专题5.36 分式与分式方程挑战综合（压轴）题分类专题八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题5.36分式与分式方程（挑战综合（压轴）题分类专题（专项练习）综合类【知识点一】分式及其运算➽➼化简★★纠错1．计算：(1)； (2)．2．下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．第一步第二步第三步第四步任务一：填空①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．②第______步开始出现错误，错误的原因是______．任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．3．（1）先化简再求值：，其中m=4．（2）解不等式组并将解集表示在所给的数轴上．【知识点二】分式的化简求值4．先化简，再求值：，其中．5．先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解．6．先化简，再求值：，其中．【知识点三】解分式方程7．解分式方程：(1) (2)8．已知分式方程■有解，其中“■”表示一个数．(1)若“■”表示的数为4，求分式方程的解；(2)小马虎回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是或0，试确定“■”表示的数．9．已知关于x的分式方程．(1)当时，求这个分式方程的解．(2)小明认为当时，原分式方程无解，你认为小明的结论正确吗？请判断并说明理由．【知识点四】分式方程的增根与无解问题10．已知关于的分式方程．（1）若方程的增根为，求的值；（2）若方程有增根，求的值；（3）若方程无解，求的值．11．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：.（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？12．已知关于的分式方程(1)若分式方程的根是，求的值(2)若分式方程有增根，求的值(3)若分式方程有无解，求的值【知识点五】分式方程的正（负）数解、整数解问题13．已知关于x的分式方程．(1)当时，求方程的解；(2)若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是______．14．关于的分式方程：．(1)当时，求此时方程的根；(2)若这个方程的解为正数，求取值的范围．15．已知关于的分式方程．(1)若这个方程的解是负数，求的取值范围；(2)若这个方程无解，则______．（直接写出答案）【知识点六】分式方程的解★★不等式组参数问题16．若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的和是多少？17．若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，求符合条件的所有整数a的积．18．若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜4，且关于y的分式方程＝4的解是正数，求a的取值范围．请认真阅读以下解答过程并补充完整．解：步骤1：由不等式①，解得．由不等式②，解得．又∵该不等式组的解集为x＜4，∴a的取值范围是．步骤2：解这个分式方程＝4得，y＝．请继续写出下面的解答过程．步骤3：．【知识点七】列分式方程解应用题19．为了减少工人在搬运化工原料受到危害，某物流公司引进机器人，一个机器人比一个工人每小时多搬运420kg，机器人搬运900kg所用的时间与10个工人搬运600kg所用的时间相等．(1)求一个机器人与一个工人每小时分别搬运多少化工原料？(2)现在需要搬运化工原料3600kg，有3个机器人参与搬运，问至少还需要安排多少个工人才能在2个小时内搬运完？20．国庆期间，某商家用元购进了一批纪念衫，上市后果然供不应求，商家又用元购进了第二批这种纪念衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件贵了元．(1)该商家购进的第一批纪念衫单价是多少元？(2)若两批纪念衫按相同的标价销售，最后剩下20件按标价八折优惠卖出，如果两批纪念衫全部售完利润不低于元（不考虑其他因素），那么每件纪念衫的标价至少是多少元？21．老友粉入选广西非物质文化遗产名录．为满足消费者需求，某超市购进甲、乙两种品牌老友粉，已知甲品牌老友粉比乙品牌老友粉每袋进价少2元，用2700元购进甲品牌老友粉与用3300元购进乙品牌老友粉的数量相同．(1)求甲、乙两种品牌老友粉每袋的进价；(2)本次购进甲、乙品牌老友粉共800袋，均按13元出售，且购进甲品牌老友粉的数量不超过乙品牌老友粉数量的3倍．若该批老友粉全部售完，则该超市应购进甲、乙两种老友粉各多少袋才能获得最大利润？最大利润是多少？压轴类【知识点一】分式的化简求值22．（1）已知，求的值．（2）已知，求的值．23．（1）已知其中，化简求值；（2）已知，探究m与n的关系．24．先化简，再求值(1)，其中，；(2)，其中，．【知识点二】分式化简求值及分式方程综合25．已知（其中A，B为常数），求的值．26．（1）计算：（2）先化简，再求值：，请选择一个你喜欢的数值代入求值．（3）解方程：27．阅读材料，下列关于的方程：的解为：，；

