高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)18五种有关对数函数的图象和性质的常考点(原卷版+解析)

常考题型18五种有关对数函数的图象和性质的常考点必备知识必备知识1.对数函数图象的特征(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a>1时，图象上升；0<a<1时，图象下降.(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0<c<d<1<a<b。在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大。（无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大）2.对数函数的性质函数(a>0，且a≠1)图象a>10<a<1性质定义域为(0，+∞)值域为R过定点(1，0)，即当x=1时，y=0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在区间(0，＋∞）上是增函数在区间(0，＋∞）上是减函数方法指导方法指导一、对数型函数的图象问题1.对可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想。2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解。二、对数函数的性质的应用1.比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较；2.解对数不等式形如的不等式，借助的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论；形如的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助的单调性求解。3.解与对数函数有关的单调性问题的一般步骤：一求，求出函数的定义域；二判，判断对数函数的底数与1的关系，分a>1与0<a<1两种情况；判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”的特征判断函数的单调性。题型探究一题型探究一探究一：对数函数的定义域已知函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：根据与的取值范围一致，从而得到，进而求得函数的定义域.【变式练习】1．若函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．2．已知函数，则函数的定义域为A． B． C． D．解不等式，得，再由，解出的取值范围，即得函数的定义域.探究二：对数函数的值域问题若函数在区间上单调递减，且，则A． B． C． D．思路分析：思路分析：由函数在区间上单调递减，根据复合函数的单调性求得，而，，可得.【变式练习】1．已知，，则（

）A． B． C． D．2．函数的反函数的定义域为（

）A． B．C． D．探究三：对数函数的图像判断函数的图像大致为（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：当时，根据函数的极值可以排除C、D，当时，根据函数的单调性可以排除B，从而得到结果.【变式练习】1．若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（

）A． B．C． D．2．函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．探究四：对数函数的单调性函数的图象如图所示，则函数的单调增区间是（

）A． B．C． D．和思路分析：思路分析：由给定图象可得的递减区间，由的单调性结合复合函数单调性即可得解.【变式练习】1．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（

）A． B． C． D．2．函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．探究五：对数函数的最值问题记在时的最大值为，则的最小值为（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：画出的图象，然后讨论与，的大小关系，利用对数函数的性质，得出的解析式，然后求出最小值即可【变式练习】1．下列函数中，最小值为2的是（

）A． B．C． D．2．若(为自然对数)，则函数的最小值为（

）A．-3 B．-2 C．0 D．6题型突破训练题型突破训练一、单选题1．已知函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．3．在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图像可能是（）A． B． C． D．4．定义在上函数满足：，有，则下列关系式一定成立的是（

）A． B．C． D．5．已知，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．6．已知函数，若实数a满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．函数的大致图像可以为（

）A． B．C． D．8．已知为定义在R上的奇函数，当时，有，且当时，，关于下列命题正确的个数是（

）①

②函数在定义域上是周期为2的函数③直线与函数的图象有2个交点

；④函数的值域为A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、多选题9．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（

）A．与 B．与C．与 D．与10．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（

）A． B．C． D．11．设函数的定义域为，且满足，，当时，.则下列说法正确的是（

）A．B．当时，的取值范围为C．为奇函数D．方程仅有3个不同实数解12．下列说法中正确的是（

）A．命题“，”的否定是“，”B．函数且的图象经过定点C．幂函数在上单调递增，则的值为D．函数的单调递增区间是三、填空题13．函数的定义域是__________.14．已知是上的减函数，则的取值范围是______.15．下列命题正确的是___________．（填序号）①函数与互为反函数；②函数的单调递减区间是；③当且时，函数的图象恒过定点；④函数在上为减函数，且，则实数m的取值范围是．16．已知函数，若，，则________．四、解答题17．已知函数(1)求不等式的解集；(2)若对于任意恒成立，求的取值范围.18．设函数，(1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性，并证明.19．已知函数，．(1)求函数的定义域；(2)若不等式在上恒成立，求实数m取值范围．20．已知函数(1)设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；(2)已知集合①求集合；②当时，函数的最小值为，求实数的值．21．已知是偶函数.(1)求的值；(2)设的最小值为，则实数的值.22．已知函数与函数，函数的定义域为．(1)求的定义域和值域；(2)若存在，使得成立，求的取值范围；(3)已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用上述结论，求函数的对称中心．（直接写出结果，不需写出过程）常考题型18五种有关对数函数的图象和性质的常考点必备知识必备知识1.对数函数图象的特征(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a>1时，图象上升；0<a<1时，图象下降.(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0<c<d<1<a<b。在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大。（无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大）2.对数函数的性质函数(a>0，且a≠1)图象a>10<a<1性质定义域为(0，+∞)值域为R过定点(1，0)，即当x=1时，y=0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在区间(0，＋∞）上是增函数在区间(0，＋∞）上是减函数方法指导方法指导一、对数型函数的图象问题1.对可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想。2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解。二、对数函数的性质的应用1.比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较；2.解对数不等式形如的不等式，借助的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论；形如的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助的单调性求解。3.解与对数函数有关的单调性问题的一般步骤：一求，求出函数的定义域；二判，判断对数函数的底数与1的关系，分a>1与0<a<1两种情况；判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”的特征判断函数的单调性。题型探究一题型探究一探究一：对数函数的定义域已知函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：根据与的取值范围一致，从而得到，进而求得函数的定义域.答案：D【详解】由，得，所以，所以．故选：D.【变式练习】1．若函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．答案：C【详解】函数的定义域是[1，3]，∴，解得．又，且，∴．故函数的定义域是．故选：C.2．已知函数，则函数的定义域为A． B． C． D．解不等式，得，再由，解出的取值范围，即得函数的定义域.答案：D【详解】对于函数，，即，解得.对于函数，有，解得.因此，函数的定义域为.故选：D.探究二：对数函数的值域问题若函数在区间上单调递减，且，则A． B． C． D．思路分析：思路分析：由函数在区间上单调递减，根据复合函数的单调性求得，而，，可得.答案：A【详解】因为函数在区间上单调递减令根据复合函数的单调性得解得，所以故选：A【变式练习】1．已知，，则（

