高考数学大题精做专题07比较两类方法或者策略的分析问题(第四篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第四篇概率与统计专题07比较两类方法或者策略的分析问题类型对应典例利用方案的数学期望（均值）的大小进行决策典例1利用平均利润的大小进行比较方案典例2回归方程模型拟合效果好坏的判断典例3利用方差的大小进行方案的决策典例4根据变量的取值不同进行方案的决策典例5利用相关指数判断拟合效果更好典例6【典例1】【2020届河北省保定市高三上学期期末】某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验960人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验960次.方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验一次）；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验.这样，该组个人的血总共需要化验次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.（1）设方案②中，某组个人中每个人的血化验次数为，求的分布列；（2）设.试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）.【思路引导】（1）根据概率性质可知若每个人的血样化验呈阳性的概率为,则每个人的血呈阴性反应的概率为.由独立性事件概率性质可得个人的血混合后呈阴性反应和呈阳性反应的概率.即可由血化验次数为得其分布列.（2）结合（1）可求得平均每个人化验次数.当时,.将分别取2,3,4,代入平均化验次数的表达式,即可求得化验次数.根据结果,即可求得相比方案①,化验次数最多平均减少的次数.【典例2】【2020届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第5次月】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为，当时，产品为一级品；当时，产品为二级品；当时，产品为三级品.现用两种新配方（分别称为配方和配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：配方的频数分布表指标值分组频数10304020配方的频数分布表指标值分组频数510153040（1）从配方生产的产品中按等级分层抽样抽取5件产品，再从这5件产品中任取3件，求恰好取到1件二级品的频率；（2）若这种新产品的利润率与质量指标满足如下条件：，其中，请分别计算两种配方生产的产品的平均利润率，如果从长期来看，你认为投资哪种配方的产品平均利润率较大?【思路引导】（1）按分层抽样抽取的5件产品中有2件为二级品，记为，，有3件为一级品，记为，，，可得从这5件产品中任取3件的取法及恰好取到1件的取法，可得答案；（2）分别将与用表示，计算出的值，由可得哪种配方的产品平均利润率较大.【典例3】【2019届重庆市第八中学校高考全真模拟】新疆在种植棉花有着得天独厚的自然条件，土质呈碱性，夏季温差大，阳光充足，光合作用充分，生长时间长，这种环境下种植的棉花绒长､品质好､产量髙，所以新疆棉花举世闻名.每年五月份，新疆地区进入灾害天气高发期，灾害天数对当年棉花产量有着重要影响，根据过去五年的数据统计，得到相关数据如下表:灾害天气天数(天)23458棉花产量(吨/公顷)3.22.421.91.7根据以上数据，技术人员分别借助甲､乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲:，方程乙:.（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务:①完成下表；(计算结果精确到0.1)②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并比铰的大小，判断哪个模型拟合效果更好?灾害天气天数(天)23458棉花产量(吨公顷)3.22.421.91.7模型甲估计值2.42.11.6残差00.1模型乙估计值2.321.9残差0.100（2）根据天气预报，今年五月份新疆市灾害天气是6天的概率是0.5，灾害天气是7天的概率为0.4，灾害天气是10天的概率为0.1，若何女士在新疆市承包了15公顷地种植棉花，请你根据第(1)问中拟合效果较好的模型估计一下何女士今年棉花的产量.(计算过程中所有结果精确到0.01)【思路引导】（1）根据已知模型计算，然后计算残差平方和，小的效果好；（2）利用模型2估算出灾害天气为6，7，10时的棉花产量，得分布列，由期望公式计算期望后可得．【典例4】【2020届山东省枣庄、滕州市高三上学期期末考试】2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0.项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p和.（1）若投资项目一，记为盈利的天坑院的个数，求（用p表示）；（2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为百万元，求（用p表示）；（3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由.【思路引导】（1），易求得期望值；（2）只取两个值：2和-1.2，列出分布列，可得期望；（3）投资一的盈利期望为，，再计算出，然后分类，时比较和，，．先盈利大的，盈利相同时选稳定的．【典例5】【2020年1月广东省大联考高三数学】某城市有东、西、南、北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵，交警部门记录了11月份30天内的拥堵情况（如下表所示，其中●表示拥堵，○表示通畅）.假设每个人口是否发生拥堵相互独立，将各入口在这30天内拥堵的频率代替各入口每天拥堵的概率.11.111.211.311.411.511.611.711.811.911.1011.1111.1211.1311.1411.15东入口●○○○○●○●●○●●●○●西入口○○●●○●○●○●○●●○○南入口○●○○○●○○○○○○○○●北入口●○○○●○○●○○○○○●○11.1611.1711.1811.1911.2011.2111.2211.2311.2411.2511.2611.2711.2811.2911.30东入口●○○●○○○●●○●○●○●西入口●○●●○●○●○●○●○●○南入口○○○●○○○○●○○○○○●北入口○○●○○○○○○○○○○●○（1）分别求该城市一天中早高峰时间段这四个主干道的入口发生拥堵的概率.