高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）3.2.1 双曲线及其标准方程(附答案)

3.2.1双曲线及其标准方程【考点梳理】考点一：双曲线的定义1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．3．焦点：两个定点F1，F2.4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.考点二：双曲线标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)焦点(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2重难点技巧：（1）,,表示双曲线；（2）,,表示两条射线；（3）,表示双曲线的一支；（4）,表示一条射线.【题型归纳】题型一：双曲线的定义1．已知A（0，－4），B（0，4），|PA|﹣|PB|＝2a，当a＝3和4时，点P轨迹分别为（）A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线C．双曲线一支和一条直线 D．双曲线一支和一条射线2．已知双曲线的左､右焦点分别是，，点P在双曲线C上，且，则（

）A．13 B．16 C．1或13 D．3或163．如图，双曲线C：的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则的值是（

）A．3 B．4 C．6 D．8题型二：利用双曲线的定义求轨迹方程4．在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（

）A． B．C． D．5．已知双曲线的左､右焦点分别为，，为坐标原点，，点是双曲线左支上的一点，若，，则双曲线的标准方程是（

）A． B．C． D．6．已知点，动圆C与直线相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．题型三：双曲线中的焦点三角形问题7．若双曲线的左、右焦点分别为，点为圆与此双曲线的一个公共点，则的面积（

）A．有最大值4 B．有最小值2 C．为 D．为8．已知双曲线：的上、下焦点分别为，，为双曲线上一点，且满足，则的面积为（

）A． B． C． D．9．设，分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（

）A． B． C． D．题型四：双曲线的参数问题10．已知，则“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件11．关于，的方程（其中）表示的曲线可能是（

）A．圆心为非坐标原点的圆 B．焦点在轴上的双曲线C．焦点在轴上的双曲线 D．长轴长为的椭圆12．已知曲线C的方程为，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是（

）．A． B． C． D．或5题型五：双曲线的标准方程的求法13．焦距是10，虚轴长是8，经过点的双曲线的标准方程是（

）A． B．C． D．14．已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．15．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．【双基达标】单选题16．若圆与轴的两个交点都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．17．双曲线的两焦点为、，点P在双曲线上，直线、倾斜角之差为，则面积为（

）A． B． C．32 D．4218．若动圆与圆和圆都外切，则动圆圆心的轨迹为（

）A．双曲线的一支 B．圆C．抛物线 D．双曲线19．已知，，，以为一个焦点作过，的椭圆，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．20．经过点和的双曲线的标准方程是（

）A． B．C． D．21．求适合下列条件的圆锥曲线方程：(1)焦点坐标为，短轴长为2的椭圆方程.(2)焦点在x轴上，经过点的双曲线.22．已知圆锥曲线C的方程为．(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；(2)若双曲线与直线有公共点且实轴长最长，求此双曲线的方程．【高分突破】一：单选题23．已知平面上的定点，及动点，甲：（为常数），乙：点的轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件24．已知为双曲线的左焦点，，为双曲线右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为（

）A．28 B．36 C．44 D．4825．已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（

）A． B． C． D．26．南非双曲线大教堂由伦敦著名的建筑事务所完成．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且此双曲线过点，离心率为，则此双曲线的方程为（

）A． B． C． D．27．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题28．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（

）A．当时，曲线C是椭圆B．当或时，曲线C是双曲线C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则29．已知双曲线的左、右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，是双曲线上异于的任意一点，给出下列结论，其中正确的是（

）A．B．直线，的斜率之积等于定值C．使得为等腰三角形的点P有且仅有四个D．若，则30．曲线C的方程为，则下列说法正确的是（

）A．存在实数使得曲线C的轨迹为圆B．存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆C．存在实数使得曲线C的轨迹为双曲线D．无论（且）取何值，曲线C的焦距为定值31．已知曲线：，则（

）A．若，则曲线是圆，其半径为B．若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上C．若曲线过点，，则是双曲线D．若，则曲线不表示任何图形32．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，点为双曲线上异于的一动点，则下列结论正确的有（

）A．的最大值为9B．若以为直径的圆经过双曲线的右焦点，则C．若，则有或13D．设，的斜率分别为、，则的最小值为33．已知点P是双曲线E：的右支上一点，，为双曲线E的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（