）A． B． C． D．答案：A【详解】由题意可知集合A＝（﹣∞，0）集合B＝（0，）∴A∩B＝（﹣∞，0）∩（0，）＝∅故选：A．2．函数的反函数的定义域为（

）A． B．C． D．答案：C【详解】解：∵，∴，∴函数的值域为，∵的定义域即函数的值域，∴的定义域为．故选：C探究三：对数函数的图像判断函数的图像大致为（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：当时，根据函数的极值可以排除C、D，当时，根据函数的单调性可以排除B，从而得到结果.答案：A【详解】当时，，在处取得最小值，排除C、D，当时，为减函数，故选:A．【变式练习】1．若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（

）A． B．C． D．答案：B【详解】由函数的图象为减函数可知，，再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知，故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象故选：B.2．函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．答案：A【详解】由可得且，所以的定义域为且，由定义域可排除C、D，当时，，，可排除B，由排除法可知选项A正确；故选：A.探究四：对数函数的单调性函数的图象如图所示，则函数的单调增区间是（

）A． B．C． D．和思路分析：思路分析：由给定图象可得的递减区间，由的单调性结合复合函数单调性即可得解.答案：D【详解】由函数的图象可得的递减区间是，而函数在上单调递减，则函数的单调增区间，必有或，解得或，所以函数的单调增区间是和.故选：D【变式练习】1．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（

）A． B． C． D．答案：C【详解】解：对于A，函数为偶函数，在区间上单调递减，故错误；对于B，函数关于对称，是非奇非偶函数，故错误；对于C，函数为偶函数，在区间上，单调递增，故正确；对于D，对数函数为非奇非偶函数，故错误.故选：C2．函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．答案：C【详解】由，则，，解得，即函数的定义域，由题意，令，，则，易知在其定义域上单调递减，要求函数的单调递减区间，需求在上二次函数的递增区间，由，则在上二次函数的递增区间为，故选：C.探究五：对数函数的最值问题记在时的最大值为，则的最小值为（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：画出的图象，然后讨论与，的大小关系，利用对数函数的性质，得出的解析式，然后求出最小值即可答案：A【详解】由已知可得，画出的图象，如下图所示，当即时，由图象知，在上单调递减，所以，当即时，由图象知，在上单调递增，所以，当即时，由图象知，在上单调递减，在单调递增，所以的最大值可能为或，又，所以当时，，当时，，综上由对数函数的性质知的最小值为．故选:A【变式练习】1．下列函数中，最小值为2的是（

）A． B．C． D．答案：D【详解】A：，不合题意．B：当时，，当且仅当时等号成立，不合题意．C：当时，，不合题意．D：因为，所以，符合题意．故选：D2．若(为自然对数)，则函数的最小值为（

）A．-3 B．-2 C．0 D．6答案：B【详解】由题意，所以，则，设，，又，而，所以时，，所以函数的最小值为．故选：B．题型突破训练题型突破训练一、单选题1．已知函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【详解】对任意的，存在，使得，则，因为当时，单调递增，所以，又因为当时，单调递减，所以，所以由解得，故选：A.2．若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．答案：D【详解】由于对数函数单调递增，且，故，∴，∵，，∴．故选：D3．在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图像可能是（）A． B． C． D．答案：D【详解】当时，则，由指数函数的性质可知单调递增，由对数函数的性质可知单调递减，且当时，，A,B,C,D中，选项D满足；当时，则，由指数函数的性质可知单调递减，由对数函数的性质可知单调递増，且当时，，在选项A,B,C,D，均不满足.故选：D4．定义在上函数满足：，有，则下列关系式一定成立的是（

