湖南省株洲市炎陵县2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题【含答案】

炎陵县2024年上期高二期末考试·数学卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．已知随机变量服从二项分布，则（

）A． B． C． D．2．已知变量x与y的回归直线方程为，变量y与z负相关，则（

）A．x与y负相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z正相关 D．x与y正相关，x与z负相关3．设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B． C． D．4．已知函数，则（

）A．1 B． C．2 D．5．某校5名同学到A、B、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学.若同学甲去A公司，则不同的安排方法共有（

）A．18种 B．30种 C．42种 D．60种6．有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（

）A． B． C． D．7．函数的图象如图所示，则（

）A． B．1 C． D．8．已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设、是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列选项一定正确的是（

）A． B．C． D．10．设，这两个正态曲线如图所示.则（

）

A． B．C． D．11．已知函数，则（

）A．有两个极值点B．有一个零点C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．的展开式中的系数为（用数字作答）13．已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是14．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是小时．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)求函数在上的单调区间和最小值.16．在中，内角的对边分别为．已知，．(1)求的值；(2)若，求的面积．17．某学校举办数学建模知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题分值均为30分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低于70分即可获奖．已知甲答对第一、二、三题的概率均为，乙答对第一、二、三题的概率分别为，，，且甲、乙每次答对与否互不影响．(1)求甲的累计得分的分布列和期望；(2)在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率．18．如图，在四棱锥，，，E为PC的中点．(1)证明：直线平面PAD；(2)若平面平面ABCD，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．19．为考察药物对预防疾病以及药物对治疗疾病的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）药物疾病未患病患病合计未服用服用合计(1)依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性；(2)用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取只，用药物进行治疗．已知药物的治愈率如下：对未服用过药物的动物治愈率为，对服用过药物的动物治愈率为．若共选取次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的只动物中被治愈的动物个数为，求的分布列和数学期望．附：，.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.8281．D【分析】代入二项分布的方差公式，即可求解.【详解】由随机变量服从二项分布，可得.故选：D.2．D【分析】根据已知条件，结合回归方程可判断x与y正相关，再由变量y与z负相关，即可判断x与z负相关.【详解】根据回归方程可知变量x与y正相关，又变量y与z负相关，由正相关、负相关的定义可知，x与z负相关.故选：D3．B【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.4．D【分析】其中为常数，求出函数的导函数，代入求解，从而可以求解.【详解】由于函数，则其导函数为：，代入，可得：，解得：，所以，所以.故选：D5．B【分析】分只有同学甲去A公司及除同学甲外还有一名同学去A公司进行讨论，结合排列数与组合数的计算即可得.【详解】若只有同学甲去A公司，则共有种可能，若除同学甲外还有一名同学去A公司，则共有种可能，故共有种可能.故选：B.6．B【分析】先将4个盒子进行全排，若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，则前两个盒子都是白球或都是黑球，分别计算出排列数，即可得到答案.【详解】将4个盒子按顺序拆开有种方法，若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，则前两个盒子都是白球或都是黑球，有种情况，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为.