2023版大一轮数学人教A版 第3节第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第3节三角恒等变换

知识分类落实回扣知识-夯实基础

知识梳理

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(a切)=sinacos£±cosasinB.

cos(a+£)=cosqcoj6±sinasinB.

/八、1an.±tan£

tan(«±/-i干(anatan£，

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2a=2sinncosa.

cosla=cos』」一sin%=2COS、Q-1=1-2sin%.

2tanq

tan2a—

1—tan%

3.函数J(a)=6/sina+bcosa(a,b为常数)，可以化为fid)=yla2+h2sin(a+

9)(其中tan(p=§)或人㈤=受也+/Acos(a—其中tan(p=$

•——常用结论与微点提醒

1.tana±tanp=tan(a±/?)(1+tanotanB).

1+cos2a1—cos2a

2.co9sa=--2------，sirr9a=-----耳---.

3.1+sin2a=(sina+cosa)2,1-sin2a=(sina-cosa)2,

sina±cosa=^/5sin(a±g).

诊断自测

，思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“义”)

⑴两角和与差的正弦、余弦公式中的角a,夕是任意的.()

⑵存在实数a,}使等式sin(a+£)=sina+sin4成立.()

(3)公式tan(a+.)=可以变形为+tan

/1—tanatanptana,

=tan(a+/O(l—tanata”)，且对任意角a,夕都成立.()

(4)存在实数a,使tan2a=2tana.()

答案(1”(2)V(3)X(4)V

7T

解析(3)变形可以，但不是对任意的a,4都成立，a,1a+冲工+kit(kGZ).

3兀'

2.已知cosa=­3，aGn,则sin)

A-米B.噂7小D呼

C.10

3

亍

3.已知tan(a+¥=2,则tana=()

答案A

解析ta4a+*罟舞=2,解得tana]

2

4.(2020-全国11卷)若sinx=—y则cos2x=.

答案I

21

解析因为sin尤=-所以cos2x=1—2sin2x=Q.

3y

5.(2020.江苏卷)已知sin?隹+，=,,贝！Jsin2a的值是.

答案i

/_、，1cos(2+2a),i_•Q

解析因为sin哈+a号，所以-----1——即―—号，所以sin2a

1

3,

6.(2021.全国大联考)已知cos(a+1)—sina=^~^-,则sin^a+^^=

答案-f

解析由cos^a+^-sina=^cosa—^sina-sina

第一课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式

考点一公式的基本应用

1.(2019•全国I卷)tan255。=()

A.—2—仍B.—2+S

C.2—小D.2+小

答案D

,tan300+tan45°

解析tan255°=tan(180°+75°)=tan75』an(30°+45°)=1an3。旬45.

乎+1

——后=2+小.故选D.

1—近

13

2.（2021.武汉模拟）已知角a,』的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，

若角a,6的终边分别与单位圆交于点A（xi,；）,第2,1）,其中xi<0<X2,则cos（2a

一夕）=（）

7^5+8^28-—7小

A」2727—

7小—8/7小+8啦

C.27"•27

答案C

j2_______

解析由题意可知，sinsin由xi<0<%2可知cos。=一，1二sin^M

cos(3=71-sin2,=坐,所以cos2a=(一^^|一(；)

sin2a=2X

7小—8啦

所以夕

（智于普cos(2a—/7)=cos2acos+sin2asin4=―27―

3.（多选题）（2021•北京西城区模拟）下面各式中，正确的是（）

A.伊_1_叫.兀兀

A.sin（w十•=sin^cosQ

兀兀兀

D.cos■j^=COSQ-COS4

答案ABC

•.•sin［a+wj=sin71兀］兀.兀7171去；.A正确;

解析4cosg+cos4smsin4C0S3

5717兀

・cosn=_cosn="cosl

兀兀71

T-COS7C0ST,：.B正确;

—cos4cos

：.C正确；

兀(兀兀、兀兀

'/cos-j^=coslIT^COSCOS不二.D不正确.故选ABC.

4.已知tana=2,贝ijcos^2a+^=.

答案-14

解析cos(2a+］尸一sin2a=-2sinacosa

-2sinacosa-2tana4

sin2a+cos2atan2a+15

感悟升华1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.

2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.

考点二公式的逆用及变形

[例1](1)下列式子化简正确的是()

A.cos82°sin52°—sin82°cos52°=^

B.sin15°sin30°sin75°=^

tan480+tan72°

C-l-tan48°tan72°=

D.cos2150-sin215°=^-

(2)(2020•杭州模拟)函数/W=cosx—sin(x+2—sin，一聿)在[0,兀]的值域为()

1]B.[-2,1]

C.[-2,2]D.一;，1

(3)(1+tan17°)-(l+tan28°)的值为.