）A． B．C． D．答案：A【详解】因为在上满足：，有所以在上单调递减对A选项，由所以，所以，故A正确对B选项，当时，此时，，故B项错误对C选项，因为，所以，所以，故C错误对D选项，因为所以，所以，故D错误故选：A5．已知，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．答案：C【详解】因为对数函数定义域为，所以，解得，所以的定义域为，所以，解得：，关于不等式，代入表达式可得：，即，所以，因为，所以解不等式可得，所以不等式的解集为.故选：C6．已知函数，若实数a满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【详解】，其中，∵，则为偶函数，当时，，则在上单调递增，又，则，即，故，则，解得.故选：D.7．函数的大致图像可以为（

）A． B．C． D．答案：C【详解】依题意，函数的定义域为，，即为奇函数，选项B，D不满足；当时，单调递增，即，恒有，选项A不满足，C满足.故选：C8．已知为定义在R上的奇函数，当时，有，且当时，，关于下列命题正确的个数是（

）①

②函数在定义域上是周期为2的函数③直线与函数的图象有2个交点

；④函数的值域为A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：A【详解】时，，则，，，又是R上的奇函数，因此，，所以，①正确；，，②错误；作出函数的图象与直线（如图），可得直线与的图象只有两个交点和，时，，其图象与直线只有一个交点，又是奇函数，从而在上的图象与直线只有一个交点，由命题①的推理可得，由于时，，同样由命题①的推理结合奇函数性质得，而时，，时，，因此③错，同时得出④错．正确的命题只有①．故选：A．二、多选题9．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（

）A．与 B．与C．与 D．与答案：BC【详解】对于A，函数，定义域均为R，而，，显然它们的对应法则不同，A不是；对于B，函数，定义域均为R，且，它们的对应法则相同，B是；对于C，函数，定义域均为，且，它们的对应法则相同，C是；对于D，函数定义域，而定义域为R，D不是.故选：BC10．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（

）A． B．C． D．答案：AC【详解】对于A，，由对数函数性质得在上单调递增，故A正确，对于B，，，不满足在上单调递增，故B错误，对于C，，由指数函数性质得在上单调递增，故C正确，对于D，，，故不是偶函数，故D错误，故选：AC11．设函数的定义域为，且满足，，当时，.则下列说法正确的是（

）A．B．当时，的取值范围为C．为奇函数D．方程仅有3个不同实数解答案：BC【详解】因为，所以，因为，故，所以，即，所以，所以，所以的周期为8，因为，所以因为，所以，因为时，，所以，故，A错误；当，，所以，当，，，所以，综上：当时，的取值范围为，B正确；因为，所以关于对称，故关于原点中心对称，所以为奇函数，C正确；画出与的图象，如下：显然两函数图象共有4个交点，其中，所以方程仅有4个不同实数解，D错误.故选：BC12．下列说法中正确的是（

）A．命题“，”的否定是“，”B．函数且的图象经过定点C．幂函数在上单调递增，则的值为D．函数的单调递增区间是答案：ABC【详解】A.命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，即“，”，故正确；B.因为函数且，令得，此时的图象经过定点，故正确；C.因为是幂函数，所以，即，解得或，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，故正确；D.令，得或，所以函数的定义域为，又在上递增，在上递增，所以的单调递增区间是，故选：ABC三、填空题13．函数的定义域是__________.答案：【详解】要使函数有意义，则，即，解得，.所以，函数的定义域为.故答案为：.14．已知是上的减函数，则的取值范围是______.答案：【详解】根据题意可得：，且，解得.故答案为：.15．下列命题正确的是___________．（填序号）①函数与互为反函数；②函数的单调递减区间是；③当且时，函数的图象恒过定点；④函数在上为减函数，且，则实数m的取值范围是．答案：①③④【详解】对于①，由，得，所以函数与互为反函数，故①正确；对于②，由反比例函数可知，函数的单调递减区间是，故②错误；对于③，令，则，所以，所以当且时，函数的图象恒过定点，故③正确；对于④，因为函数在上为减函数，且，所以，即，解得，所以实数m的取值范围是，故④正确；故答案为：①③④.16．已知函数，若，，则________．答案：【详解】解：因为，所以，所以，所以函数的定义域为，又因为，，，所以，所以，故答案为：．四、解答题17．已知函数(1)求不等式的解集；(2)若对于任意恒成立，求的取值范围.答案：(1)或；(2).【详解】（1）由，即计算可得或或故解集为：或；（2）令，则，原式可化为在上恒成立，记函数在上单调递增，，故的取值范围是.18．设函数，(1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性，并证明.答案