2021届高三数学“小题速练”含答案解析03

2021届高三数学“小题速练”3

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.四个选项中只有一项符合题目要求.）

1.已知集合4={1,3,4,5},集合3={XGZ|X2—4X—5<0},则4口8的子集个数为（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【解析】由X2-4x—5<0,解得一l<x<5,所以8={0,1,2,3,4},所以Ac5={l,3,4},所以AcB

的子集个数为23=8,故选C.

2.已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为

A.t<-lB.t<-I

C.t<-3D.t>-3

【答案】A

【解析】由指数函数的性质，可得函数g（x）=3"+t恒过点坐标为（0,1+t）,函数g（x）是增函数，图象

不经过第二象限，...l+tWO,解得tW-1.故选A.

3.在一组样本数据（工2，%），…，（％，%）（*2，*，马…X,,不全相等）的散点图中，若所有

样本点a，yj（i=l，2,…都在直线*1-3?上，则这组样本数据的样本相关系数为（）

A.-3B.0C.-1D.1

【答案】C

【解析】

因为所有样本点（％,y）（i=l,2,…⑼都在直线y=-3x+l上，所以回归直线方程是y=-3x+l,可得这

两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点（玉,y）（i=l,2,..,"），都在直

线上，则有卜|=1,♦.•相关系数r=—1,故选C.

4.我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设AABC的三个内角

[/2212、2~1

48,。所对的边分别为。力,~面积为S,则“三斜求积”公式为5=-a2c2-二十C=二,若

n12〃

/sinC=5sinA,3+c）2=16+/,则用“三斜求积”公式求得8c的面积为（）

A且B.百C.—D.2

22

【答案】D

【解析】«2sinC=5sinA，a2c=5a，QC=5,因为（a+c>=16+〃，

<]--

所以，a2+c2-b2=\6-2ac^6,从而AABC的面积为52

VL

故选:D.

5.如图是当。取三个不同值3，/,%时的三种正态曲线，那，<CT1,%,%的大小关系是（）

y

-3-2-10123

A.er,>cr3>cr2>0B.0<巧<o3<^2

C.CTj>cr2>cr3>0D.0<0vc「2<%

【答案】D

【解析】

由图可知，三种正态曲线的〃都等于0

由〃一定时，b越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中，b越大，曲线越“矮胖”，表示总体的

分布越分散，则0<CT|<q<内

故选：D

S,,2〃一3a,

6.设数列{%},{〃,}均为等差数列，它们的前〃项和分别为S“，T”,若声=而暮，则社=（）

7151719

A.—B.—C.—D.—

19313437

【答案】B

【解析】】•••数列{4},{2}均为等差数列，它们的前〃项和分别为S“，T“,

9（%+%）

Sg_2_4+/_2as_as

799（优+4）h+瓦2bsb；

2

Sn2n-3.邑"

'于3〃+4.7一斤'.又一

故选：B.

7.双曲线C的左、右焦点分别为耳，后，且尸2恰好为抛物线>2=4x的焦点，设双曲线。与该抛物线的一

个交点为A，若|A&=|片闾，则双曲线c的离心率为（）

A.B.1+73C.2+V2D.2+

1+A/2百

【答案】A

【解析】工为抛物线>2=4x的焦点,

F2(1,0),F1(-1,0)

=忸闾=2,故A点坐标为。，2)或(1,一2)

|A/；；|=^[1-(-1)]2+22=272-则2a=2亚-2

解得。=近一1，又c=l

故选A

8.设函数/'(X)是函数〃x)(xeR)的导函数，当XHO时，/0)+2乂。<0,则函数

g(x)=/(x)-g的零点个数为()

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【解析】设尸(x)=d/(x)_l,则F(X)=X3/，(X)+3X2〃X)=X3/(x)+当

当XH0时，/，(x)+2ZH<0,

当x>0时，/>(),故尸(力<0,所以，函数y=F(x)在(0,+e)上单调递减；

当x<0时，/<0,故b'(x)>0,所以，函数y=*x)在(F,0)上单调递增.

所以*x)1rax=/(0)=—1<0,所以，函数y=E(x)没有零点，

故g(x)=〃》)-3=斗装也没有零点.

故选：D.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求的，全选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得。分.）

9.在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图,

其中分组的区间为[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],60分以下视为不及格,

若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（）

A.成绩在[70,80）的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000

C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分

【答案】ABC

【解析】由频率分布直方图可得，成绩在[70,80）的频率最高，因此考生人数最多，故A正确;

成绩在[40,60）的频率为0.01x10+0.015x10=0.25,因此，不及格的人数为4000x0.25=1000,故B

正确;

考生竞赛成绩的平均分约为45x0.1+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.15+95x0.1=70.5,故C正

确;

因为成绩在[40,70）的频率为0.45,在[70,80）的频率为0.3,

所以中位数为70+10x^=71.67,故D错误.

0.3

故选ABC.

10.己知函数/（x）=Asin（/x+e）|A>0,。>0，M<5）的最大值为拉，其图像相邻的两条对称轴之间

的距离为且/（x）的图像关于点（一1,。）对称，则下列结论正确的是（）.

SJT

A.函数/（x）的图像关于直线彳=在对称

B.当XG-W时，函数/（X）的最小值为一孝

C.若=,则sin,a—cos4a的值为一之

D.要得到函数/（X）的图像，只需要将&3=挺32欠的图像向右平移2个单位

【答案】BD

【解析】由题知：函数/（X）的最大值为五,所以A=J5.