答案(1)D(2)B(3)2

解析(1)选项A中，cos82°sin520-sin82°cos52°=sin(52°-82°)=sin(-30°)

=—sin30°=—^,故A错误；

选项B中，sin15°sin30°sin75°=^sin15°cos15°=Tsin30°='1,故B错误；

Z4O

fan4S°+tan72°

选项C中，I,/Q。，»=tan(48°+72°)=tan120。=一小，故C错误；

1—tan48tan72v

S

选项D中，cos2150—sin215°=cos30°=2，故D正确.

(2)/(x)=cosx一坐sinx—^cos%—^sinx+^cosx=cosx—小sin%=2cosQ+§.

,.,(XW兀,苧W号，

则当x+^=兀时，函数取得最小值2cos兀=—2,当%十三=全时，函数取得最大值

兀1

2cosy=2X]=1,

即函数的值域为[—2,1].故选B.

(3)原式=l+tan170+tan280+tan170-tan28°=l+tan45°(l-tan17°-tan28°)+

tan17°-tan280=1+1=2.

感悟升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟

悉公式的逆用及变形应用，如tana+tan£=tan(a+£>(l—tanatan份和二倍角

的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思

维向逆向思维转化的能力.

【训练1】（1）（多选题）（2021.聊城质检）下列选项中，值为;的是（）

A•兀.5兀12

A.sin记sin行B.1—gcos215。

c^+上

c-sin50°^cos50°D.cos720-cos36°

2兀

(2)若a+/?=w，则4§tanatan4一tana—tan[i的值为.

答案⑴AD⑵小

解析(1)对于A,si啥si帝=sin自os盍=；sin^=：,故A正确；

-1r\*।

对于B,—3cos215°=—^(2cos215°—1)=-2C0S30°——»故B错误;

「h上cos50。+小sin50°

对于C，原式=Sin5。。5s5。。

2*sin50。+白cos50。o.Qnoo.Qno

122)2sin802sin800

=i=1=1=4故C错误;

]sin100。2sin100°2sin80°

1

“c-c2sin36°-cos36°-cos72°2sin72。*72。sin144。-

对于D,cos36°-cos72°=-------4

2、si.n360---4sin36°—4sin36°

故D正确.综上，选AD.

⑵,.,夕+夕=拳

(tana+tany?(兀、r

.•.tan(a+^)=1_tanatan^=tan^-3j=-V3,

可得tana+tanJ3(l—tanatanp),

.,.\3tana-tan/?—tana—tan/?=\3tanatan4一(tana+tan夕)=，^tanatan4+小

\/3tanatan4=市.

考点三角的变换师生共研

【例2】（1）（2020.全国III卷）已知sine+sin（e+'=1,则sin（8+*）=（）

⑵若0<a<^,苫<夕<0,cos住+a)=；,cose—9=坐，则cos(a+g)等于()

AB.—C*D

.坐J当Jy.尊y

(3)(2021・长春质量监测)若sin(e+/)=；,则sin(2。一：)=.

7

答

案

7H汨⑵C⑶-

(_

\9

解析(1)因为sine+sinB+1)=sinM+、—[+sin(e+1+2=sin(e+[cos看一

cos^(9+^jsin^+sin^+^jcos^+cos^+^,JjIsin匹2sin(6+*cos

66

小sin(8+*=1,所以sinM+g=坐故选B.

VO<a<^,则*:+a<寺,

sin《+a2^2

3,

l、*、20,&5s，…一

=W*丁+^—X宝=—.故选C.

333Dy

H2

⑶法一因为cos(20+；)=cos[2(e+m)=1—2sin2^+1^=1—2X

cos（26+；）=sinA（20+圳=5泊住一28）=-sin（2，一：）=，,所以sin（26-£

cos^2^+^j=(cos2。-sin29),sin(2。-g)=^(sin2。-cos20),所以sin(2。一争

=_cos(28+*_,.

感悟升华1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示.

⑴当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知南”的和或差的形

式；

(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的

关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.

山小，，b.a+Ba-Ba+B

2.常见的配角技巧：2a=(a+£)+(a一4)，a=(a+)ff)—/3=~o，^=~2~

(1)(2020.南昌三模)已知sin(a+*)=g,

【训练2】

(2)(2021・重庆调研改编)已知sing—£)=坐，则cos2a=,

答案(1)-1⑵,

解析⑴因为sin(a+*)=；,

sig(a+加

a+TUinla+Tl(、1

ko；Vo；(Tl\1

7㈤=—sm[a+?=一].

cosa+7

正

(2)法一因为

sin3

=|,cos[2^-1./兀a

+COS2q-3)=1,所以COS-sina=2cosI一]

所以cos2a=1—2sin2a=x

法二所以cos2a=1

-2sin2a=^.