的解为：，；的解为：，；

的解为：，；根据这些材料解决下列问题：(1)方程的解是____________；(2)方程的解是____________；(3)解方程：．【知识点三】分式方程的增极与不等式综合28．已知，关于x的分式方程．(1)当，时，求分式方程的解；(2)当时，求b为何值时分式方程无解；(3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值．29．增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值．阅读以上材料后，完成下列探究：探究1：m为何值时，方程有增根．探究2：m为何值时，方程的根是．探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程的三个根中两个根之和等于第三个根；探究4：你发现满足“探究3”条件的的关系是______．30．阅读材料：基本不等式当且仅当a=b时，等号成立，其中我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具，例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，有最小值？最小值是多少？解：∵x＞0，，∴≥，∴，当且仅当时，即x=1时，有有最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题：（1）填空：当>0时，设，则当且仅当=____时，y有最____值为_______；（2）若＞0，函数，当x为何值时，函数有最值？并求出其最值；（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的面积等于8，求△ABC周长的最小值．【知识点四】列分式方程解应用题31．为落实《健康中国行动（）》等文件精神，某学校准备购进一批足球和排球促进校园体育活动．据了解，某体育用品超市每个足球的价格比排球的价格多20元，用500元购买的足球数量和400元购买的排球数量相等．(1)求每个足球和排球的价格；(2)学校决定购买足球和排球共50个，且购买足球的数量不少于排球的数量，求本次购买最少花费多少钱？(3)在（2）方案下，体育用品超市为支持学校体育活动，对足球提供8折优惠，排球提供7.5折优惠．学校决定将节约下的资金全部用于再次购买足球和排球（此时按原价购买，可以只购买一种），求再次购买足球和排球的方案．32．为了防疫，师大一中需购买甲、乙两种品牌的温度枪，已知甲品牌温度枪的单价比乙品牌温度枪的单价低40元，且用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍．(1)求甲、乙两种品牌温度枪的单价．(2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的温度枪共个，且乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍，购买两种品牌温度枪的总费用不超过元．设购买甲品牌温度枪m个，则该校共有几种购买方案？(3)在（2）条件下，采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少？33．某电商根据市场需求购进一批A，B两种型号的电脑小音箱进行销售，每台B型音箱的进价比A型音箱的进价多10元，用6000元购进A型音箱与用8000元购进B型音箱的台数相同．(1)求A，B两种型号的电脑小音箱的单价；(2)该电商计划购进A，B两种型号的电脑小音箱共100台进行销售，其中A型音箱台数不小于B型音箱台数的3倍，A型音箱每台售价35元，B型音箱每台售价48元，怎样安排进货才能使售完这100台电脑小音箱所获利润最大？最大利润是多少元？(3)为满足不同顾客的需要，该电商准备新增购进进价为每台20元的C型音箱，A，B两种型号音箱仍按需购进，进价不变，A型音箱的台数是B型音箱台数的5倍，共花费20000元，则该电商至少可以购进三种型号音箱共多少台？参考答案1．(1)；(2)【分析】（1）先用乘方、绝对值、负整数次幂、算术平方根化简，然后再计算即可；（2）按照分式混合运算法则计算即可．（1）解：==．（2）解：===．【点拨】本题主要考查了实数的混合运算、分式的混合运算、负整数次幂等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．2．