因为函数/（X）图像相邻的两条对称轴之间的距离为^,

所以工=工，T=3-=冗,CD=2,/(x)=V5sin(2x+e)

22co

又因为的图像关于点（一1,0）对称，

所以/1_专）=001“_看+9]=0,—^+（p-k7r,keZ.

所以9=（+次力,左wZ.因为阚<、,所以尹=仁.

即/（x）=V^sin（2x+?）.

对选项A,/（亮灯）=0sin;r=O4土&,故A错误.

对选项B,xe——,2x+—G——

L66J6L62

当2x+^=q时，/(x)取得最小值一自，故B正确.

对选项C,f•^一a)=Vising-2a)=0cos2a=

3

得到cos2a=—.

因为sin,a-cos,a=卜击a+cos?6Z)(sin2rz-cos2a)=-cos"=--|,

故C错误.

对选项D,

g(x)=&cos2x的图像向右平移3个单位得到

6

y=y/2cos2-V2cos=41sin•^+[2x-?)]=esin(2尤+看，

故D正确.

故选：BD

11.在AABC中，D,E,F分别是边8C,AC,AB中点，下列说法正确的是()

A.AB+AC-AD=6

B.DA+EB+FC=0

若EH二呵

则而是丽在起的投影向量

\AB\\AC\\AD\

—.—.—.1

D.若点P是线段A。上的动点，且满足BP=28A+〃3C,则入〃的最大值为7

8

【答案】BCD

【解析】

如图所示:

对选项A，AB+AC-AD=2AD-Ab=AD^Q>故A错误.

对选项B,DA+EB+FC^--(AB+AC)--(BA+BC)--(CA+CB)

222

=」通」正」丽」及」画」函

222222

=--AB--AC+-AB--BC+-AC+-BC=6,故B正确.

222222

ADAr1AH

对选项C,.,—.,=丁分别表示平行于入以，AC，的单位向量,

1阴|AC|\AD\

APA(^

由平面向量加法可知：=+=为的平分线表示的向量.

|AB|\AC\

Ti?AH

因为驾-+，所以AO为NB4C的平分线,

\AB\\AC\\AD\

又因为AD为BC的中线，所以AOL8C,如图所示:

BD

丽在就的投影为网cos3=|网?BD

BA

所以亦是丽在比的投影向量，故选项C正确.

对选项D,如图所示：

因为P在AO上，即AP,。三点共线,

设丽=曲+（1一）而，0<r<l.

又因为方方=,百+,所以丽=/丽+支"0耳已

22

2=/

因为8户=%明+则vl-t，()<r<l.

Ajcl。，1/12

号y=lm-1?----Q——x)'+一,

2228

当，=，时，取得最大值为故选项D正确.

28

故选：BCD

12.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,…,

该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列

数组成的数列｛0｝称为斐波那契数列.并将数列｛0｝中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为

{5,},则下列结论正确的是()

A.g269=2B."/3)-(％)2+"%)—(%了=0

C.gi+gz+g?^,+g2019=2688D.ft+f2+于3+…+6()19=2&0I8&020

【答案】AB

【解析】对于A选项：

g|=Lg2=l，g3=2送4=3曲=Lg6=°，g7=1送8=Lg9=2，g|0=3，g|I=l，g|2=°，…，

所以数列{5,}是以6为最小正周期的数列，又2019=6x336+3,所以g2(n9=2,故A选项正确；

d

对于C选项：g]+g2+S3----Fg2()i9=336x(1+1+2+3+1+0)+(1+1+2)=2692,故C选项错误；

对于B选项：斐波那契数列总有：fn+2=fn+x+fn，

所以（%）=人2（/3-%）=力2%-为2月，=—=

(Al)fl\(^2A))

所以（以力3）—（人2）2+（力。右2）_（%）2=0,故B正确；

对于D选项：•."=为＜+2=/出叱,，，（工）2=工人，人2=人（八一工）=力人一人工,

力2=力（力一右）=力力一人人,

力/=fn+i(力+2—力)=(),+2—4+工。

所以k+力2+6+•..+#19

=1&+(/力—//)+(/力-为人)+…+(身)18>/i019-月)18人)17)+(%19月)20一方019人018)

=人019人020,故D选项错误;

故选：AB.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知(ox?-I)',>0)的展开式中第6项的系数为-189,则展开式中各项的系数和为.

【答案】128

777

【解析】由题意，通项为：7；+1=C*(ar)-*(-l)*=(-l/a-*C；-*x-*,

由于(ox?一I)，(a>0)的展开式中第6项的系数为-189,

则第六项系数为：(-1),7-5&=-189,解得：a=3,

故该二项式为(3f—I)?,

令x=l得展开式各项系数的和为：27=128.

故答案为：128.

14.已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码

的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为.

75

【答案】市

【解析】由分步乘法计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回，进行6次一共有4X4XKX4=46

种不同的取法.

恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码，三种号码出现的次数分别为

3,1,1或者2,2,1,

三种号码分别出现3,1,1且6次时停止的取法有国或U^xl=240种，

r2r2

三种号码分别出现2,2,1且6次时停止的取法有A；xlxl=360种,

由分类加法计数原理知恰好取6次卡片时停止，共有240+360=600种取法,

60075

所以恰好取6次卡片时停止的概率为：P=

75

故答案为:

512

15.已知直线y=2x+l与圆Y+yZ+or+Zy+JO交于A、3两点，直线的+丁+2=0垂直平分弦A8，

则m的值为,弦AB的长为