七年级上册数学后两章导学案

第课时3.1.1从算式到方程

导学目标：能根据题意用字母表示未知数，然后分析出等量关系，再根据等量关系列出方程。

重点难点：体会找等量关系，会用方程表示简单实际问题。

导学指导

一、改变旧世界

1：根据条件列出式子

①比a大5的数：；

②b的一半与8的差：;

③的3倍减去5：;

④a的3倍与b的2倍的商：;

⑤汽车每小时行驶v千米，行驶t小时后的路程为千米；

⑥某建筑队一天完成一件工程的，天完成这件工程的；

⑦某商品原价为a元，打七五折后售价为元；

⑧某商品每件x元，买a件共要花元；

⑨某商品原价为a元，降价20%后售价为元；

⑩某商品原价为a元，升价20%后售价为元；

二、知识新天地

1.根据条件列出等式：

①比a大5的数等于8：;

②b的一半与7的差为：;

③的2倍比10大3：;

④比a的3倍小2的数等于a与b的和：;

⑤某数的30%比它的2倍少34：;

2.例1根据下面实际问题中的数量关系，设未知数列出方程：

(1)用一根长为24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长为多少？

解：设正方形的边长为cm,列方程得：o

(2)一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算

机的使用时间达到规定的检修时间2450小时？

解：设X月后这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时；

列方程得：o

(3)某校女生人数占全体学生数的52%,比男生多8。人，这个学校有多少学生？

解：设这个学校学生数为，则女生数为,

男生数为,依题意得方程：

O

学海苦无边

1.课本82页练习

2.练习本每本0.8元，小明拿了10元钱买了若干本，还找回4.4元。问：小明买了几

本练习本？

3.长方形的周长为24cm,长比宽多2cm,求长和宽分别是多少。

金秋烂漫时：

上面的分析过程可以表示如下：

分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的

一种方法。

万里长征路：

1.根据下面实际问题中的数量关系，设未知数列出方程：

(1)某校女生人数占全体学生数的55%,比男生多50人，这个学校有多少学生？

(2)A、B两地相距200千米，一辆小车从A地开往B地，3小时后离B地还有20千

米，求小卡车的平均速度。

总结反思：

第课时3.1.1一元一次方程

导学目标

1、理解什么是一元一次方程。

2、理解什么是方程的解及解方程，学会检验一个数值是不是方程的解的方

法。

重点难点能验证一个数是否是一个方程的解。

导学指导

一、改变旧世界

1:前面学过有关方程的一些知识，同学们能说出什么是方程吗？

答J叫做方程。

2：判断下列是不是方程，是打，不是打“X”：

①；（）②3+4=7;（）

③；（）④；（）

⑤；（）⑥；（）

二、知识新天地

1.一元一次方程的概念

观察下面方程的特点

（1）4=24；（2）1700+150=2450

（3）0.52x-（l-0.52x）=80

小结：象上面方程，它们都含有个未知数（元），未知数的次数都是,这样的

方程叫做一元一次方程。

（即方程的一边或两边含有未知数）

2.方程的解

如何求出使方程左右两边相等的未知数的值？

如方程=4中，=?

方程中的呢？

请用小学所学过的逆运算尝试解决上面的问题。

解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。

例检验2和-3是否为方程的解。

解：当x=2时，

左边==,

右边==,

左边右边（填=或#）

••.x=2—方程的解（填是或不是）

当x=时，

左边==,

右边==,

左边右边（填=或看）

，x=3—方程的解（填是或不是）

学海苦无边

1.判断下列是不是一元一次方程，是打“，”，不是打“X”

①=4;（）②；（）

③()④；()

⑤()⑥3+4=7;()

2.检验3和是否为方程的解。

3.x=l是下列方程（）的解：

（A）,（B）

(C)),(D)

4、已知方程是关于x的一元一次方程，则2=

金秋烂漫时：

1.这节课我们导学了什么内容?

2.什么是方程的解？如何检验一个数是否是方程的解?

万里长征路:

1.检验2和是否为方程的解。

2.老师要求把一篇有2000字的文章输入电脑，小明输入了700字，剩下的让小华输入,

小华平均每分钟能输入50个字，问：小华要多少分钟才能完成？（请设未知数列出方程，

并尝试求出方程的解）

总结反思：

第课时3.1.2等式的性质

导学目标：掌握等式的两条性质，并能运用这两条性质解方程；

重点难点：运用等式两条性质解方程；

导学指导

一、改变旧世界

1.什么是等式？

用等号来表示相等关系的式子叫等式.