故选：B7．D【分析】先利用图象分析得到解析式，再计算即可.【详解】由图象可知，，，，时，，解得，故，故.故选：D.【点睛】根据图象求函数解析式：（1）利用最值确定A值；（2）利用图象求周期，根据求；（3）利用特殊点整体代入法确定值.8．A【分析】令，由已知可得为上的增函数，从而可得恒成立，参变分离可求的取值范围.【详解】根据可知，令，可得为上的增函数，所以恒成立，分离参数得，而当时，，当且仅当，即时取等号，故最大值为，所以，所以的取值范围是.故选：A.9．AC【分析】根据条件概率公式求出，再由概率加法公式求出.【详解】因为，，所以，故A正确，B错误；又且，所以，故C正确，D错误.故选：AC10．BD【分析】由已知图象可得与，与的大小关系，然后利用正态分布的性质逐一分析各选项即可得解.【详解】因为，两曲线分别关于和对称，所以由图可知，，所以A错误；因为X的分布曲线“高瘦”，Y的分布曲线“矮胖”，所以，所以B正确；由正态分布在区间上的概率的几何意义，有，C错误；，D正确.故选：BD11．ABC【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值点的概念、零点的存在性定理即可判断AB；根据奇函数图象关于原点对称和函数图象的平移变换即可判断C；根据导数的几何意义即可判断D.【详解】A：，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以时取得极值，故A正确；B：因为，，，所以函数只在上有一个零点，即函数只有一个零点，故B正确；C：令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；D：令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的性质和函数图象的平移变换，其中选项C，构造函数，奇函数图象关于原点对称推出的对称性是解决本题的关键.12．【分析】根据题意，结合二项式的展开式的性质，准确计算，即可求解.【详解】由题意，多项式的展开式中含有的项为：，所以的系数为．故答案为：.13．3【分析】求出在点处的切线方程为，设该切线与切于点，求导得到，求出，从而得到方程，求出答案.【详解】由题意知，，，，则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，其中，则，解得，将代入切线方程，得，则，解得；故答案为：314．24【分析】结合题意可得，计算即可得，则将代入计算即可得.【详解】由题意得，即，所以该食品在的保鲜时间是：．故答案为：24.15．(1)(2)答案见解析【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程，（2）分类讨论即可根据导函数的正负，即可求解单调性得解.【详解】（1）当时，，则，故，，故切线方程为，即，（2）且，当时，，的单调增区间为，；当时，当时，，当时，，所以的单调减区间为，单调增区间为，；当时，，所以的单调减区间为，16．(1)(2)【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系及三角形内角的特点，先求出角的三角函数，把转化成，再利用两角和的三角公式展开化简，可求得的值.（2）根据（1）的结论，结合正弦定理，先求出边，再利用求，利用可得所求三角形的面积.【详解】（1）∵，∴，又＝．整理得：．（2）由为三角形内角且，．又由正弦定理知：，故．又.∴的面积为：．17．(1)分布列见解析，(2)【分析】（1）由题意知：甲、乙每次答对与否互不影响，利用独立事件的概率公式求出相应概率，从而得到的分布列及期望；（2）根据题目发现该问考查条件概率，利用条件概率公式进行求解，或者利用条件概率的本质特征，样本空间缩小，进行求解.【详解】（1）由题意知：甲累计得分的可能取值有：，所以，，，，，，的分布列为：030406070100.（2）法一：根据题意得：得分不低于70分即可获奖，由（1）知：甲获奖的概率为，乙获奖的概率为：，乙只得70分的概率为：，所以甲、乙两人同时获奖的概率为：，甲、乙均获奖且甲累计得分比乙高的概率为：，所以，在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率为：.法二：已知得分不低于70分才可获奖，即甲、乙的得分应为70或100，共计4种情况，其中，甲比乙高的情况，只有甲获得100分，乙获得70分时一种情况，故概率为：.18．(1)证明见解析(2)．【分析】（1）根据线面平行及面面平行判定定理，面面平行性质定理可证；（2）根据面面垂直性质定理，应用空间向量法求线面角即可.【详解】（1）取CD的中点M，连接EM，BM，因为，所以．因为，，所以，，．又因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD因为E为PC的中点，M为CD的中点，所以．又因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD又因为，，所以平面平面PAD．而平面BEM，故平面PAD．（2）因为平面平面ABCD，连接AC交BD于点O，连PO，由对称性知，O为BD中点，且．如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，过点O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，．设，则，，得，，．设平面PCD的一个法向量为，由于，，则得令，得，，故，设直线AB与平面PCD所成角为，由于，则，故直线AB与平面PCD所成角的正弦值为．19．(1)认为药物对预防疾病有效果(2)分布列见解析，期望为【分析】（1）提出零假设为药物对预防疾病无效果，根