（2）各人口一旦出现拥堵就需要交通协管员来疏通，聘请交通协管员有以下两种方案可供选择.方案一：四个主干道入口在早高峰时间段每天各聘请一位交通协管员，聘请每位交通协管员的日费用为（，且）元.方案二：在早高峰时间段若某主干道入口发生拥堵，交警部门则需临时调派两位交通协管员协助疏通交通，调派后当日需给每位交通协管员的费用为200元.以四个主干道入口聘请交通协管员的日总费用的数学期望为依据，你认为在这两个方案中应该如何选择？请说明理由.【思路引导】（1）根据所给数据利用古典概型的概率公式计算可得.（2）计算出方案二聘请交通协管员的日总费的期望值，结合方案一比较分析.【典例6】【四川省成都市树德中学2019-2020学年高三11月阶段性检测】某市房管局为了了解该市市民年月至年月期间买二手房情况，首先随机抽样其中名购房者，并对其购房面积（单位：平方米，）进行了一次调查统计，制成了如图所示的频率分布直方图，接着调查了该市年月至年月期间当月在售二手房均价（单位：万元/平方米），制成了如图所示的散点图（图中月份代码分别对应年月至年月）.（1）试估计该市市民的购房面积的中位数；（2）从该市年月至年月期间所有购买二手房中的市民中任取人，用频率估计概率，记这人购房面积不低于平方米的人数为，求的数学期望；（3）根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为和，并得到一些统计量的值如下表所示：请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测出年月份的二手房购房均价（精确到）（参考数据），，，，，，.（参考公式）.【思路引导】（1）利用中位数两边矩形面积之和均为可计算出中位数的值；（2）由题意可知，，然后利用二项分布的期望公式求出的值；（3）计算出两个回归模型的相关指数，选择相关指数较大的回归模型较好，然后将年月份对应的代码代入回归方程可求出年月份的二手房购房均价的估计值.【针对训练】1.【四川省成都市棠湖中学2019届高三上学期第一次月考】某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；（2）试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．2.【2020届湖南省益阳市高三上学期期末】某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提出了甲、乙两个改进方案：甲方案是引进一台新的生产设备，需一次性投资1000万元，年生产能力为30万件；乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投入700万元，年生产能力为20万件.根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产设备还是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为15元/件（不含一次性设备改进投资费用）.（1）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立.①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率：②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该服装厂应选择哪个方案.（6年的净利润=6年销售利润-设备改进投资费用）3.【山东省烟台市2019-2020学年高三上学期期末】某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为.（1）求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；（2）为提高生产效益，该企业决定招聘名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修.已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元.此外，统计表明，每月在不出故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？（实际获利=生产线创造利润-维修工人工资）4.【安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测】某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？5.【北京市西城区2019-2020学年高三上学期期末】高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统计,在2018年这一年内从市到市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为万人次.为了解乘客出行的满意度,现从中随机抽取人次作为样本,得到下表(单位:人次):满意度老年人中年人青年人乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分(满意)1212022015分(一般)2362490分(不满意)106344（1）在样本中任取个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;（2）在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取人次,记其中老年人出行的人次为.以频率作为概率,求的分布列和数学期望;（3）如果甲将要从市出发到市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机?并说明理由.6.