)有关分数的性质

若Q>Z?>0,7?Z>0,贝！J：

g。b+mbb-m..八、

aa+maa-m

a。a+maa-m八、

②一>-----;—<-----(nb-m>0)

bb+mbb-m

⑶比较两个数(式)大小的两种方法

17.三个“二次”之间的关系

A>0A=0A<0

判别式△=〃-4ac

二次函数

y=ax2+bx+c(a>0)

的图象u电义

一元二次方程有两个相异实根有两个相等实根没有实数根

2b

y=ax+bx+c(a>0)司,%2(玉<X2)玉=工2=一五

的根

一元二次不等式,.b.R

{x\x<xl^tx>x2}3"-五}

ax2+Zzx+c>0(a>0)

的解集

一元二次不等式00

{x\x1<x<x2}

ax2+bx+c<0(a>0)

的解集

18.不等式法+。>0(<。)恒成立的条件

a=b-0a>0,

⑴不等式依2+法+c>0对任意实数x恒成立Q或，

c>0A<0.

。=或

2aj=0a<0,

(2)不等式ax+bx+c<0对任意实数x恒成立0屋0A<0.

解一元二次不等式的方法和步骤

⑴化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.

(2)判：计算对应方程的判别式.

⑶求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根.

⑷写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.

解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据

⑴二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转

化为一次不等式或二次项系数为正的形式.

(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式A与0的关系.

⑶确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小

关系，从而确定解集形式.

⑷解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，

就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与参数交换位置，构造以参

数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.

19.二元一次不等式(组)表示的平面区域

不等式表示区域

直线Ax+为+C=0某不包括边界直线

Ax+By+C>0

一侧的所有点组成的平包括边界直线

Ax+By+C>0

面区域

不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分

20.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法步骤

在平面直角坐标系中画出不等式所对应方程表示

画线一的直线(注意不等式中有无等号，无等号时直线画

成虚线，有等号时直线画成实线)

蒋窠不应侦卷直丽应而蒋深菽而一至藤布工示毒

式，根据“同侧同号，异侧异号”的规律确定不等式

定侧一

所表示的平面区域在直线的哪一侧.若直线不过

原点，特殊点常选取原点

著早商反酸是由示等品通澳蔻面湎茬瑜走亍否不

|求“交”一r

I不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分

解决求平面区域面积问题的方法步骤

⑴画出不等式组表示的平面区域；

(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三

角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规

则图形则利用割补法求解.

21.线性规划中的基本概念

名称意义

约束条件

由变量组成的不等式(组)

线性约束条件

由尤,y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)

目标函数

关于的函数解析式，如z=2x+3y等

线性目标函数

关于x,y的一次函数解析式

可行解

满足线性约束条件的解(x,y)

可行域所有可行解组成的集合

最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

22.简单线性规划问题的图解法

在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括

为“画、移、求、答”.即

[一二茬窜而近扁圣麻案中荷出苛行反而近端工工正三

I-，0(月标函数为：=ar+/,;y);

J■奔花直线ux+by—==ar+勾取箱益无

牛一：值或最小值的点

泳出画;=1,后取木汨天而立应不而而看而西碌

南一一羽丽系葡函一篇而定编诉蔡...............]

求解线隹目标函薮最殖的常•用疗法

线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般

的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，

然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域

不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.

非线性目标函数最值问题的常见类型及求法

(1)距离平方型：目标函数为z=(x-a)2+(y-b)2时，可转化为可行域内的点

(x,y)与点(a,b)之间的距离的平方求解.

(2)斜率型：对形如z="*(acwO)型的目标函数，可利用斜率的几何意义

cx+d

来求最值，即先变形为z=3.----%的形式，将问题化为求可行域内的点(x,y)

c

c

与点(-4,-2)连线的斜率的色倍的取值范围、最值等.

cac

(3)点到直线距离型：对形如z=|Ax+B)，+c|型的目标函数，可先变形为

z=VA2+B2.空+&+a的形式，将问题化为求可行域内的点(x,y)到直线

VA2+B2

Ar+5)，+C=0的距离的y/A2+B2倍的最值.

求解线性规划中含参问题的两种基本方法

⑴把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标

函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围；

(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件,

确定最优解的位置，从而求出参数.

求解线性规划应用题的三个注意点

⑴明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断3束条件是否能够取到等

号.

(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数的取值范围，特别注

意分析是否为整数、是否为非负数等.

⑶正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式.

23.基本不等式V^<—

2

⑴基本不等式成立的条件：a>0,h>0

(2)等号成立的条件：当且仅当。时取等号.