任务一：①一，分式的性质；②二，去括号没有变号；任务二：【分析】任务一：①根据分式的基本性质分析即可；②利用去括号法则得出答案；任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案．解：任务一：以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．故答案为：一，分式的性质；②二，去括号没有变号．任务二：．【点拨】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质．3．（1）m2-4m+3，3；（2）2<x≤4，数轴见分析【分析】（1）直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案；（2）直接解不等式，进而得出不等式组的解集，进而得出答案．解：=（m-3）（m-1）=m2-4m+3，当m=4时，原式=42-4×4+3=3；（2），解①得：x>2，解②得：x≤4，故不等式组的解集是：2<x≤4，解集在数轴上表示：．【点拨】此题主要考查了分式的化简求值以及解一元一次不等式组，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．，【分析】根据分式的混合运算的运算法则把原式化简为，再代入求值．解：．当时，原式．【点拨】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．5．，当x=2时，原分式的值为【分析】由题意先把分式进行化简，求出不等式组的整数解，根据分式有意义的条件选出合适的x值，进而代入求解即可．解：原式=；由可得该不等式组的解集为：，∴该不等式组的整数解为：-1、0、1、2，当x=-1，0，1时，分式无意义，∴x=2，∴把x=2代入得：原式=．【点拨】本题主要考查分式的运算及一元一次不等式组的解法，要注意分式的分母不能为0．6．，．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再利用算术平方根、绝对值、负整数指数幂计算出a的值，代入计算即可求出值．解：=，当时，原式==．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．还考查了算术平方根、绝对值、负整数指数幂．7．(1)；(2)无解【分析】（1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；（2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．（1）解：，方程两边都乘，得，解得：，检验：当时，，∴是原分式方程的解，即原分式方程的解是；（2）解：，方程两边都乘，得，解得：，检验：当时，，∴是增根，即原分式方程无解．【点拨】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．8．(1)；(2)0【分析】（1）根据题意列出分式方程，求出解即可；（2）把和0分别代入方程，求出解判断即可．（1）解：根据题意得：，去分母得：，解得：，检验：把代入得：，分式方程的解为；（2）解：当“■”是时，，解得，此时方程无解；当“■”是0时，，解得，经检验：是分式方程的解，符合题意，∴“■”表示的数是．【点拨】本题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．9．(1)；(2)小明的结论正确，理由见分析．【分析】（1）按照解分式方程的步骤求解即可；（2）按照解分式方程的步骤求解即可．（1）解：去分母，得，当时，得，解得，经检验，是原方程的根；（2）解：小明的结论正确，理由如下：去分母，得，当时，，解得，经检验，是原方程的增根，原方程无解，∴小明的结论正确．【点拨】此题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解步骤与方法．10．（1）-4；（2）；（3）或．【分析】（1）先去分母，然后根据方程的增根进行求解即可；（2）若原分式方程有增根，则，然后代入求解即可；（3）由（2）及题意可直接进行求解．解：（1）去分母得：整理，得．若增根为，则．得；（2）若原分式方程有增根，则．所以或．当时，得．当时，得．所以若原分式方程有增根，则．（3）由（2）知，当时，原分式方程有增根，即无解；当时，方程无解．综上知，若原分式方程无解，则或．【点拨】本题主要考查分式方程的增根及无解，熟练掌握分式方程增根及无解的问题是解题的关键．11．（1）;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.【分析】（1）“？”当成5，解分式方程即可，（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.解：（1）方程两边同时乘以得解得