【湖南省长沙市第一中学、株洲二中等湘东七校2019-2020学高三上学期12月月考】有两种理财产品和，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：产品：投资结果获利不赔不赚亏损概率产品：投资结果获利不赔不赚亏损概率注：，（1）若甲、乙两人分别选择了产品投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数的取值范围；（2）若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想.7.【四省八校2019-2020学年高三第二次教学质量检测】某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.（1）若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：个，）的函数解析式；（2）烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量（单位：个），整理得下表：日需求量14151617181920频数10201616151310①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，表示当天的利润（单位：元），求的分布列与数学期望及方差；②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第四篇概率与统计专题07比较两类方法或者策略的分析问题类型对应典例利用方案的数学期望（均值）的大小进行决策典例1利用平均利润的大小进行比较方案典例2回归方程模型拟合效果好坏的判断典例3利用方差的大小进行方案的决策典例4根据变量的取值不同进行方案的决策典例5利用相关指数判断拟合效果更好典例6【典例1】【2020届河北省保定市高三上学期期末】某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验960人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验960次.方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验一次）；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验.这样，该组个人的血总共需要化验次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.（1）设方案②中，某组个人中每个人的血化验次数为，求的分布列；（2）设.试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）.【思路引导】（1）根据概率性质可知若每个人的血样化验呈阳性的概率为,则每个人的血呈阴性反应的概率为.由独立性事件概率性质可得个人的血混合后呈阴性反应和呈阳性反应的概率.即可由血化验次数为得其分布列.（2）结合（1）可求得平均每个人化验次数.当时,.将分别取2,3,4,代入平均化验次数的表达式,即可求得化验次数.根据结果,即可求得相比方案①,化验次数最多平均减少的次数.解：（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为,则.所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为,呈阳性反应的概率为.依题意可知,所以的分布列为：P（2）方案②中.结合（1）知每个人的平均化验次数为：,所以当时,,此时960人需要化验的总次数为662次,时,,此时960人需要化验的总次数为580次,时,,此时960人需要化验的次数总为570次,即时化验次数最多,时次数居中,时化验次数最少而采用方案①则需化验960次,故在这三种分组情况下,相比方案①,当时化验次数最多可以平均减少次.【典例2】【2020届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第5次月】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为，当时，产品为一级品；当时，产品为二级品；当时，产品为三级品.现用两种新配方（分别称为配方和配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：配方的频数分布表指标值分组频数10304020配方的频数分布表指标值分组频数510153040（1）从配方生产的产品中按等级分层抽样抽取5件产品，再从这5件产品中任取3件，求恰好取到1件二级品的频率；（2）若这种新产品的利润率与质量指标满足如下条件：，其中，请分别计算两种配方生产的产品的平均利润率，如果从长期来看，你认为投资哪种配方的产品平均利润率较大?【思路引导】（1）按分层抽样抽取的5件产品中有2件为二级品，记为，，有3件为一级品，记为，，，可得从这5件产品中任取3件的取法及恰好取到1件的取法，可得答案；（2）分别将与用表示，计算出的值，由可得哪种配方的产品平均利润率较大.解：（1）由题知，按分层抽样抽取的5件产品中有2件为二级品，记为，，有3件为一级品，记为，，，从5件产品中任取3件共有10种取法，枚举如下：，，，，，，，，，其中恰好取到1件二级品共有6种取法，所以恰好取到1件二级品的概率为.（2）由题知配方生产的产品平均利润率，配方生产的产品平均利润率，所以，因为，所以，所以投资配方的产品平均利润率较大.【典例3】【2019届重庆市第八中学校高考全真模拟】新疆在种植棉花有着得天独厚的自然条件，土质呈碱性，夏季温差大，阳光充足，光合作用充分，生长时间长，这种环境下种植的棉花绒长､品质好､产量髙，所以新疆棉花举世闻名.每年五月份，新疆地区进入灾害天气高发期，灾害天数对当年棉花产量有着重要影响，根据过去五年的数据统计，得到相关数据如下表:灾害天气天数(天)23458棉花产量(吨/公顷)3.22.421.91.7根据以上数据，技术人员分别借助甲､乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲:，方程乙:.（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务:①完成下表；(计算结果精确到0.1)②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并比铰的大小，判断哪个模型拟合效果更好?