例如：m+n=n+m,x+2x=3x,3x3+l=5x2,3x+l=5y这样的式子，都是等式；

2.方程是__________的等式，为了讨论解方程，我们先来研究等式有什么性质？

二、知识新天地

1.探索等式性质.

（1）观察课本82页图3.1-2,由它你能发现什么规律？

从左往右看，发现如果在平衡的天平的两边都加上同样的量，天平还;

从右往左看，是在平衡的天平的两边都减去同样的量，结果天平还是；

等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同样的性质.

等的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果;

怎样用式子的形式表示这个性质？

注：运用性质1时，应注意等号两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式才能保

持所得结果仍是等式，否则就会破坏相等关系；

（2）观察课本图3.1-3,由它你能发现什么规律？

可以发现，如果把平衡的天平两边的量都乘以（或除以）同一个量，天平还；

等式性质2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不等于。的数，结果仍；

怎样用式子的形式表示这个性质？

注：运用性质2时，应注意等式两边都乘以（或除以）同一个数，才能保持所得结果仍

是等式，但不能除以0,因为0不能作除数。

2.等式的性质的应用

例2利用等式的性质解F列方程：

(1)x+7=26;(2)-5x=20;(3)-x-5=4.

解：(1)根据等式性质—，两边同，得:

(2)分析：-5x=20中-5x表示-5乘x,其中-5是这个式子-5x的系数，式子x的系

数为1,-x的系数为-1,如何把方程-5x=20转化为x=a形式呢？即把-5x的系数变为1,

应把方程两边同除以.

解：根据等式性质—，两边都除以一，得

于是x=

(3)分析：方程-x-5=4的左边的-5要去掉，同时还要把-x的系数化为1,如何

去掉-5呢？根据两个互为相反数的和为,所以应把方程两边都加上一。

解：根据等式性质,两边都加上____,得

-x-5+5=4+5

化简，得-x=9

再根据等式性质一，两边同除以-(即乘以-3),得

-x-(-3)=9X(-3)

于是x=

请同学们自己代入原方程检验；

学海苦无边：

1.课本第84页练习；

金秋烂漫时：

1.根据等式的两条性质，对等式进行变形必须等式两边同时进行，即：同时加或减，同

时乘或除，不能漏掉一边；

2.等式变形时，两边加、减、乘、除的数或式必须相同.

3.利用性质2进行等式变形时，须注意除以的同一个数不能是0;

万里长征路

1.回答下列问题：

(1)从a+b=b+c,能否得到2=。，为什么？

(2)从a-b=c-b,能否得至!Ja=c,为什么？

(3)从ab=bc能否得到2=。，为什么？

(4)从,能否得至!ja=c,为什么？

(5)从xy=l,能否得到*=,为什么？

2.利用等式的性质解下列方程并检验

(1)-3x=15;(2)x-l=5;

总结反思：

第课时3.2解一元一次方程(1)

——合并同类项与移项

导学目标：会列一元一次方程解决实际问题，并会合并同类项解一元一次方程；

导学重点：会合并同类项解一元一次方程；

导学难点：会列一元一次方程解决实际问题；

导学指导

一、改变旧世界：

1.等式性质1：

2:

2.解方程：(1)x-9=8;(2)3x+l=4；

二、知识新天地：

1.问题1：某校三年级共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购

买数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？

分析：设前年这个学校购买了x台计算机，已知去年购买数量是前年的2倍，那么去

年购买一台，又知今年购买数量是去年的2倍，则今年购买了(即一)台；

题目中的相等关系为：三年共购买计算机140台，即

前年购买量+去年购买量+今年购买量=140

列方程：_____________

如何解这个方程呢？

根据分配律，x+2x+4x=()x=7x;

这样就可以把含x的项合并为一项，合并时要注意x的系数是1,不是0;

下面的框图表示了解这个方程的具体过程：

x+2x+4x=140

I合并同类项

7x=140

I系数化为1

x=20

由上可知，前年这个学校购买了20台计算机.

上面解方程中“合并”起了化简作用，把含有未知数的项合并为一项，从而达到把方程

转化为ax=b的形式，其中a、b是常数.

2.自己试着完成

例1解方程

学海苦无边

1.课本第89页练习；

2.某班学生共60人，外出参加种树活动，根据任务的不同，要分成三个小组且使甲、乙、

丙三个小组人数之比是2:3:5,求各小组人数.