经检验，是原分式方程的解.（2）设？为，方程两边同时乘以得由于是原分式方程的增根，所以把代入上面的等式得所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.【点拨】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．12．(1)；(2)；(3)或【分析】（1）把方程的解代入方程，解之即可得到答案；（2）原方程整理得，由分式有增根，则，得到或，分两种情况分别求解即可；（3）由（2）可知，，分和两种情况分别求解即可.（1）解：把代入得，，解得；（2），两边都乘以得，，整理得，，由分式有增根，则，∴或，把代入，a的值不存在，把代入，解得，综上可知，；（3）由（2）可知，，当时，方程无解，即，当时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（2）知，综上可知，或．【点拨】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．13．(1)；(2)且．【分析】（1）将代入分式方程，解分式方程的即可求解；（2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可．（1）解：当时，∴，∴，∴，∴，去分母得：，解得：，检验：当时，故方程的解为：；（2）解：，∴，∴，∴，去分母得：，解得：，由分式方程有解且解为非负数，且，即：且，即：且．故答案为：且．【点拨】此题主要考查了解分式方程及不等式的解法；掌握解分式方程要进行检验及分式方程有解且解为非负数的条件是解题关键．14．(1)；(2)且【分析】（1）把代入分式方程，去分母，解的值，再进行检验即可；（2）首先解分式方程，解出，分式方程解为正数的条件为有解且解为正数，分式方程有解的条件为，故且，解出的范围即可．（1）解：（1）当时，分式方程为；，方程两边同乘以，得，解得，当时，，所以当时，分式方程的解为；（2），方程两边同乘以，得，解得，这个方程的解为正数，且，解得且．【点拨】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是掌握分式方程的解法以及分式方程解为正数的条件的理解．15．(1)且；(2)3，10，．【分析】（1）将分式方程化为整式方程，求得，由题意可得，且求解即可；（2）将分式方程化为整式方程，求得，由题意可得或，求解即可．（1）解：化为整式方程可得：，即，由方程的解是负数可得，则，且解得且；（2）解：由（1）可得方程可化为，当时，，方程化为，无解，符合题意；当时，，，由题意可得：这个方程无解，则或即或，解得或，综上可得：或或，故答案为：3，10，．【点拨】此题考查了分式方程的求解，涉及了分式方程增根的情况，解题的关键是熟练掌握分式的方程的有关知识．16．符合条件的所有整数a的和为16【分析】由题意可得，然后可得或10，进而根据不等式组可得，最后问题可求解．解：解方程分式方程，得，∵分式方程的解为正整数解，∴或2或4或8，又且，∴，∴或6或10，由关于y的不等式组有解，解得：∴，解得：，综上，符合题意的整数a的值有6，10，∴符合条件的所有整数a的和为16．【点拨】本题主要考查一元一次不等式组及分式方程的解法，熟练掌握一元一次不等式组及分式方程的解法是解题的关键．17．40【分析】先用a表示方程的解，根据解是非负数，且x≠1，结合不等式组的解集确定a的范围，求得整数解计算即可．解：∵，去分母，得x+2-a=3x-3,移项、合并同类项，得2x=5-a，系数化为1，得x=，∵数a使关于x的分式方程的解为非负数，且x-1≠0，∴，∴，∵，∴①的解集为，②的解集为，∵的解集为，∴a＞0，∴符合条件的所有整数a为1,2,4,5，∴符合条件的所有整数a的积为1×2×4×5=40．【点拨】本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式组的解集，熟练掌握解分式方程，不等式组的解集是解题的关键．18．x＜4；；；；且【分析】化简一元一次不等式组，根据解集为x＜4得到a的取值范围；解分式方程，根据解是正数，且不是增根，得到a的最终范围即可．解：解：步骤1：由不等式①，解得x＜4．由不等式②，解得．又∵该不等式组的解集为x＜4，∴a的取值范围是．步骤2：解这个分式方程＝4得，y＝，∵关于y的分式方程＝4的解是正数，且，∴，且，解得：且，∴a的取值范围为且．【点拨】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集．考虑解分式方程可能产生增根是解题的关键．19．(1)一个工人每小时搬运，一个机器人每小时搬运；(2)还需要安排个工人才能在2个小时内搬运完【分析】（1）设一个工人每小时搬运，则一个机器人每小时搬运，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；（2）设还需要安排个工人才能在2个小时内搬运完，依题意列出不等式，解不等式即可求解．