广东省茂名市信宜市2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题【含答案】

2023-2024学年第二学期高二段考二数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分.在每小题所给的选项中，只有一个符合题目要求的.1．七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：，则这组分数的中位数和众数分别是（

）A．84，85 B．84，84 C．85，84 D．85，852．若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（

）A．6 B．或 C． D．或3．已知是的中线，，则（

）A． B．C． D．4．现有上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为的圆台，则其体积为（

）A． B． C． D．5．已知，则（

）A． B． C． D．6．某校A､B､C､D､E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有（

）种.A．18 B．36 C．60 D．727．已知两条不同直线，，三个不同平面，，，下列命题中正确的是A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则8．若的展开式中的系数为，则a的值为（）A．2 B．3 C．1 D．4二、多选题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中.有两个或三个符合题意，全对的得6分，部分选对的得2分或4分，有选错的得0分.9．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”为自然对数的底数，为虚数单位依据上述公式，则下列结论中正确的是（

）A．复数为纯虚数B．复数对应的点位于第二象限C．复数的共轭复数为D．复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆10．函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（

）A． B．函数的图象关于点对称C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减11．已知是定义在上的偶函数，且，当时，+1，则下列各选项正确的是（

）A．当时，B．的周期为4C．D．的图象关于对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是.13．在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线上的圆的标准方程为．14．国家主席习近平在十九大报告中指出，坚持人与自然和谐共生．必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，坚持节约资源和保护环境的基本国策．某林区一片森林2019年底的木材总量为a万立方米，由于环境保护，树木的木材总量每年在上一年的基础上增加15%，则至少经过年，使得木材总盘翻两番．（参考数据：，，）四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15．在①，②其前项和为，③其前项和为，三个条件中任选一个，补充到横线处，并解答.已知数列为等差数列，(1)求数列的通项公式.(2)若，证明数列的前项和满足.16．如图，在三棱柱中，平面，，，，点分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．(1)求证：；(2)求二面角的正弦值；(3)求直线与平面所成角的正弦值．17．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若，证明：.18．随着智能手机的迅速普及，外卖点餐也开始成为不少人日常饮食中的一部分，但方便群众生活的同时，部分外卖派送人员诸如服务态度差､派送不及时､包装损坏等一系列问题也让市民感到不满，影响了整个行业的持续健康发展.市外卖行业协会为掌握本市外卖派送人员的服务质量水平，随机选取了名外卖派送人员，并针对他们的服务质量细化打分(满分分)，根据他们的服务质量得分分成以下组：，，，…，，统计得出以下频率分布直方图：（1）求这名外卖派送人员服务质量的平均得分(每组数据以区间的中点值为代表)；（2）市外卖派送人员的服务质量得分(单位：分)近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数.若市恰有万名外卖派送人员，试估计这些外卖派送人员服务质量得分位于区间的人数；（3）为答谢外卖派送人员积极参与调查，该协会决定给所抽取的这人一定的现金补助，并准备了两种补助方案.方案一：按每人服务质量得分进行补助，每分补助元；方案二：以抽奖的方式进行补助，得分不低于中位数的可抽奖次，反之只能抽奖次.在每次抽奖中，若中奖，则补助元/次，若不中奖，则只补助元/次，且假定每次中奖的概率均为.问：哪一种补助方案补助总金额更低.参考数据：若随机变量Z服从正态分布，即，则，.19．已知椭圆离心率，短轴长为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线过椭圆的右焦点，并与椭圆相交于，两点，截得的弦长为，求直线的方程；(3)如图，椭圆左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．试问：以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．