）A．点P的横坐标为 B．的周长为C．小于 D．的内切圆半径为三、填空题34．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程的解为____________35．设双曲线的两个焦点分别为、，P为双曲线上一点，若，则______．36．经过点，的双曲线的方程是______.37．已知点P在双曲线C：上，、是双曲线C的左右焦点，若的面积为20，则下列说法中正确的是______.（填序号）①点P到x轴的距离为；②；③为钝角三角形；④.38．已知双曲线，、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的平分线，过作的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为_______．四、解答题39．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)，经过点；(2)焦点轴上，且过点，.40．双曲线上一点到左、右两焦点距离的差为2．(1)求双曲线的方程；(2)设、是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上的点，若，求的面积．41．在平面直角坐标系中，双曲线C的对称轴都是坐标轴，且过点，P到双曲线C两焦点距离的差的绝对值等于2.(1)求双曲线C的方程；(2)如果双曲线C的焦点在x轴上，直线l经过双曲线C的右焦点，与双曲线C交于A，B两点，且，求直线l的方程.【答案详解】1．D【分析】根据双曲线的定义辨析当和时的轨迹.【详解】∵A(0,－4)，B（0，4），∴|AB|＝8，又|PA|－|PB|＝2a，∴当a＝3时，|PA|－|PB|＝6＜8，由双曲线定义可得点P的轨迹为双曲线的上支；当a＝4时，|PA|－|PB|＝8，∴点P的轨迹为y轴上的以点B为端点的方向向上的射线；故选：D．2．A【分析】利用双曲线的定义直接求解.【详解】由双曲线可得，.因为，所以点P在双曲线C的左支上，所以，则.故选：A3．C【分析】根据双曲线的对称性与双曲线的定义求解．【详解】设双由线的右焦点为，连接，因为双由线上的点与关于轴对称，根据双曲线的对称性，可得，所以.故选：C.4．A【分析】根据图可得：为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．【详解】解：如图设与圆的切点分别为、、，则有，，，所以．根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），即、，又，所以，所以方程为．故选：A．5．C【分析】由可得，可知；利用双曲线的定义可求得，，在中，利用勾股定理可构造方程求得，由此可得双曲线方程.【详解】由题意知：双曲线的焦距为，，，.，不妨设，，由双曲线的定义可得：，，，由勾股定理可得：，解得：，，双曲线方程为.故选：C.6．A【分析】由给定条件分析探求出点P所满足的关系，再结合圆锥曲线的定义即可作答.【详解】设直线PM，PN与圆C相切的切点分别为点Q，T，如图，由切线长定理知，MB=MQ，PQ=PT，NB=NT，于是有|PM|-|PN|=|MQ|-|NT|=|MB|-|NB|=2<6=|MN|，则点P的轨迹是以M，N为左右焦点，实轴长2a=2的双曲线右支，虚半轴长b有，所以点P的轨迹方程为.故选：A7．D【分析】由双曲线定义得到，且，进而求出，求出的面积.【详解】由双曲线方程知，，恰好为圆的直径，所以，如图所示：由双曲线定义知，，∴，所以∴，故选：D.8．A【分析】记，，根据双曲线定义结合余弦定理可得，再利用三角形面积公式可推得，即可求得答案.【详解】记，，，∵，∴，在中，由余弦定理得，配方得，即，∴，由任意三角形的面积公式得，∴，而，，，故选：A.9．C【分析】根据双曲线定义得到，，用余弦定理和面积公式求出答案.【详解】设，，则由双曲线的定义可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面积为.故选：C.10．B【分析】根据双曲线标准方程的定义，可得，再根据充分必要条件的集合关系，可得到答案.【详解】由方程表示双曲线，可得，解得或，则为或的充分不必要条件，故选：B.11．C【分析】根据不同类型的圆锥曲线的标准方程求出的范围即可判断.【详解】对于A若表示圆，则解之得代回原方程得，此方程表示圆心在原点，半径为的圆所以A错误对于B若表示焦点在轴上的双曲线，则此方程组无实数解所以B错误对于C当时，且此时方程表示焦点在轴上的双曲线所以C正确对于D若表示椭圆，则且所以或当时，此时长轴长为当时，此时长轴长为所以D错误故选：C12．