（1）解：设一个工人每小时搬运，则一个机器人每小时搬运，根据题意得，解得：经检验是原方程的解，且符合题意，所以 ．答：一个工人每小时搬运，一个机器人每小时搬运；（2）解：设还需要安排个工人才能在2个小时内搬运完，依题意得，，解得：，答：还需要安排个工人才能在2个小时内搬运完．【点拨】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键．20．(1)该商家购进的第一批纪念衫单价是元；(2)每件纪念衫的标价至少是元；【分析】（1）设第一批纪念衫单价是x元，则第二批纪念衫单价是元，根据两次的数量关系列方程求解即可得到答案；（2）设每件纪念衫的标价是y元，根据利润不低于元列不等式求解即可得到答案；（1）解：设第一批纪念衫单价是x元，则第二批纪念衫单价是元，由题意可得，解得：，答：该商家购进的第一批纪念衫单价是元；（2）解：根据（1）得：第一批数量为件，第二批为件，设每件纪念衫的标价是y元，由题意可得，，解得：，∴每件纪念衫的标价至少是元；【点拨】本题考查分式方程解决实际应用问题，不等式解决实际应用问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式与不等关系式．21．(1)甲品牌老友粉每袋9元，乙品牌老友粉每袋11元；(2)当购进甲种老友粉600袋，乙种老友粉200袋时获利最大，最大利润为2800元【分析】（1）设甲品牌老友粉每袋x元，则乙品牌老友粉每袋元，根据用2700元购进甲品牌老友粉与用3300元购进乙品牌老友粉的数量相同列方程，解方程并检验即可得到答案；（2）设超市获得利润为y元，购进甲种老友粉m袋，则购进乙种老友粉袋．根据购进甲品牌老友粉的数量不超过乙品牌老友粉数量的3倍求出m的取值范围，再根据一次函数的性质求出答案即可．（1）解：设甲品牌老友粉每袋x元，则乙品牌老友粉每袋元，由题意，解得．检验：当时，，∴是原分式方程的解∴，答：甲品牌老友粉每袋9元，乙品牌老友粉每袋11元（2）解：设超市获得利润为y元，购进甲种老友粉m袋，则购进乙种老友粉袋．∵，∴，，∵，∴y随m的增大而增大．∴当时，y的值最大乙种老友粉的数量（袋）．答：当购进甲种老友粉600袋，乙种老友粉200袋时获利最大，最大利润为2800元．【点拨】此题考查了分式方程、一次函数、一元一次不等式的应用，读懂题意是解题的关键．22．（1）（2）527【分析】（1）先逆用同底数幂的乘法将原式化为，再逆用积的乘方结合分式的运算即可求解；（2）方程两边同时除以x得，再利用完全平方公式得到，再次利用完全平方公式即可求解．解：（1）；（2）方程两边同时除以x得:，即，∴，即，∴，∴，即，∴．【点拨】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算，完全平方公式，分式的计算求值等知识，熟知相关知识，结合已知条件和所求式子灵活变形是解题关键．23．（1）；（2）【分析】（1）根据分数运算化简，再由二次根式混合运算代入求值即可得到答案；（2）利用平方差公式及完全平方公式恒等变形，最后由配方法求解即可得到答案．解：（1），，原式；（2），，即，，，即，．【点拨】本题考查分式化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握分式运算及二次根式运算是解决问题的关键．24．(1)，；(2)，1【分析】（1）繁琐分式的化简、通分与合并，然后代入a、b的值进行计算（2）因式分解与合并同类项，然后代入m、n的值进行计算解：（1）原式当，时，原式（2）原式当，时，原式【点拨】本题主要考查因式分解、通分以及合并同类项，关键是要有熟练的计算能力25．【分析】去分母后得到整式方程，等号左边整理后与等号右边各项对应相等即可求出A、B，进而求得的值．解：去分母得，整理得，∴解得：∴，故答案为．【点拨】本题考查了解分式方程、二元一次方程组、幂的计算，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解题的关键．26．（1）；（2），当时，；（3）方程无解【分析】（1）根据二次根式、绝对值、零指数幂和乘方性质计算，即可得到答案；（2）根据乘法公式、分式混合运算性质化简，从而完成求解；（3）先对左边的分式进行通分计算，对右边的分母进行因式分解，对分式进行化简求值，再将方程的解进行验证，即可完成求解．解：（1）；（2），当时，原式=；（3）∴通分得：，∴，∴去分母得：，∴移项合并同类项得：，检验：当时，，∴原方程无解.【点拨】本题考查二次根式、零指数幂、分式混合运算、分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式混合运算、分式方程的性质，从而完成求解.27．(1)，；(2)，；(3)，【分析】（1）根据所给材料的解题方法即可求解；（2）根据材料中方程的解法求解即可；（3）先将方程化为，再利用材料中的解法求解即可．