灾害天气天数(天)23458棉花产量(吨公顷)3.22.421.91.7模型甲估计值2.42.11.6残差00.1模型乙估计值2.321.9残差0.100（2）根据天气预报，今年五月份新疆市灾害天气是6天的概率是0.5，灾害天气是7天的概率为0.4，灾害天气是10天的概率为0.1，若何女士在新疆市承包了15公顷地种植棉花，请你根据第(1)问中拟合效果较好的模型估计一下何女士今年棉花的产量.(计算过程中所有结果精确到0.01)【思路引导】（1）根据已知模型计算，然后计算残差平方和，小的效果好；（2）利用模型2估算出灾害天气为6，7，10时的棉花产量，得分布列，由期望公式计算期望后可得．解：（1）①完成表格如下:灾害天气天数(天)23458棉花产量(吨/公顷)3.22.421.91.7模型甲估计值3.12.42.11.91.6残差0.1000.1模型乙估计值3.22.321.91.7残差00.1000②计算模型甲的残差平方和为，模型乙的残差平方和为，∴，模型乙的拟合效果更好.（2）设今年棉花的单位产量为吨公顷，则的分布列如下表:1.781.731.660.50.40.1于是，所以何女士今年棉花的产量大约是吨【典例4】【2020届山东省枣庄、滕州市高三上学期期末考试】2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0.项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p和.（1）若投资项目一，记为盈利的天坑院的个数，求（用p表示）；（2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为百万元，求（用p表示）；（3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由.【思路引导】（1），易求得期望值；（2）只取两个值：2和-1.2，列出分布列，可得期望；（3）投资一的盈利期望为，，再计算出，然后分类，时比较和，，．先盈利大的，盈利相同时选稳定的．（1）解：由题意则盈利的天坑院数的均值.（2）若投资项目二，则的分布列为2-1.2盈利的均值.（3）若盈利，则每个天坑院盈利（百万元），所以投资建设20个天坑院，盈利的均值为（百万元）.①当时，，解得..故选择项目一.②当时，，解得.此时选择项一.③当时，，解得.此时选择项二.【典例5】【2020年1月广东省大联考高三数学】某城市有东、西、南、北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵，交警部门记录了11月份30天内的拥堵情况（如下表所示，其中●表示拥堵，○表示通畅）.假设每个人口是否发生拥堵相互独立，将各入口在这30天内拥堵的频率代替各入口每天拥堵的概率.11.111.211.311.411.511.611.711.811.911.1011.1111.1211.1311.1411.15东入口●○○○○●○●●○●●●○●西入口○○●●○●○●○●○●●○○南入口○●○○○●○○○○○○○○●北入口●○○○●○○●○○○○○●○11.1611.1711.1811.1911.2011.2111.2211.2311.2411.2511.2611.2711.2811.2911.30东入口●○○●○○○●●○●○●○●西入口●○●●○●○●○●○●○●○南入口○○○●○○○○●○○○○○●北入口○○●○○○○○○○○○○●○（1）分别求该城市一天中早高峰时间段这四个主干道的入口发生拥堵的概率.（2）各人口一旦出现拥堵就需要交通协管员来疏通，聘请交通协管员有以下两种方案可供选择.方案一：四个主干道入口在早高峰时间段每天各聘请一位交通协管员，聘请每位交通协管员的日费用为（，且）元.方案二：在早高峰时间段若某主干道入口发生拥堵，交警部门则需临时调派两位交通协管员协助疏通交通，调派后当日需给每位交通协管员的费用为200元.以四个主干道入口聘请交通协管员的日总费用的数学期望为依据，你认为在这两个方案中应该如何选择？请说明理由.【思路引导】（1）根据所给数据利用古典概型的概率公式计算可得.（2）计算出方案二聘请交通协管员的日总费的期望值，结合方案一比较分析.解：（1）将东、西、南、北四个主干道入口发生拥堵的情况分别记为事件，，，，则，.（2）对于方案二，设四个主干道聘请交通协管员的日总费用为，则的可能取值为0，400，800，1200，1600.，，，，，故元.对于方案一，四个主干道聘请交通协管员的日总费用为元，当时，，应该选择方案一；当时，，应该选择方案二.【典例6】【四川省成都市树德中学2019-2020学年高三11月阶段性检测】某市房管局为了了解该市市民年月至年月期间买二手房情况，首先随机抽样其中名购房者，并对其购房面积（单位：平方米，）进行了一次调查统计，制成了如图所示的频率分布直方图，接着调查了该市年月至年月期间当月在售二手房均价（单位：万元/平方米），制成了如图所示的散点图（图中月份代码分别对应年月至年月）.（1）试估计该市市民的购房面积的中位数；（2）从该市年月至年月期间所有购买二手房中的市民中任取人，用频率估计概率，记这人购房面积不低于平方米的人数为，求的数学期望；（3）根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为和，并得到一些统计量的值如下表所示：请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测出年月份的二手房购房均价（精确到）（参考数据），，，，，，.（参考公式）.【思路引导】（1）利用中位数两边矩形面积之和均为可计算出中位数的值；（2）由题意可知，，然后利用二项分布的期望公式求出的值；（3）计算出两个回归模型的相关指数，选择相关指数较大的回归模型较好，然后将年月份对应的代码代入回归方程可求出年月份的二手房购房均价的估计值.解：（1）由频率分布直方图，可得，前三组频率和为，前四组频率和为，故中位数出现在第四组，且；（2）由频率分布直方图，可得每一位市民购房面积不低于平方米的概率为，那么由题意则知，从而可得所求期望为；（3）设模型和的相关指数分别为，，则，，显然.故模型的拟合效果更好.由年月份对应的代码为，则万元/平方米.【针对训练】1.【四川省成都市棠湖中学2019届高三上学期第一次月考】某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；（2）试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．