C【分析】根据题意可得，解之即可得解.【详解】解：若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，解得．故选：C.13．A【解析】根据双曲线的性质，由焦距是10，虚轴长是8分别求出半焦距c和半虚轴b，即可求出半实轴a的值，然后分两种情况写出双曲线的标准方程，又双曲线过点，把点的坐标代入求得的双曲线解析式得到符合题意的标准方程即可.【详解】解：根据题意可知，，解得，，根据双曲线的性质可得，双曲线标准方程为：或又因为双曲线过点，代入检验得到不合题意，舍去，所以满足题意的双曲线的标准方程为：故选：A.14．D【分析】由得，然后由三角形面积、双曲线的定义、勾股定理联立可求得得双曲线方程．【详解】，是的中点，所以，，则，，解得，所以双曲线方程为．故选：D．15．C【分析】根据题意求出a,b即可求得答案.【详解】由题意，，则，结合条件可知，双曲线的标准方程为.故选：C.16．B【分析】利用圆的方程解出两点坐标，利用双曲线的图像和性质计算即可.【详解】将代入解得点坐标分别为，因为两点都在双曲线上，且将此双曲线的焦距三等分，所以双曲线焦点在轴上且，解得，所以双曲线方程为：.故选：B.17．A【分析】根据已知条件求出焦距及，根据双曲线定义及余弦定理求出乘积，代入三角形面积公式即可求解.【详解】根据、为双曲线的两焦点可得，又直线、倾斜角之差为，所以，根据余弦定理可得，整理得①，根据点P在双曲线上可得，则②，①-②得，，则面积为.故选：A.18．A【分析】由圆与圆的位置关系以及双曲线的定义求解即可【详解】设动圆的圆心为M，半径为r，圆与圆的圆心分别为和圆，易得圆和圆的半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得，．∴，又，∴动点M的轨迹是双曲线的一支．故选：A19．A【分析】根据椭圆定义得到，转化为，得到故的轨迹是以，为焦点的双曲线的下支，进而求出轨迹方程.【详解】由题意得，，，因为，都在椭圆上，所以，所以，故的轨迹是以，为焦点的双曲线的下支，又因为，，即，，所以，因此的轨迹方程是．故选：A．20．B【分析】设双曲线的方程为，将两点代入，即可求出答案.【详解】设双曲线的方程为，则解得故双曲线的标准方程为．故选：B．21．(1)；(2).【分析】（1）由已知得，根据椭圆中a、b、c三量关系求出a值即可得到椭圆方程；（2）已知a和双曲线上一点，设双曲线方程，通过待定系数法求解即可.（1）根据题意可得，椭圆长轴在x轴上，且，所以，所以椭圆方程为.（2）根据题意可得，双曲线实轴在x轴上，设双曲线方程为，则，解得，所以双曲线方程为.22．(1)答案见解析(2)【分析】（1）根据椭圆与双曲线的性质即可求解；（2）根据直线与双曲线的交点个数分两类讨论，可求出的范围，从而得出实轴取最大值时的值.（1）当且仅当时，方程表示椭圆；当且仅当时，方程表示双曲线．（2）联立得：①当即时，公共点的坐标为，符合题意；②当解得或．由①②得k的取值范围为:．实轴长，所以，当且仅当k＝6时，等号成立．因此当k＝6时，双曲线实轴长最长，此时双曲线的方程为．23．B【分析】根据双曲线的定义直接判断即可.【详解】根据双曲线的定义，只有当时，点的轨迹才是双曲线，所以乙甲，但甲乙，所以甲是乙的必要不充分条件.故选：B24．C【分析】根据双曲线的定义求解即可.【详解】如图所示：∵双曲线的左焦点为，∴点是双曲线的右焦点，又，∴虚轴长为2b＝8，∴．∵①，②，∴①+②得，∴的周长．故选：C25．C【分析】根据已知条件得出焦点坐标，并作出图形，利用双曲线的定义及三角形的周长公式即可求解.【详解】由题意可知，，所以，解得，所以双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右焦点．作出双曲线，如图所示．由双曲线的定义，知①，②，由①②，得，又，所以的周长为．故选：C.26．A【分析】由题意可得，解方程即可求出，即可求出答案.【详解】由题意可得，所以双曲线的方程为．故选：A．27．D【分析】由已知可得，设，，由点差法可得，可得，可求，圆表示圆心为，半径为，，计算可求最小值．【详解】由双曲线知渐近线方程为，又双曲线与双曲线有相同的渐近线，，，双曲线方程为，设，，，，，又弦的中点为，，，设，，解得，，解得，所以双曲线的方程为，由圆的方程可得，圆心为，半径为，．当且仅当，，三点共线时取等号．故选：D．28．