24.几个重要的不等式

(l)a2+b2>lab,a,be7?;

(2)-+->2,a/j>0;

ab

当且仅当a=8时等号成立.

(3)ab<e/?;

,ci~+b~a+b2in

(4)―-->a,beR

22

25.算术平均数与几何平均数

设。>0,。>0,则a,匕的算术平均数为小心，几何平均数为疯，基本不等

2

式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

26.利用基本不等式求最值问题

已知x>0,y>0,则:

⑴如果积外是定值p,那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是24.(简记：积

定和最小)

(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时，肛有最大值是《.(简记：和

定积最大)

通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法

求解最值应注意以下几个方面的问题：

⑴拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,

做到等价变形；

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.

常数代换法求最值的方法步骤

常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为:

⑴根据已知条件或其变形确定定值(常数)；

(2)把确定的定值(常数)变形为1；

⑶把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形

式；

(4)利用基本不等式求解最值.

通过消元法利用基本不等式求最值的方法

消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函

数的最值求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解.

利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点

⑴设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的

最值.

(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值

范围)内求解.

二、函数与导数

1.函数与映射的概念

函数映射

两集合设是两个非空的数集设是两个非空的集合

对应关系如果按照某种确定的对应关如果按某一个确定的对应

f：A^B系/，使对于集合A中的任意关系/，使对于集合A中

一个元素X,在集合B中都有的任意一个数x,在集合B

唯一确定的数/(X)和它对应中都有唯一确定的元素》

与之对应

名称

称为从集合A到称对应/:A->6为从集

集合B的一个函数合A到集合B的一个映射

记法

y=/(x),xeA对应f:A—B

2.函数的有关概念

⑴函数的定义域、值域：在函数y=/(x),xeA中，x叫做自变量，x的取值范围

A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合

{/(x)|xwg叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.

⑶相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，

这是判断两函数相等的依据.

3.常见基本初等函数定义域的基本要求

⑴分式函数中分母不等于零.

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

⑶一次函数、二次函数的定义域均为R.

(4)〉=%的定义域是{x|xr0}.

⑸y="(a>0且a/1),y=sinx,y=cosx的定义域均为R.

(6)^=108〃％3>0且4/1)的定义域为(0,+°°).

⑺y=tanx的定义域为1x|x声版•+g%ez}.

函数的定义域问题注意

⑴不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化.

(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一

般是各个基本初等函数定义域的交集.

⑶定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，

而应该用并集符号“U”连接.

4.对于抽象函数定义域的求解

⑴若已知函数/(x)的定义域为［a,目，则复合函数/(g(x))的定义域由不等式

g(%)〈〃求出；

⑵若已知函数/（g（x））的定义域为［a,句，则/（X）的定义域为g（x）在同上

的值域.

函数/（g（x））的定义域指的是X的取值范围，而不是g（x）的取值范围•

5.求函数解析式的四种方法

:由已知条件/（g&））="%）,可将改

法一

*写成关于g（X）的表达式，然后以H普代gG）,

配为法:便得/（N）的解析式

:谕3首加;诵盲嬴而启女:不

：，=gG）.从中求出户＞（，），然后代入表达式

换元法「求出/（，），再将，换成工，得到〃幻的解析式，

j要注意新元的取值范围

fits而番行花谑策应而补诉关;而前ii而海天

法三:的性质，或将已知条件代入，建立方程（蛆）,

|待定系政法i

;通过解方程（组）求出相应的特定系数

___________________________________

后而买求7乙5营元工丁玩7?二3而裹欣羡：

法四

；可根据已知条件再构造出另外一个等式41成

I解方程组法［

:方程组，通过解方程求出/（X）

6.分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系,

这样的函数通常叫做分段函数.

分段函数求值的解题思路

求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入

该段的解析式求值，当出现了（/（幻）的形式时，应从内到外依次求值.

求分段函数自变量的值或范围的方法

求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间

的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的

值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围.

7.单调函数的定义

增函数减函数

定义

一般地，设函数/（X）的定义域为/,如果对于定义域/内某个区

间。上的任意两个自变量公々

当弓＜工2时，都有/（X|）＜/（X2），当药＜々时，都有

那么就说函数/（x）在区间D上是/（x,）＞/（x2）,那么就说函

增函数

数/（X）在区间D上是减函

数

图象描述内(*)

4)

优/孙X()]＜1勺X

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

8.单调区间的定义

若函数y=/(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y=/(x)在这一

区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y=/(x)的单调区间.

9.复合函数单调性的规则

若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函

数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数.即“同增异减”.