思路：这里甲、乙、丙三个小组人数之比是2：3:5,就是说把总数60人分成一份,

甲组人数占一份，乙组人数占一份，丙组人数占一份，如果知道每一份是多少，那么甲、

乙、丙各组人数都可以求得，所以本题应设每一份为x人.

关键：本题中相等关系是什么？.

解：设每一份为x人，则甲组人数为一人，乙组人数为一人，丙组为一人，列方程:

合并，得

系数化为1,得x=_

所以2x=____,3x=,5x=

答：甲组人，乙组一人，丙组人.

请同学们检验一下，答案是否合理，即这三组人数的比是否是2：3：5,且这三组人

数之和是否等于60;

金秋烂漫时：

列一元一次方程解决实际问题的一般步骤中，找等量关系是关键也是难点，本节课的

两个问题的相等关系都是：“各部分量的和=总量”；这是一个基本的相等关系；

合并就是把类型相同的项系数相加合并为一项，也就是逆用乘法分配律，合并时，注意

x或-x的系数分别是1,-1,而不是0;

万里长征路

L足球的表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑白皮块的数目比为

3：5,一个足球的表面一共有32个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少？

解：设每份为个，则黑色皮块有个，白色皮块有个

列方程_________

合并，得_________

系数化为1,得x=

黑色皮块为一X_=（个）,白色皮块有X_=（个）

2.某学生读一本书，第一天读了全书的多2页，第二天读了全书的少1页，还剩23页

没读，问全书共有多少页？（设未知数，列方程,不求解）

解：设全书共有一页，那么第一天读了（）页，第二天读了（）页.

本问题的相等关系是：++=全书页数；

列方程：o

总结反思：

第课时3.2解一元一次方程（2）

——合并同类项与移项

导学目标：运用方程解决实际问题，会用移项法则解方程;

导学重点：运用方程解决实际问题，会用移项法则解方程；

导学难点：理解“移项法则”的依据，以及寻找问题中的等量关系;

导学指导

一、改变旧世界

解方程：（1）3x-2x=7；（2）x+x=3;

二、知识新天地

1.问题2:把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每

人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？

分析：设这个班有x名学生，根据第一种分法，分析已知量和未知量间的关系；

⑴每人分3本，那么共分出本；共分出3x本和剩余的20本，可知道这批书共

有本；

根据第二种分法，分析已知量与未知量之间的关系.

⑵每人分4本，那么需要分出_______本；需要分出4x本和还缺少25本那么这批书

共有本；

这批书的总数是一个定值（不变量），表示它的两个式子应相等；

根据这一相等关系，列方程：；

本题还可以画示意图，帮助我们分析：

注意变化中的不变量，寻找隐含的相等关系，从本题列方程的过程，可以发现：”表

示同一个量的两个不同式子相等”.

分析：方程3x+20=4x-25的两边都含有x的项（3x与4x）,也都含有不含字母

的常数项（20与-25）怎样才能使它转化为x=a（常数）的形式呢？

要使方程右边不含x的项，根据等式性质1,两边

都减去4x,同样，把方程两边都减去20,方程左边就

不含常数项20,即

3x+20-4x-20=4x-25-4x-20

即3x-4x=-25-20

将它与原来方程比较，相当于把原方程左边的+20变为-20后移到方

程右边，把原方程右边的4x变为-4x后移到左边.

像上面那样，把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.

方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，即可以把方程

等号右边的项改变符号后移到等号的左边，也可以把方程左边的项改变符号后移到方程的

右边，注意要先变号后移项，别忘了变号.

下面的框图表示了解这个方程的具体过程.

3x+20=4x-25

1移项

3x-4x=-25-20

3合并同类项

-x=-45

1系数化为1

x=45

由此可知这个班共有45个学生.

2.例2解方程3x+7=32-2x(自己动手做一做)

学海苦无边：

1.解方程：

(1)6x-7=4x-5(2)x-6=x(3)3x+5=4x+l(4)9-3y=5y+5

金秋烂漫时：上面解方程中“移项”的作用很重要：“移项”使方程中含x的项归到

方程的同一边(左边)，不含x的项即常数项归到方程的另一边(右边)，这样就可以

通过“合并”把方程转化为x=a形式.