解：（Ⅰ）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为，，则的取值分别为1、2、3，的取值分别,0、1、2、3，所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：123P因为,所以考生乙正确完成实验操作的题数的概率分布列为：0123P（Ⅱ）因为所以从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强．2.【2020届湖南省益阳市高三上学期期末】某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提出了甲、乙两个改进方案：甲方案是引进一台新的生产设备，需一次性投资1000万元，年生产能力为30万件；乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投入700万元，年生产能力为20万件.根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产设备还是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为15元/件（不含一次性设备改进投资费用）.（1）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立.①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率：②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该服装厂应选择哪个方案.（6年的净利润=6年销售利润-设备改进投资费用）【思路引导】（1）利用小矩形的中点乘以小矩形的面积之和，从而求得平均数；（2）①由题意得只有当年销售量不低于18万件时年销售利润才不低于270万，再从频率分布直方图中，估计年销售利润不低于270万的概率；②分别计算两种方案6年的净利润的期望值，再比较大小，从而得到结论。解：（1）年销量的平均数（万件）.（2）①该产品的销售利润为15元/件，由题意得只有当年销售量不低于18万件时年销售利润才不低于270万，所以年销售利润不低于270万的概率.②设甲方案的年销售量为X万件，由（1）可知甲方案的年销售量的期望，所以甲方案6年的净利润的期望值为（万元）.设乙方案的年销售量为Y万件，则乙方案的年销售量的分布列为Y121620P0.050.350.6所以乙方案的年销售量期望（万件），所以乙方案6年的净利润的期望值为（万元），因为乙方案的净利润的期望值大于甲方案的净利润的期望值,所以企业应该选择乙方案.3.【山东省烟台市2019-2020学年高三上学期期末】某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为.（1）求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；（2）为提高生产效益，该企业决定招聘名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修.已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元.此外，统计表明，每月在不出故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？（实际获利=生产线创造利润-维修工人工资）【思路引导】（1）分析可得随机变量满足二项分布,求得时的概率即可；（2）由（1）,并分别求得,,时的概率,由题意得到不同方案下实际获利并求得期望,比较大小即可解：（1）设3条生产线中出现故障的条数为,则,因此（2）①当时,设该企业每月的实际获利为万元,若,则；若,则；若,则；若,则；又,,,此时,实际获利的均值②当时,设该企业每月的实际获利为万元,若,则；若,则；若,则；若,则；，因为,于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用4.【安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测】某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【思路引导】（Ⅰ）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出对应的概率，列出分布列即可；（Ⅱ）求出两种方案下所需费用的分布列，然后分别求出对应的期望值，比较二者的大小即可选出最合算的方案．解：（Ⅰ）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，，，，，，，，∴的分布列为0123456（Ⅱ）选择延保一，所需费用元的分布列为：70009000110001300015000（元）.选择延保二，所需费用元的分布列为：100001100012000（元）.∵，∴该医院选择延保方案二较合算.5.【北京市西城区2019-2020学年高三上学期期末】高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统计,在2018年这一年内从市到市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为万人次.为了解乘客出行的满意度,现从中随机抽取人次作为样本,得到下表(单位:人次):满意度老年人中年人青年人乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分(满意)1212022015分(一般)2362490分(不满意)106344（1）在样本中任取个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;（2）在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取人次,记其中老年人出行的人次为.以频率作为概率,求的分布列和数学期望;（3）如果甲将要从市出发到市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机?并说明理由.【思路引导】（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为，，，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知服从二项分布，先计算出随机选取人次，