10.函数单调性的性质

⑴若/(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则/(x)+g(x)也是区间A上的

增(减)函数，更进一步，即增+增=增，增一减=增，减+减=减，减一增=减；

(2)若无＞0,则4。)与/(幻单调性相同；若左＜0,则/(X)与/㈤单调性相

反；

(3)在公共定义域内，函数y=/(x)(/(x)#0)与y=—/(x),y=』—单调性

fM

相反；

(4)在公共定义域内，函数y=/(x)(/(x)N0)与y=单调性相同；

⑸奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对

称的区间上单调性相反.

函数的单调性注意

⑴单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则.

(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间

应分开写，不能用并集符号“U”连接，也不能用“或”连接.

(3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某

个区间内的两个特殊变量看,%对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调

性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变量.

用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略

(1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“/”符

号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.

(2)有时，在不等式一边没有符号时，需转化为含符号的形式.如

若已知f(a)=0,f(x-b)<0,则f(a).

11.函数白勺最值

前提

设函数/(X)的定义域为/,如果存在实数"满足

条件

对于任意xel,都有存在小€/,使得

对于任意xe/,都有；

存在/e/,使得/Oo)=A/

结论M为最大值M为最小值

12.函数最值存在的两条结论

⑴闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调

时最值一定在端点处取到.

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值.

13.利用函数的单调性求解函数最值的步骤

(1)判断或证明函数的单调性；

(2)计算端点处的函数值；

(3)确定最大值和最小值.

14.分段函数的最值

由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的

常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中

的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最

小值.

15.求函数最值［的五种常用方法

方法步骤

单调性法先确定函数的单调性，再由单调性求最值

图象法先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值

基本不等式先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基

法本不等式求出最值

导数法先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求

出最值

换元法对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的

方法求最值

16.函数的奇偶性

奇函数偶函数

定义

一般地，如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X

者6有.〃一x)=—/(月，那者B有/(―x)=/(x)，那么

么

函数/(X)就叫做奇函数函数/(X)就叫做偶函数

图象特征关于原点对称

关于y轴对称

17.函数奇偶性常用结论

⑴如果函数/(幻是偶函数,那么/(%)=/(|x|).

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区

间上具有相反的单调性.

⑶在公共定义域内有：奇土奇=奇，偶土偶=偶，奇乂奇=偶，偶乂偶=偶，

奇x偶=奇

判断函数奇偶性的两种方法

⑴定义法：

虚)

(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称.

18.周期函数

对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何

值时，都有/(x+T)=/(x),那么就称函数y=/(x)为周期函数，称T为这个函

数的周期.

19.最小正周期

如果在周期函数/(幻的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正

数就叫做/(幻的最小正周期.

20.利用函数的周期性求值或范围

周期函数y=/(x)满足：

⑴若/(x+a)=/(x—a),则函数的周期为2a；

⑵若/(x+a)=-/(x),则函数的周期为2a；

(3)若/(》+。)=一上，则函数的周期为2a；

/(x)

⑷若，(x+a)=/—,则函数的周期为2a；

f(x)

⑸若函数/(x)关于直线x=a与x=bx=a与x=b对称，那么函数/(x)的

周期为2屹-。|；

⑹若函数/(幻关于点30)对称，又关于点S,o)对称，则函数/(幻的周期

是2屹-。|；

⑺若函数/(幻关于直线x=a对称，又关于点(仇0)对称，则函数/(力的周

期是4\b-a\；

⑻若函数/(x)是偶函数，其图象关于直线x=”对称，则其周期为2a；

(9)若函数/(x)是奇函数，其图象关于直线x=a对称，则其周期为4a.

21.幕函数的定义

形如y=x"(aeR)的函数称为基函数，其中x是自变量，a为常数.对于累

函数，只讨论a=l,2,3」,T时的情形.

2

22.五种幕函数的图象

23.五种塞函数的性质

函数性y=x

y=x2y=x3y=x-1

质y=x^

定义域RRR[0,+8)(―8,0)U(0,+°0)

值域R[0,+8)R[0,+8)(―8,o)u(0,+°°)

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

单调性增x£[0,+8)时，增增xE(0,+8)时,减；

增；X《(—8,0)时，减

xe(-oo,o]时，减

募函数图象的规律

⑴幕函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是

否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；

(2)基函数的图象最多能同时出现在两个象限内；

(3)如果幕函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点；

(4)当a为奇数时，基函数的图象关于原点对称；当a为偶数时，累函数的图

象关于y轴对称.

24.基函数的性质

⑴累函数在(0,+8)上都有定义；

(2)幕函数的图象过定点(1,1)；

(3)当a>0时，基函数的图象都过点(1,1)和。0)，且在9,+8)上单调递增；

(4)当a<0时，幕函数的图象都过点(1,1)，且在(0，+8)上单调递减；

(5)当a为奇数时，嘉函数为奇函数；当a为偶数时，事函数为偶函数.