（1）解：方程的解为，故答案为：，（2）由方程可得或，解得，，故答案为：，（3）将方程变形为，可得或，解得，【点拨】此题考查了解分式方程，解题的关键是将方程化为的形式求解．28．(1)；(2)；(3)3、29、55、185【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；（3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，得：，方程两边同时乘以，得：，解得：，检验：把代入，∴原分式方程的解为：．（2）解：把a=1代入原分式方程中，得：，方程两边同时乘以，得：，去括号，得：，移项、合并同类项，得：，①当时，即，原分式方程无解；②当时，得，Ⅰ.时，原分式方程无解，即时，此时b不存在；Ⅱ.x=5时，原分式方程无解，即时，此时b=5；综上所述，时，分式方程无解．（3）解：把a=3b代入分式方程中，得：，方程两边同时乘以，得：，，解得：，∵b为正整数，x为整数，∴10+b必为195的因数，10+b≥11，∵195=3×5×13，∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，∵1、3、5都小于11，∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数，对应地，方程的解x=3、5、13、15、17，又x=5为分式方程的增根，故应舍去，对应地，b只可以取3、29、55、185，∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．【点拨】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．29．探究1：-9；探究2：23；探究3：；探究4：【分析】解分式方程，根据方程有增根求得m的值即可，根据规律即可得出结论．第三问设方程的三根为且，再求得对应的m．即可得出它们之间的关系．解：探究1：方程两边都乘，得∵原方程有增根，∴最简公分母，解得，当时，，故m的值是．探究2：方程两边都乘，得∵原方程的根为，，探究3：由（1）（2）得，方程的三个对应根为且，∴，=15-8b，探究4：，，整理得，故答案为．【点拨】本题考查了分式方程的解法，分式方程的增根，熟练掌握解分式方程，准确判定方程的增根是解题的关键．30．（1）2，小，4；（2），y有最小值2；（3）△ABC的周长最小为8+4【分析】（1）根据基本不等式即可求得y的最小值，及此时x的取值；（2）根据基本不等式即可求得y的最小值，及此时x的取值；（3）由基本不等式可分别得：，，由周长公式可得，从而可得△ABC周长的最小值．解：（1）∵x>0∴∴y=≥4当且仅当即x=时，y有最小值4．

故答案为：2，小，4

（2）∵x＞0∴∴y=≥2当且仅当即x=时，y有最小值2．

（3）设两直角边分别为a，b，斜边为c由题意得：，且由勾股定理得：∴ab=16∵a＞0，b＞0∴=ab∴，∵∴∴≥8+4当且仅当a=b时△ABC的周长最小为8+4．【点拨】本题属于阅读材料题目，考查了学生对材料的阅读理解能力和应用能力，考查了解方程，不等式的性质，勾股定理，图形的面积和周长等知识，关键是读懂材料并能应用材料的知识解决问题．31．(1)每个足球的价格为100元，每个排球的价格为80元；(2)本次购买最少花费4500元钱；(3)学校再次购买足球和排球的方案有3个：①只购买10个足球；②购买6个足球，5个排球；③购买2个足球，10个排球【分析】（1）设每个足球的价格为x元，则每个排球的价格为元，由题意：用500元购买的足球数量和400元购买的排球数量相等，列出分式方程，解方程即可；（2）设学校决定购买足球a个，本次购买花费y元，则购买排球个，求出，再由题意得，然后由一次函数的性质即可得出结论；（3）求出学校节约资金1000元，设学校再次购买足球m个，排球n个，再由题意：学校决定将节约下的资金全部用于再次购买足球和排球，列出二元一次方程，求出非负整数解，即可解决问题．（1）解：设每个足球的价格为x元，则每个排球的价格为元，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴，答：每个足球的价格为100元，每个排球的价格为80元；（2）解：设学校决定购买足球a个，本次购买花费y元，则购买排球个，则，解得：，由题意得：，∵，∴y随a的增大而增大，∴当时，y有最小值，答：本次购买最少花费4500元钱；（3）解：在（2）方案下，学校购买足球和排球各25个，花费4500元，∵体育用品超市为支持学校体育活动，对足球提供8折优惠，排球提供7.5折优惠，∴学校节约资金：（元），设学校再次购买足球m个，排球n个，由题意得：，整理得：，∵m、n都是非负整数，∴或或，∴学校再次购买足球和排球的方案有3个：①只购买10个足球；②购买6个足球，5个排球；③购买2个足球，10个排球．【点拨】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的