BC【分析】根据表示椭圆可求得或，判断A;表示双曲线可求得或，判断B;根据表示椭圆时焦点的位置可列出相应的不等式组，求得参数范围，判断C,D.【详解】当曲线C是椭圆时，解得或，故A错误；当曲线C是双曲线时，，解得或，故B正确；若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得，故C正确；若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则，解得，故D错误．故选:BC．29．BD【分析】由双曲线的定义，可判定A错误；由，结合双曲线的方程，得到，所以B正确；结合双曲线的几何性质，可判定C错误；结合，得到，可判定D正确．【详解】由题意，点是双曲线上异于的任意一点，设，对于A中，由双曲线的定义知，，所以A错误；对于B中，由，，可得，又由，所以，可得，所以B正确；对于C中，若P在第一象限，则当时，，为等腰三角形；当时，，也为等腰三角形，故点P在第一象限且使得为等腰三角形的点P有两个．同理可得，在第二、三、四象限且使得为等腰三角形的点P也各有两个，因此使得为等腰三角形的点P共有八个，所以C错误．对于D中，由，得，从而，所以D正确．故选：BD．30．BCD【分析】对于A，由可判断；对于B，当时，表示椭圆；对于C，当时，表示双曲线；对于D，当时，椭圆的，当时，双曲线的，由此可判断.【详解】解：对于A，因为，所以不存在实数使得曲线C的轨迹为圆，故A不正确；对于B，当且时，即时，表示椭圆，所以存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆，故B正确；对于C，当，即时，表示双曲线，故C正确；对于D，当时，表示椭圆，此时椭圆的，所以曲线C的焦距为定值；当时，表示双曲线，此时双曲线的，所以曲线C的焦距为定值；故D正确，故选：BCD.31．BC【分析】对于A，曲线可化为，表示圆，可求半径，判断A;对于B，时，曲线可化为，可判断表示椭圆，判断B;对于C，将点，，代入曲线：，求得曲线方程，判断C;对于D，可举特例进行说明，判断D.【详解】对于A，时，曲线可化为，其半径为，故A错误；对于B，时，曲线可化为表示的是椭圆，而，所以其焦点在轴上，故B正确；对于C，将点，，代入曲线：，有，，所以曲线是双曲线，故C正确；对于D，若，，满足条件，此时曲线：，表示两条直线，故D错误，故选：BC.32．BD【分析】求得的最大值判断选项A；求得判断选项B；求得的值判断选项C；求得的最小值判断选项D.【详解】双曲线中、，焦距，实轴长不妨设，选项A：则，又，则由，可知，即，则的最大值为16.判断错误；选项B：以为直径的圆经过双曲线的右焦点，则有则，解之得，则，则则.判断正确；选项C：若，由，可得或（因为，舍去）.判断错误；选项D：由，可得即，则故，（当且仅当时等号成立）即的最小值为.判断正确.故选：BD33．ABC【分析】由双曲线方程可得双曲线的c，运用三角形的面积公式求得P的坐标，运用两直线的夹角公式可得的范围，利用双曲线的定义，可得的周长，设的内切圆半径为r，运用三角形的面积公式和等积法，即可计算r．【详解】因为双曲线，所以，又因为，所以,将其代入得，即，所以选项A正确；所以P的坐标为，由对称性可知，由双曲线定义可知所以的周长为:，所以选项B正确；可得，，则，则，，所以选项C正确；因为的周长为，所以，所以，所以选项D不正确．故选：ABC.34．【分析】根据题意说明表示的平面内一点与两定点距离之差的绝对值为6，求得该点所在的曲线方程，即双曲线方程，继而求得答案.【详解】由，可得，其几何意义为平面内一点与两定点距离之差的绝对值为6，平面内与两定点距离之差的绝对值为6的点的轨迹是双曲线，设该双曲线的方程为，则得，所以该双曲线的方程是，令，解得，故答案为：．35．0【分析】先由双曲线的定义结合已知求得，进而可求出.【详解】由题意得，，联立，因此，则．故答案为：0.36．【分析】把两点代入双曲线方程中，即可利用待定系数法进行求解.【详解】设双曲线的方程为，因为P、Q两点在双曲线上，所以解得所以所求双曲线的标准方程为.故答案为：37．②③【分析】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可.【详解】由已知因为点P在双曲线上，、是双曲线C的左、右焦点，的面积为20，所以，所以，.对于①，点P到x轴的距离为4，故①错误.对于②，由对称性，不妨设.因为，，所以，即②正确.对于③，由对称性，不妨设，由双曲线的定义有，结合，解得，.所以在中，由余弦定理得，所以为钝角，所以③正确.对于④，由对称性，不妨设，由③的判断过程知，，，则，所以，所以，