A级基础巩固

一、选择题

1.已知a是第二象限角，且tana=一则sin2a=()

述述33

A.10B.10555

答案C

解析因为a是第二象限角，且tana=­/

诉2.遮W1P

所以sina=J。，cosa=~皤,

所以sin2a=2sinacosa=2X^^X(—今俱)=-1,故选C.

2.(2020•全国III卷)已知2tane—tan(6»+同=7,贝Utan。=()

A.-2B.-lC.lD.2

答案D

解析2tan0—tanf=2tan0—\~粤9=7,解得tan9=2.故选D.

kQ)1—tan0

3.(2020•揭阳一模)若sin作一2g)=,，则sin%—cos%的值为()

A,B.|C.—D.—|

答案D

解析sin(1—2a)=cos20=1,则sin4a—cos4a=sin2a—cos2a=—cos2a=—1.

4.(2021•烟台模拟)已矢口a£(0,兀)，2sin2a=cos2a—1,则cosa=()

B岩c邛D.昔

答案B

解析V2sin2a=cos2a—1,.*.4sinacosot=—2sin2a.

Vae(0,7i),/.sina>0,2cosot=—sina,/.cosa<0,结合sin2a+cos2a=1,得

亚

cosa

5,

5.已知cos(a-5+si…羊

)

2sR”

A.5B-5

答案C

7T兀71a=^cosa+^sina+sina

解析.cosa+sina=cosacos^+sinasin^+sin

亲。sa+翁广芈,

4cosa+^sina4

..(JR4

・・sin(a+不=_sin"+4—5,故选C.

6.(2021•全国大联考)已知sin(a+15o)=|,则cos(a—30。)=()

A呼

B-兴

J10D.

答案D

3444

解析Vsin(a+15°)=^,・・.cos(a+15。)=§或一5.当cos(a+15。)=§时，cos(a—

30°)=cos[(a+15°)-45°]=cos(a+15°)cos45°+sin(a+15°)sm45。=乎X《+|

55

7、历4

当cos(a+15°)=—§时，cos(a—30°)=cos[(a+15°)—45°]=cos(a+15°)

cos45°+sin(a+15°)sin45°=^xf—一求，.•.cos8—30。)=^^或一出,

故选D.

二、填空题

7.sin(«+£)cos(y—p)—COS(J3+a)sin(^—y)=.

答案sin(a+y)

解析sin(a+/?)cos(y—£)—cos(fi+a)sin(/f—y)

=sin(a+P)cos(£—7)—cos(a+P)sin(A—y)

=sin[(a+S)—伊-y)]=sin(a+y).

8.(2021•北京东城区模拟)已知cos2a=；,贝ijcos2(g+a)—2cos2(兀一a)的值为

答案T

解析cos2停+a)-2COS2(*TI-a)=(-sina)2—2(-cosa)2=sin2a—2cos2a=

1」

1—cos2a,3(।1、

2-(1+cos2a)=~2——(J+句=—].

9.tan200+tan40°+73tan20°tan40°=.

答案小

&力xr.tan200+tan40°

解析Vtan600=tan(20°+40°)=,_tan20Otan40O,

/.tan20°+tan40°=tan60°(l—tan20°tan40°)

=仍一/tan20°tan40°,

原式=小一小tan20°tan40。+小tan20°tan40。=4.

三、解答题

10.(2021•衡阳质检)已知函数/(x)=cos2x+sin(2x一

(1)求函数於)的最小正周期；

(2)若百，X(z)=1,求cos2a.

Q1

解(1)V/x)=cos2x+2sin2x—2C0S

二函数的最小正周期丁=多=兀.

⑵由/a)=1,可得sin(2a+*=g.

2a+6e

又0<sin(2a+511...兀__<571

=铲子..2a十胪IT71

2V2

・COS2a+

1l3'

cos2a=cos](2a+劳匹=cos(2a+57C1—2册

cos^+sin•sin

6N+(|66

1兀7Li、.

11.已知cosO'且]Va<7t,0<4<],求cos(a+£).

解由已知，得红a-专＜兀，0＜楙一夕等

a

一cos

2

则cos（a+/?）=2COS2＜Z^—1=-1|^.

B级能力提升

12.（多选题）（2021・潍坊调研）下列四个选项中，化简正确的是（）

A.cos（-15。）=逅子

B.cos15°cos105°+sin15°sin105°=0

C.cos(a—35°)cos(25°+a)+sin(a—35°)sin(25°+a)=：

D.sin14°cos160+sin76°cos7