在解方程时，要弄清什么时候要移项，移哪些项，目的是什么？

解方程时经常要“合并同类项”和“移项”，前面提到的古老的代数书中的“对消”和

“还原”，指的就是“合并”和“移项”；

万里长征路

火眼金睛：

下列移项对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？

(1)从3x+6=0得3x=6;

(2)从2x=x-1得到2x-x=l;

(3)从2+x-3=2x+1得至！］2-3-l=2x-x；

总结反思：

第课时3.2解一元一次方程(3)

——合并同类项与移项

导学目标：

1.学会探索数列中的规律，建立等量关系。

2.探索并发现实际问题中的等量关系，并列出方程

重点难点：建立一元一次方程解决实际问题。

导学指导

一、改变旧世界

解下列方程：

(1)9x——5x=8；(2)4x—6x—x=-15；

⑶

二、知以新天地

前几节课，我们讨论了用一元一次方程解决一些实际问题，其实许多数列、游戏活动中

也蕴含着方程知识。

例3:有一列数，按一定规律排列成1,-3,9,-27,81,-243……其中某三个

相邻数的和是一1701,这三个数各是多少？引导学生观察这列数有什么规律？

(从符号和绝对值两方面)

学生讨论后发现：后面一个数是前一个数的一3倍。

师生共同分析，完成解答过程：

解:设这三个相邻数中的第一个数为x,则第2个数为-3x,第3个数为一3X(-3x)=9x

根据这三个数的和是一1710,得

X—3x+9x=-1710

合并同类项，得

7x=-1710

系数化为1,得

x=-243

所以-3x=729

9x=-2187

答：这三个数是一243、729、-2187

引导学生讨论以上列方程解决实际问题的关键。

学生讨论、分析：探索规律，找出相等关系

如有学生提出不同的设未知数的方法，同样给予鼓励。

学海苦无边：

1.三个连续的奇数的和是27,求这三个奇数。

2.在某月内，李老师要参加三天的导学培训，现在知道这三天的日期的数字之和是39;

(1)培训时间是连续的三天，你知道这几天分别是当月的哪几号吗？

(2)若培训时间是连续三周的周六，那这几天又分是当月的哪几号？

学生练习，教师点评。

金秋烂漫时：

1.你是怎样分析数列中的规律的？

2.你学会判明方程的解是否合理吗？

3.试用自己的话概括“用一元一次方程分析和解决实际问题”的一般过程

万里长征路

L三个连续偶数的和是30,求这三个偶数。

2.小明和小红做游戏，小明拿出一张日历：“我用笔圈出了2X2的一个正方形，它们数

字的和是76,你知道我圈出的是哪几个数字吗？"你能帮小红解决吗？

总结反思：

第课时3.2解一元一次方程(4)

——合并同类项与移项

导学目标：

1.经历由实际问题抽象为方程模型的过程，进一步体会模型化的思想。

2.通过探究实际问题与一元一次方程的关系，感受数学的应用价值，提高分析问题，

解决问题的能力。

重点难点：建立一元一次方程解决实际问题。

导学指导

一、改变旧世界

解下列方程：

(1)；(2);

二、知识新天地

信息社会，人们沟通交流方式多样化，移动电话已很普及，选择经济实惠的收费方式很有现

实意义。

出示教科书91页的例4;

例4;观察下列两种移动电话计费方式表，考虑下列问题：

方式一方式二

月租费30元/月0

本地通话费0.30元/分0.40元/分

1、你能从中表中获得哪些信息，试用自己的话说说。

2、猜一猜，使用哪一种计费方式合算？

3、一个月内在本地通话200分和350分，按两种计费方式各需交费多少元？

4、对于某个本地通通话时间，会出现两种计费方式的收费一样的情况吗？

5、你知道怎样选择计费方式更省钱吗？

让学生充分交流讨论、整理归纳

解：

1、用方式一每月收月租费50元，此外根据累计通话时间按0.30元/分加收通话费;用方式

二不收月租费，根据累计通话时间按840元/分收通话费。

2、不一定，具体由当月累计通话时间决定。

3、

方式一方式二

200分90元80元

350分135元140元

4、设累计通话t分，则用方式一要收费(30+0.3t)元，用方式二要收费0.4t元，如果

两种计费方式的收费一样，则

0.4t=30+0.3t

移项得0.4t-0.3t=30

合并，得0.1t=30

系数化为1,得t=300

答：如果一个月内通话300分，那么两种计费方式的收费相同。

5、如果一个月内通话时间大于300分，选择方式一更省钱；如果一个月内通话时间小于

300分，选择方式二更省钱。

学海苦无边：

1.课本94页10题

(学生练习，教师巡视，指导)

2.小组讨论，试用框图概括“用一元一次方程分析和解决实际问题”的基本过程

(学生思考、讨论、整理)。

金秋烂漫时:

万里长征路

1.一个周末，王老师等3名教师带着若干名学生外出考察旅游（旅费统一支付），联

系了标价相同的两家旅游公司，经洽谈，甲公司给出的优惠条件是：教师全部付费，学生按

七五折付费;乙公司给的优惠条件是：全部师生按八折付费，请你参谋参谋，选择哪家公司

较省钱？

总结反思：

第课时3.3解一元一次方程（二）（1）

—去括号

导学目标：1、了解“去括号”是解方程的重要步骤；

2、准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的方程；

3、列一元一次方程解应用题时，关键是找出条件中的相等关系。

导学重点：了解“去括号”是解方程的重要步骤。

导学难点：括号前是“一”号的，去括号时，括号内的各项要改变符号，乘数与括号内多项

式相乘，乘数应乘遍括号内的各项。

导学指导

一、改变旧世界

1、叙述去括号法则，化简下列各式：

（1）=；

⑵

⑶

2、解方程：2x+5=5x-7

前几节导学的是不带括号的一类方程的解法，本节课是导学带有括号的方程的解法，如

果去掉括号，就与前面的方程一样了，所以我们要先去括号。

要去括号，就要根据去括号法则，及乘法分配律，特别是当括号前是“一”号，去括号

时，各项都要变号，若括号前有数字，则要乘遍括号内所有项，不能漏乘并注意符号。

二、知识新天地

问题：你会解方程吗？这个方程有什么特点？

解：去括号，得,

合并同类项，得,

系数化为1,得O

例1解方程。

注意：1、当括号前是“一”号，去括号时，各项都要变号。

2、括号前有数字，则要乘遍括号内所有项，不能漏乘并注意符号。

解：去括号，得,

移项，得,

合并同类项，得，

系数化为1,得

学海苦无边

1、解方程：

(1)(2)

2、课本97页练习

解方程：

(1)(2)

金秋烂漫时

去括号时要注意什么？

万里长征路

列方程求解：

(1)当x取何值时，代数式和的值相等？

(2)当x取何值时，代数式4x—5与3x—6的值互为相反数？

(3)当y取何值时，代数式2(3y+4)的值比5(2y-7)的值大3?

总结反思：

第课时3.3解一元一次方程(二)(2)

一一去括号

导学目标：1、会用列一元一次方程解决简单的实际问题。

重点难点：寻找实际问题中的相等关系，建立数学模型。

导学指导

一、改变旧世界

解方程：

二、知识新天地

设未知数列方程解应用题：

例2一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用

了2.5小时。已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度。

(教师引导学生寻找相等关系，列出方程。)

顺水行速=船速度+水流速度

逆水行速=船速度-水流速度

船速度指水不动(静水中)的速度.

一般情况下可以认为这艘船往返的路程相等，由此可填空：

顺流速度_______顺流时间逆流速度逆流时间

解：设船在静水中的平均速度为千米/时，则顺流行驶的速度为千米/时，逆流

行驶的速度为千米/时，

根据相等，得方程

去括号，得____________________

移项，得_______________________

合并同类项，得____________________

系数化为1,得__________________

答：船在静水中的平均速度为千米/时。

例3某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000

个，一个螺钉要配两个螺母。为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，

多少名工人生产螺母？

解决问题的关键：

1.如果设x名工人生产螺钉，则名工人生产螺母；

2.为了使每天的产品刚好配套，应使生产的螺母恰好是螺钉数量的•

解：设分配x名工人生产螺钉，其余(22-x)名工人生产螺母，根据螺母数量与螺钉数量

的关系，列方程，得

2xl200x=2000(22-x)

去括号，得2400x=44000-2000x

移项及合并同类项，得4400x=44000

系数化为1,得x=10

生产螺母的人数为22-x=12.

答：应分配10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母。

学海苦无边

1.一架飞机在两城之间航行，风速为24千米/时，顺风飞行要2小时50分，逆风飞行

要3小时，求两城距离。

2.某水利工地派48人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应

怎样安排人员，正好能使挖出土及时运走？

金秋烂漫时

1.本节课你导学了什么？

2.本节课你有什么收获？

3.通过今天的导学，你想进一步探究的问题是什么？

万里长征路

1.某某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个。甲、乙两种零件分别取

3个、2个才能配成一套，要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种

零件的天数？

总结反思：

第课时3.3解一元一次方程(二)(3)

—去分母

导学目标：会运用等式性质2正确去分母解一元一次