幕值大小比较的常见类型及解题策略

(1)同底不同指，可以利用指数函数单调性进行比较.

(2)同指不同底，可以利用幕函数单调性进行比较.

(3)既不同底又不同指，常常找到一个中间值，通过比较两个基值与中间值的

大小来判断两个嘉值的大小.

25.二次函数解析式的三种形式

b

(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a^0),图象的对称轴是x=------，顶点坐标

2a

是

(2)顶点式：f(%)=a(x-m)2+n(a0),图象的对称轴是％=〃?，顶点坐标是

(m,n)；

⑶零点式：f(x)=a(x-xt)(x-x2)(a^0),其中是方程+公+c=0

的两根’图象的对称轴是户詈・

26.二次函数的图象和性质

6Z>0«<0

f(x)=ax2+bx-\-c

图象O.

TV

定义域R

值域22

Aac-b、z4ac-b,

[—-——，+8)Y，/J

4。4。

奇偶性

0=0时为偶函数，8NO时既不是奇函数也不是偶函数

单调性

A

在(-00,-2］上单调递增，

在上单调递减，

2a

b

在［2,+00)上单调递增在［2,+8)上单调递减

2a2a

最值

22

、,，bR4ac-h、i，〃14ac-h

当％=c时，?min=/3%=----------时，'max=-------------------

2a4。2amax4〃

求二次函数解析式的方法

根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下:

忆知I

27.二次函数的图象

确定二次函数的图象，主要有以下三个要点：

一看U-三版质素应而存宝与“仁三面苗薪晶涵:

符号—!开口方向：

原二二二二二二二二二二二二二、

二看而需麻脑欣而，它就定亍二秘函薮卤象曲:

对称轴一;具体位置

I_、________________________________./

仁三广：看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与：

《康L—y轴的交点、与，轴的交点，函数帕象的被高：

I材冰叼：<.点..或..最.低..点..等.........................•

从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象.反之，也可以从图象中

得到如上信息.

28.二次函数的最值

二次函数的最值问题主要有三种类型：“轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴

定区间动”.解决的关键是弄清楚对称轴与区间的关系，要结合函数图象，依据

对称轴与区间的关系进行分类讨论.设/(x)=o?+法+c(a>()),则二次函数

f(x)在闭区间1加,〃］上的最大值、最小值有如下的分布情况:

对称轴与bb

bm<-----<几,-----<m<n,

区间的关m<n<-----,2a2a

2a

系

即----e(m.n)HP--e(—oo,m)

即--e(H,+oo)2a2a

2a

图象

lx(])\munxL

最值

/(X)max=f(m)，/(X)max=max"(加),/(〃)}/(©max=/(〃)，

/(X)min=/(«)h/(©min=/(附

/Wmin=/(--)

2a

29.根式

⑴根式的概念

若x"=a,则x叫做a的〃次方根，其中〃>1且“GN*.式子标叫做根式,

这里〃叫做根指数，。叫做被开方数.

(2)a的〃次方根的表示

x=折'(当〃为奇数且〃>1时)

x"=a=〈_

x=土麻(当〃为偶数且〃>1时)

30.有理数指数募

幕的有关概念

正分数指数幕：an=\[cT(4i>O,m,A2G>1)

负分数指数基：a〃=

an

0的正分数指数累等于0,。的负分数指数累无意义

有理数指数幕aras=ar+s(a>0,r,seQ)

的性质

(arY=ars(a>0,r,SEQ)

(ab)r=a'br(a>0,h>0,r&Q)

31.指数幕的运算规律

⑴有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算.

⑵先乘除后加减，负指数幕化成正指数曙的倒数.

⑶底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，

先化成假分数.

(4)若是根式，应化为分数指数累，尽可能用事的形式表示，运用指数累的运

算性质来解答.

32.指数函数的图象

函数

y=ax(a>0,且awl)

O<£Z<1a>\

33.指数函数图象画法的三个关键点

画指数函数丁=火彼0且醉的图象，应抓住三个关键点：

（la）,（0-,^-）

34.指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数⑴y=ax,（2）y=bx,（3）y=cx,（4）y=d"的图象,底数

a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d〉l〉a>。

由此我们可得到以下规律：在y轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大.

35.指数函数的性质

函数

y-a\a>Q,且awl)

0<a<la>\

一

性定义域R

质值域(0,+°°

单调性在R上是减函数在R上是增函数

函数值变当％=0时，，y=l

化规律

当x<0时，y>1;当％<0时,0<y<1;

当x>