1．B【分析】利用中位数和众数的定义进行判断.【详解】数据按从小到大的顺序排一列：所以这组分数的中位数和众数分别是84，84，故A，C，D错误.故选：B.2．D【分析】根据离心率的计算公式，分焦点的位置，讨论即可求解．【详解】当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为；当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为．故选：D．3．D【分析】利用向量的线性运算求解.【详解】.故选：D.4．B【分析】由求得圆台的高，再根据圆台体积公式即可求解.【详解】由，则圆台的高，根据圆台体积公式得.故选：B.5．D【分析】利用两角差的正弦公式及诱导公式求出，再由诱导公式及二倍角公式公式计算可得.【详解】因为，所以，所以，所以.故选：D.6．B【分析】因为在的前面出场，且，都不在3号位置，分在1号位置，在2号位置，在4号位置三种情况进行分类，在利用排列公式及可求出结果.【详解】因为在的前面出场，且，都不在3号位置，则情况如下：①在1号位置，又2、4、5三种位置选择，有种次序；②在2号位置，有4,5号两种选择，有种次序；③在4号位置，有5号一种选择，有种；故共有种.故选：B.7．D【分析】根据线面平行的性质可判断AB的正误，根据空间中垂直关系的性质可判断CD的正误.【详解】对于A，若，，则或相交或异面，A不正确；对于B，若，，则或，相交，选项B不正确；对于C，若，，则或，相交，选项C不正确；对于D，若，则垂直于内的任意一条直线，而，所以选项D正确．故选：D.8．A【分析】由题得，再借助二项式展开式的通项分两种情况讨论得解.【详解】依题意，，展开式的通项为，当时，，此时展开式的的系数为，当时，，此时展开式的的系数为，所以展开式中的系数为，所以.故选：A9．ABD【分析】根据给定的公式，结合复数的相关概念逐项分析判断即得.【详解】对于A，，则为纯虚数，A正确；对于B，，而，即，则复数对应的点位于第二象限，B正确；对于C，，复数的共轭复数为，C错误；对于D，，复数在复平面内对应的点的轨迹是半径为的半圆，D正确．故选：ABD10．ABD【分析】首先化简函数，再根据函数的图象求函数的解析式，结合三角函数的性质，即可判断A，B；利用图象平移求函数的解析式，再结合函数的性质，即可判断C，D.【详解】函数，当，此时，，因为，所以，所以，故A正确；，所以关于点对称，故B正确；函数图象向左平移个单位长度后得到，，当时，，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；，当时，，所以函数在上单调递减，故D正确.故选：ABD11．AB【分析】利用是定义在上的偶函数可判断A；利用得的周期可判断BC；利用特殊值可判断D.【详解】是定义在上的偶函数，设，则，，故A正确；由得，的周期为4，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：AB.12．【分析】先求出的定义域得到集合A，再根据子集的定义即可求得a的取值范围.【详解】，则或，即或.①当时，，满足，符合题意；②当时，，所以若，则有或（舍），解得；③当时，，所以若，则有或（舍），解得.综上所述，.故答案为：13．【分析】根据题意，圆心在线段AB的垂直平分线上，求得线段AB的垂直平分线方程，联立方程组，求得圆心坐标和圆的半径，即可得到圆的标准方程．【详解】根据题意，圆经过点，则圆心在线段AB的垂直平分线上，又由点，则线段AB的垂直平分线方程为，则有，解可得，即圆心为，圆的半径，故圆的方程为．【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中解答中合理利用圆的性质，确定AB的垂直平分线的方程，列出方程组，求得圆的圆心坐标和半径是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14．10【分析】根据题意可得年后：木材总量为万立方米，即可利用对数的运算性质求解.【详解】2019年底的木材总量为a万立方米，1年后：2020年底的木材总量为万立方米，2年后：2021年底的木材总量为万立方米，3年后：2022年底的木材总量为万立方米，……年后：木材总量为万立方米，由木材总量翻两番即为4a，令，，．又，，故至少经过10年，才能使得木材总量翻两番．故答案为：1015．(1)无论选条件①，②，③，都有(2)证明过程见解析【分析】（1）若选条件①，有，，由此可得，进一步求出公差即可；若选条件②，由等差数列求和公式即等差数列基本量的计算列方程组求得首项、公差即可；若选条件③，分是否等于1进行讨论，结合的关系进行求解即可；（2）由裂项相消法求和即可得证.【详解】（1）已知数列为等差数列，若选①，，注意到，解得，从而，所以，若选②其前项和为，则，解得，所以，若选③其前项和为，，首先，其次时，，当时，也满足，故，综上无论选条件①，②，③，都有.（2）由题意，所以.16．(1)证明见解析(2)(3)【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.（1）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；（2）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（3）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得、、、、、、、、.依题意，，，从而，所以；（2）依题意，是平面的一个法向量，，．设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得．，．所以，二面角的正弦值为；（3）依题意，．由（2）知为平面的一个法向量，于是．所以，直线与平面所成角的正弦值为.17．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）将原函数求导，就参数进行分类讨论导函数的符号，即得函数的单调性；（2）构造函数，在条件下，判断的符号，得到得证.【详解】（1）的定义域,若则在上单调递增；若当时，则单调递减，时，则单调递增.综上：当时，在上单调递增，无减区间；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）因，设则，则在上单调递减，故.18．（1）；（2）(人)；（3）选择方案二补助的总金额更低.【分析】（1）根据平均数等于小矩形的面积乘以小矩形底边中点横坐标之和即可求解.（2）利用正态分布的原则得出即可求解.（3）求出方案一所补助的总费用；按方案二：设一个人所得补助为元，则的可能取值为，，，，由概率的乘法公式求出各随机变量的概率，再利用离散型随机变量的数学期望计算公式求出方案二补助的总金额即可求解.【详解】解：（1）由题意知：中间值概率所以样本平均数为.所以这名外卖派送人员服务质量的平均得分为.（2）由（1）可知，故，所以，而.故万名外卖派送人员中服务质量得分位于区间的人数约为(人).（3）按方案一：所补助的总费用为(元)按方案二：设一个人所得补助为元，则的可能取值为，，，.由题意知，，，，，，所以的分布列为，估算补助的总金额为：(元).，所以选择方案二补助的总金额更低.19．(1)(2)和(3)以为直径的圆过定点；证明见解析【分析】(1)由题意可得，，可解得,即可求得椭圆方程；(2)分直线的斜率存在